冀教版（新）九上-25.4 相似三角形的判定 第三课时【优质课件】

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25.4 相似三角形的判定
第3课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
　　判定两个三角形全等我们有SSS的方法，类似地，判定两个三角形相似是否也有类似的简单方法呢
新课精讲
探索新知
1
知识点
三边成比例的两个三角形相似
(1)如图，在半透明纸上画一个△ABC，使AB＝1.5cm，AC＝2. 5 cm，BC＝2 cm.再画一个△A′B′C′使A′B′＝3 cm， A′C′＝5 cm， B′C′＝4 cm.
探索新知
(2)比较△ABC与△A′B′C′各个角，它们对应相等吗
这两个三角形相似吗
把你的结果与同学交流.
我们猜想：三边对应成比例的两个三角形相似.
探索新知
已知：如图 ，在△ABC与△A′B′C′中，
求证： △ABC∽△A′B′C′.
探索新知
证明：
如图，在△ABC 的边AB上
截取AE＝A′B′，过点E 作
EF∥BC，交AC 于点F，
则△ABC∽△AEF，
在△ ABC 和∽△AEF 中，
∵
探索新知
∴
又∵
∴AF＝A′C′，EF＝B′C′，
∴△AEF ≌△ A′B′C ′.
∴△ABC∽△A′B′C ′.
探索新知
归 纳
三条边对应成比例的两个三角形相似.
探索新知
在△ABC与△A′B′C ′中，AB＝6，BC＝8，AC＝10，A′B′＝9，B′C ′＝12， A′C ′ ＝15，试问△ABC 与△A′B′C ′相似吗 为什么
例1
分析：
先根据边的大小求出三边的比，确定三边是否成比例，从而判断△ABC与△A′B′C ′是否相似. 知道两三角形三边，只要求出“短∶短”“中∶中”“长∶长”，没有必要逐一尝试.
解：
∵
∴
∴ △ABC∽△A′B′C ′.
探索新知
总 结
　　这个判定三角形相似的方法与三角形全等的判定方法“边边边”十分相似，所不同的是在相似的判定方法中的 “三边”要求的是“比相等”. 三边的对应关系是“短∶短”“中∶中”“长∶长”.
典题精讲
1.　已知△ABC 的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，△DEF 的一边长为4cm，当△DEF 的另两边是下列哪一组时，这两个三角形相似(　　)
A．2cm，3cm B．4cm，5cm
C．5cm，6cm D．6cm，7cm
C
2.　一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边的长是21，则其他两边长的和是(　　)
A．19 B．17 C．24 D．21
C
探索新知
2
知识点
网格上相似三角形的判定
下图中小正方形的边长均为1，则图2 2中的哪一个三角形(阴影部分)与图2 1中的△ABC 相似？
例2
导引：
图中的三角形为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度的比是否相等来判断哪两个三角形相似．
2 2
2 1
探索新知
解：
易知
图 (1)中，三角形的三边长分别为
图 (2)中，三角形的三边长分别为
图 (3)中，三角形的三边长分别为
图 (4)中，三角形的三边长分别为
∵
∴图 (2)中的三角形与△ABC 相似．
探索新知
总 结
　　利用三角形三边对应成比例判定两三角形相似的方法：
首先把两个三角形的边分别按照从小到大的顺序排列，找出两个三角形的对应边；再分别计算小、中、大边的比。最后看三个比是否相等，若相等，则两个三角形相似，否则不相似.
　　特别地，若三个比相等且等于1，则两个三角形全等.
典题精讲
1　如图，若A，B，C，P，Q，甲，乙，丙，丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R 应是甲，乙，丙，丁四点中的(　　)
A．甲　　　　
B．乙　　　　
C．丙　　　　
D．丁
C
探索新知
3
知识点
直角三角形相似的条件
思考
　　我们知道，两个直角三角形全等可以用“HL”来判定.那么，满足斜边和另一条直角边成比例的两个直角三角形相似吗
　　事实上，这两个直角三角形相似．下面我们给出证明．
如图，在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中，∠C＝90°， ∠C′＝90°，
求证： Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ ．
探索新知
要证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ ，
可设法证
则只需证
分析：
探索新知
∴
∴ ∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C ′ ．
证明：
探索新知
总 结
直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似.
探索新知
已知：如图，在Rt△ABC 与Rt△A′B′C′中，∠B＝ ∠B′
＝90°，
求证： Rt△ABC∽Rt△A′B′C ′ ．
例3
探索新知
∴
∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C ′ ．
证明：
探索新知
总 结
　　判定两直角三角形相似的方法：一个锐角对应相等，
两组直角边对应成比例，斜边和一直角边对应成比例．
典题精讲
1　在Rt△ABC 和Rt△DEF 中，已知AB＝2，BC＝4，DE＝3，EF＝6，如果Rt△ABC 和Rt△DEF 相似，还需要添加条件，下列条件中不可能的是(　　)
A．∠A＝∠D＝90°
B．∠B＝∠E＝90°
C．
D．∠A＝∠E＝90°
D
学以致用
小试牛刀
1.若△ABC 和△A′B′C ′满足下列条件，其中使△ABC与△A′B′C ′相似的是(　　)
A．AB＝2.5 cm，BC＝2 cm，AC＝3 cm；A′B ′＝3 cm，B′C ′＝4 cm，A′C ′＝6 cm
B．AB＝2 cm，BC＝3 cm，AC＝4 cm；A′B ′＝3 cm， B′C ′＝6 cm，A′C ′＝ cm
C．AB＝10 cm，BC＝AC＝8 cm；A′B ′＝ cm，B′C ′＝A′C ′＝ cm
D．AB＝1 cm，BC＝ cm，AC＝3 cm；A′B ′＝ cm，B′C ′＝ cm，A′C ′＝ cm
B
小试牛刀
2.已知△ABC 的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF 的一边长为4 cm，当△DEF 的另两边是下列哪一组时，这两个三角形相似(　　)
A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm
C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm
C
3.一个三角形三边的长分别为3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长边的长是21，则其他两边长的和是(　　)
A．19 B．17
C．24 D．21
C
小试牛刀
4.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边长分别可以为(　　)
A．2.5，3 　　 　B.
C．1.6，2.4 　　 D．2.5，3或 或1.6，2.4
D
5.若△ABC 的每条边长增加各自的10%得△A′B′C ′，则∠B ′的度数与其对应角∠B 的度数相比(　　)
A．增加了10% B．减少了10%
C．增加了(1＋10%) D．没有改变
D
小试牛刀
6.如图，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC；②△BCD；③△BDE；④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK. ②～⑥中与①相似的是(　　)
A．②③④
B．③④⑤
C．④⑤⑥
D．②③⑥
B
小试牛刀
7.如图， ，求证：∠BAD＝∠CAE.
证明：
∵
∴△ABC∽△ADE.
∴∠BAC＝∠DAE.
∴∠BAC－∠CAD＝∠DAE－∠CAD，
即∠BAD＝∠CAE.
小试牛刀
8.如图所示，在正方形ABCD 中，P 是BC上一点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP.
小试牛刀
证明：
设正方形ABCD 的边长为a.
∵Q是CD 的中点，∴DQ＝CQ＝ a.
∵BP＝3PC，∴PC＝ a，
∴AQ＝
PQ＝
∴
∴△ADQ∽△QCP.
小试牛刀
9.如图，四边形ABCD，CDEF，EFGH 都是相同的正方形．
(1)△ACF 与△GCA相似吗 说说你的理由．
(2)求∠1＋∠2的度数．
小试牛刀
解：
(1)△ACF 与△GCA相似吗 说说你的理由．
△ACF∽△GCA.理由：可设正方形ABCD，CDEF，
EFGH 的边长为a，则△ACF 的三边长分别为：
AC＝ ，CF＝a，AF＝ ，
△ACG 的三边长分别为：
AC＝ ，CG＝2a，AG＝ .
∴
∴ ∴△ACF 与△GCA相似．
小试牛刀
解：
∵△ACF∽△GCA，
∴∠1＝∠CAF，
∴∠1＋∠2＝∠CAF＋∠2＝∠ACB＝45°.
(2)求∠1＋∠2的度数．
课堂小结
课堂小结
1.学习时采用类比的方法进行，一方面可类比两个三角形全等的判定方法，另一方面可类比上一课时中有关两个三角形相似的判定方法.
2.利用三边成比例判定三角形相似的“三步骤”：
(1)排序：将三角形的边按大小顺序排列；
(2)计算：分别计算它们对应边的比值；
(3)判断：通过比较比值是否相等判断两个三角形是否相似．
同学们，
下节课见！
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