冀教版（新）九上-25.4 相似三角形的判定 第一课时【优质课件】

(共32张PPT)
25.4 相似三角形的判定
第1课时
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
三个角对应相等、三条边对应成比例的两个三角形相似. 能不能用较少的条件来判定两个三角形相似呢
新课精讲
探索新知
1
知识点
相似三角形的判定定理 1
1.如图(1)，这两个等腰直角三角形相似吗 说说理由.
2.如图(1)，这两个等腰直角三角形相似吗 说说理由.
3.如果两个三角形有两组对应角相等，那么它们是否相似？
探索新知
问 题
如图，已知∠α，∠β
(1)分别以∠α，∠β为两个内角，任意画出两个三角形.
(2)量出这两个三角形各对应边的长，并计算出相应的比.这两个三角形相似吗？
我们发现：有两个角对应相等的两个三角形相似.
探索新知
已知：如图，在△ABC 和△A′B′C ′中，∠A＝∠A′，∠B ＝∠B ′.
求证：△ABC∽ △A′B′C′.
探索新知
证明：
如图，在△ABC 的边AB，AC (或它们的延长线)上，
分别截取AD＝A′B ′，AE＝A′C ′ ，连接DE.
∵∠A＝∠A′ ，
∴△ADE ≌△A'B'C '.
∴∠ADE＝∠B ′，∠AED＝∠C ′，
DE＝B′C ′，
又∵∠B＝∠B ′，∴∠ADE＝∠B，
∴DE∥BC.
∴△ADE∽△ABC.
探索新知
∴△ADE∽△ABC.
∴
∴
又∵∠A＝∠A′，
∠B＝∠B ′ ，∠C＝∠C ′ .
∴ △ABC∽△A′B′C ′.
若△ABC ≌ △A′B′C ′，△A′B′C ′∽△A′′B′′C′′，则△ABC∽△A′′B′′C ′′.
探索新知
归 纳
两角对应相等的两个三角形相似.
探索新知
已知：如图，在△ABC 中，点D，E，F 分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC.
求证：△ADE∽△DBF.
例1
证明：
∵ DE∥BC.
∴∠ADE＝∠B.
又∵DE∥AC，
∴∠A＝∠BDF.
∴ △ADE∽△DBF.
探索新知
总 结
　　当两个三角形已具备一角对应相等的条件时，往往先找是否有另一角对应相等，当此思路不通时，再找夹等角的两边对应成比例．找角相等时应注意挖掘公共角、对顶角、同角的余角(或补角)等．
典题精讲
1　如图，已知三个三角形，相似的是(　　)
A．①和② B．②和③
C．①和③ D．①和②和③
A
典题精讲
2　如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点D，则图中的相似三角形共有(　　)
A．1对
B．2对
C．3对
D．0对
C
探索新知
2
知识点
相似三角形的判定定理的应用
如图，在△ABC 中，∠BAC＝90°，BC 的垂直平分线交BC 于D，交AB 于E，交CA 的延长线于F.
求证：DA2＝DE·DF.
例2
导引：
如果把等积式 DA2＝DE·DF 转化为
比例式 可以看出这四条
线段分别是△ADE与△ADF中的线
段，若能证明△ADE∽△FDA，则
能得到所要证明的结论．
探索新知
证明：
在△ABC中，∵∠BAC＝90°，D 为BC 的中点，
∴AD＝ BC＝DB，∴∠B＝∠DAB.
∵DF⊥BC 于D，∴∠C＋∠F＝90°.
∵∠B＋∠C＝90°，∴∠B＝∠F.∴∠DAB＝∠F.
又∵∠ADE＝∠FDA，∴△ADE∽△FDA，
∴DA2＝DE·DF.
探索新知
总 结
　　用相似三角形证明等积式或者比例式的一般方法：把等积式或者比例式中的四条线段分别看成两个三角形的对应边，然后通过证明这两个三角形相似，从而得到所要证明的等积式或比例式．特别地，当等积式中的线段的对应关系不容易看出时，也可以把等积式转化为比例式．
典题精讲
1　如图所示，在△ABC 中，D为AC 边上一点，∠DBC＝∠A，BC＝ ，AC＝3，则CD 的长为(　　)
A．1
B.
C．2
D.
C
典题精讲
2　如图所示，在Rt△ABC 和Rt△ADE 中，∠DAE＝∠ABC＝90°，AB＝AD，E 为AB 的中点，AC⊥DE 于点O，则 等于(　　)
A. B.
C. D.
D
学以致用
小试牛刀
1.底角相等的两个等腰三角形是否相似？顶角相等的两个等腰三角形呢？证明你的结论.
底角相等的两个等腰三角形相似．已知：在△ABC中，AB＝AC，在△A′B′C ′中，A′B ′＝A′C ′，且∠B＝∠B ′. 求证△ABC∽△A′B′C ′.证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，同理∠B ′＝∠C ′.又∵∠B＝∠B ′，∴∠C＝∠C ′. ∴△ABC∽△A′B′C ′. 顶角相等的两个等腰三角形相似．已知：在△ABC中，AB＝AC，在△A′B′C ′中，A′B ′＝A′C ′，且∠A＝∠A′.求证△ABC∽△A′B′C′.证明：在△ABC中，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，同理∠B ′＝∠C ′.又∵∠B＝∠B′＝∠A＝∠A′，∴∠B＝∠B ′.又∵∠A＝∠A′，∴△ABC∽△A′B′C ′.
解：
小试牛刀
2.下列各组条件中，不能判定△ABC 与△A′B′C′ 相似的是(　　)
A．∠A＝∠A′，∠B＝∠B′
B．∠C＝∠C′＝90°，∠A＝35°，∠B′＝55°
C．∠A＝∠B，∠A′＝∠B′
D．∠A＋∠B＝∠A′＋∠B ′，
∠A－∠B＝∠A′－∠B ′
C
小试牛刀
3.如图，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，D 在BC上，DE 与AC 相交于点F，AB＝9，BD＝3，则CF 等于(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
B
小试牛刀
4.如图，在△ABC 中，AD 是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为(　　)
A．4
B．4
C．6
D．4
B
小试牛刀
5.如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高. 求证：(1)△ACD∽△ABC； (2)△CBD∽△ABC.
A
B
D
(1)∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°.
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠ADC＝∠ACB.
又∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.
(2)∵CD是斜边AB上的高，
∴∠CDB＝90°.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠CDB＝∠ACB.
又∵∠B＝∠B，∴△CBD∽△ABC.
证明：
小试牛刀
6.如果Rt△ABC的两条直角边分别为3和4，那么以3k和4k(k是正整数)为直角边的直角三角形一定与Rt△ABC 相似吗？为什么？
一定相似．理由如下：
∵两条对应直角边的比分别为
∴对应直角边的比相等．
又∵两直角边所夹的角都为直角，
∴两个三角形一定相似．
证明：
小试牛刀
7.已知正方形ABCD 的边长为1，P 是CD 边的中点，Q 在线段BC上，△ADP与△QCP 相似时，求BQ 的值．
解：
由题意，得∠D＝∠C＝90°.
①当　　　　　时，△ADP∽△PCQ，
即　　　　，得CQ＝　 .故BQ＝1－ ＝
小试牛刀
②当　　　　　时，△ADP∽△QCP，
即　　　　，得QC＝1，故BQ＝0.
所以当△ADP与△QCP相似时，BQ的值为0或
课堂小结
课堂小结
　　“三点定型法”是证明线段等积式或比例式以及利用等积式、比例式求线段长时找相似三角形的最常用的方法，即设法找出比例式或等积式(或变化后的式子)中所包含的几个字母，看是否存在可由“三点”确定的两个相似三角形．通常通过“横看”“竖看”两种方法找相似三角形，横看：即看两比例前项、两比例后项是否分别在两个相似三角形中；竖看：即看比例式等号两边各自的前、后项是否分别在两个相似三角形中．
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
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