冀教版（新）九上-24.3 一元二次方程根与系数的关系【优质课件】

(共28张PPT)
24.3 一元二次方程根与系数的关系
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（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
格格和同学们打赌，她有一手绝活，只要同学给出两个数，她就能马上说出以这两个数为根的一元二次方程，同学们表示不相信，菲菲首先发难，恨不得考倒格格，她报的数是3，4，格格的解答是x2－7x＋12=0．菲菲验证了一下正确，接着同学们纷纷报数，格格快速准确解答．同学想不不通为什么她能快速回答，聪明的同学，你知道“源头”何在．
新课精讲
探索新知
1
知识点
一元二次方程根与系数的关系
探究
由因式分解法可知，方程(x－2)(x－3)=0的两根为x1=2，x2 = 3，而方程(x－2)(x－3)=0可化为x2 －5x＋6 =0的形式，则：x1＋x2＝______，x1x2＝_______.
设方程2x2＋3x－9 =0的两根分别为x1，x2，则：x1＋x2＝______, x1x2＝_______.
对于一元二次方程ax2＋bx＋c = 0，当b2－4ac≥0时，设方程的两根分别为x1，x2，请你猜想x1＋x2 ，x1x2与方程系数之间的关系，并利用求根公式验证你的结论.
探索新知
归 纳
一元二次方程根与系数的关系：
如果一元二次方程ax2＋bx＋c = 0的两根分别为x1，x2，那么
探索新知
例1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根的和与积：
(1) x2－3x－8＝0
(2) 3x2＋4x－7＝0；
(1) 这里a＝1，b＝－3，c＝－8，且
b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－8)＝41＞0.
所以　　　　　
解：
探索新知
(2) 3x2＋4x－7＝0；
(2) 这里a＝3，b＝4，c＝－7，且
b2－4ac＝42－4×3×(－7)＝100＞0，
所以　　　　　
解：
探索新知
总 结
求一元二次方程两根的和与积时，先要将方程整理成一般形式，然后利用根与系数的关系求出两根的和与积．
典题精讲
1
一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是(　　)
A．4　　 　B．－4　　 　C．3　 　 D．－3
已知x1、x2是方程x2＋3x－1＝0的两个实数根，那么下列结论正确的是(　　)
A．x1＋x2＝－1 B．x1＋x2＝－3
C．x1＋x2＝1 D．x1＋x2＝3
2
D
B
探索新知
2
知识点
一元二次方程的根与系数的关系的应用
例2 已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的
一个根是2，求方程的另一个根和p 的值．
导引：已知二次项系数与一次项系数，利用两根之和可求出另一根，再运用两根之积求出常数项中p 的值．
探索新知
解： 设方程的两根为x1和x2，
∵x1＋x2＝ ＝ 6，x1＝2，
∴x2＝4.　
又∵x1x2＝ ＝p2－2p＋5＝2×4＝8，
∴p2－2p－3＝0，解得 p＝3或p＝－1.　　　　
探索新知
总 结
已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根．也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值．
探索新知
例3 方程已知关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0的两个实数根为x1，x2，若x12＋x22＝4，则m 的值为___________．
根据题意可得x1＋x2＝－m－3，x1x2＝m＋1，
又因为x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2，
所以(－m－3)2－2(m＋1)＝4，
解得m1＝－1，m2＝－3，
并且当m＝－1或m＝－3时方程都有解，
所以m的值为－1或－3.
导引：
－1或－3
探索新知
总 结
　 已知方程两根的关系求待定字母系数的值时，先根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和与两根之积，然后将已知两根的关系进行变形，再将两根的和与积整体代入，列出以待定字母为未知数的方程，进而求出待定字母的值．
典题精讲
1
若关于x的一元二次方程x2－3x＋p＝0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a 和b，且a2－ab＋b2＝18，则 ＋ 的值是(　　)
A．3 B．－3
C．5 D．－5
D
2
若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，则k的值为(　　)
A．－1或　　 B．－1　　
C.　 　 D．不存在
C
典题精讲
3
等腰三角形三边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n－1＝0的两根，则n 的值为(　　)
A．9　　　 B．10　　　
C．9或10　　　 D．8或10
B
学以致用
小试牛刀
1.已知，是方程的两根，且，则的值等于（ ）
A.-4 B.-2 C.4 D.2
A
2.若方程的两根互为倒数，则等于（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
C
小试牛刀
3.两实根和是的一元二次方程为（ ）
A. B.
C. D.
C
4.若，是方程的两个根，则的值为（ ）
A.6 B.4 C.3 D.
A
小试牛刀
5.已知关于的一元二次方程两实数根为、，则________．
6.甲乙同时解方程，甲抄错了一次项系数，得两根为﹑，乙抄错了常数项，得两根为﹑．则________，________．
7.已知、是关于的方程的两个实数根，则的最小值是________．
3
7
14
小试牛刀
8.若，是方程的两个根．
（1）求和的值．
（2）求的值．
（3）求的值．
解：（1），；
（2）；
（3）．
小试牛刀
9.已知关于的方程有两个不相等的实数根，．
求的取值范围；
是否存在实数，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．
小试牛刀
解：（1）方程有两个不相等的实数根，，
可得，
∴且，可解得且；
（2）假设存在两根的值互为相反数，设为 ，，
∵，∴，
∴，又∵且
∴不存在．
课堂小结
课堂小结
1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2和系数a，b，c 的关系：
2. 用一元二次方程根与系数的关系，求另一根及未知系数的方法：
(1)当已知一个根和一次项系数时，先利用两根的和求出另一根，再利用两根的积求出常数项.
(2)当已知一个根和常数项时，先利用两根的积 求出另一根，再利用两根的和求出一次项系数．
同学们，
下节课见！
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