冀教版（新）九上-25.5 相似三角形的性质【优质课件】

(共47张PPT)
25.5 相似三角形的性质
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（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
　　某社区拟筹资金 2000 元，在一块上、下底分别是 10米， 20米的梯形空地上种植花木，他们想在△AMD 和 △BMC 地带种植单价为 10 元/平方米的太阳花，当 △AMD 地带种满花后，已花了500元，请预算一下，若继续在 △BMC 地带种植同样的太阳花，资金是否够用
M
A
D
B
C
20米
新课精讲
问题
　　如图，△ABC∽ △A′B′C′，相似比为k，AD与A′D′，AE与A′E′分别为BC，B′C′ 边上的高和中线，AF 与A′F′分别为∠BAC 和∠B′A′C′的平分线.
(1) AD 和A′D′ 的比与相似
比之间有怎样的关系
请说明理由.
探索新知
1
知识点
相似三角形对应线段的比
探索新知
(2)AE 和A′E′ 的比、AF 和A′F′ 的比分别与相似比有怎样的关系 请说明理由.
　　事实上，两个相似三角形的对应高、对应中线和对
应角平分线的比都等于它们的相似比.
　　下面，我们证明相似三角形对应高的比等于它们的相似比.
探索新知
已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD、A′D′分别为BC，B′C′ 边上的高.
求证：
探索新知
∵△ABC∽△A′B′C′
∴∠B＝∠B′.
又∵AD⊥BC， A′D′⊥B′C′，
∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°.
∴△ABD∽△A′B′D′.
∴
证明：
探索新知
探究
1.已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AE， A′E′分别为BC，B′C′ 边上的中线.求证：
2.已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AF，A′F′ 分别为∠BAC，∠B′A′C′ 的平分线.
求证：
探索新知
总 结
　　相似三角形的性质定理：
相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比，都等于相似比.
探索新知
如图，在△ABC 中，AD⊥BC，垂足为D，EF∥BC，分别交AB，AC，AD 于点E，F，G， AD＝15，求AG 的长.
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.
∵AD⊥BC，∴ AD⊥EF.
∴
又∵ AD＝15，∴
∴ AG＝9.
例1
解：
探索新知
总 结
　　本题考查了相似三角形的性质，主要利用了相似三角形对应高的比、对应中线的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．
典题精讲
1 已知△ABC∽△DEF，若△ABC 与△DEF 的相似比为 ，则△ABC 与△DEF 对应中线的比为(　　)
A. B. C. D.
A
2 如图，已知△ADE∽△ABC，相似比为2∶5，则AF∶AG 为(　　)
A．2∶5
B．5∶2
C．5∶1
D．1∶5
A
探索新知
2
知识点
相似三角形周长的比
问题
　　某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地，由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米. 现在的问题是：它的周长是多少？
探索新知
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ 由比例的性质可
解：
将上面生活中的问题转化为数学问题是：
如图，已知DE∥BC，AB＝30m，BD＝18m，△ABC
的周长为80m，求△ADE 的周长.
探索新知
又∵△ADE 的周长＝AD＋AE＋DE，
△ABC 的周长＝AB＋AC＋BC，
∴
∴△ADE 的周长＝32米.
探索新知
总 结
相似三角形周长的比等于相似比.
探索新知
如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC 的周长之比为(　　)
A．1∶2　　　　　　　
B．1∶3
C．1∶4
D．1∶5
例2
A
探索新知
导引：
在Rt△ABC 中，∠A＋∠B＝90°；
在Rt△BCD 中，∠BCD＋∠B＝90°，
所以∠BCD＝∠A.
又因为∠B＝∠B，所以△BCD∽△BAC.
在Rt△ABC 中，∠A＝30°，
所以 则△BCD与△ABC 的周长比等于相
似比
探索新知
总 结
　　相似三角形周长的比等于相似比在解题时，如果是相似图形求周长就常用到周长比等于相似比.
典题精讲
1. △ABC 与△DEF 的相似比为1∶4，则△ABC 与△DEF 的周长比为(　　)
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶16
C
2. 已知△ABC∽△DEF，相似比为3∶1，且△ABC 的周长为18，则△DEF 的周长为(　　)
A．2 B．3
C．6 D．54
C
探索新知
3
知识点
相似三角形面积的比
问题
　　相似三角形面积的比，与它们的相似比之间有什么关系呢？
探索新知
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，AD、A′D′ 分别为BC，B′C′边上的高.
(1)△ABC的面积和△A′B′C′的面积的比与他们的相似比有什么关系 请说明理由.
探索新知
因为
所以
即△ABC与△A′B′C′的面积之比等于相似比的平方.
探索新知
总 结
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
探索新知
如图，在△ABC 中，D，E，F分别为BC，AC，AB 边的中点. 求：
(1)△DEF 的周长与△ABC 的周长之比.
(2)△DEF 的面积与△ABC 的面积之比.
例3
探索新知
解：
∵D，E，F分别为BC，AC，AB 的中点，
∴ DE∥AB, EF∥BC，DF∥AC,
∴△DEF∽△ABC.
∴△DEF 的周长与△ABC 的周长之比为1∶2，
△DEF 的面积与△ABC 的面积之比为1∶4.
探索新知
总 结
　　利用相似比求周长和面积时，先确定两个三角形相似，然后找准相似比，利用“相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方”解题.
　　警示： 不要误认为面积的比等于相似比.
典题精讲
1. 如果两个相似三角形的面积比是1∶4，那么它们的周长比是(　　)
A．1∶16
B．1∶4
C．1∶6
D．1∶2
D
典题精讲
2. 如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为(　　)
A．15
B．10
C.
D．5
D
学以致用
小试牛刀
1.已知△ABC∽△DEF，若△ABC 与△DEF 的相似比为 ，则△ABC与△DEF 对应中线的比为(　　)
A. B. C. D.
2.已知△ABC∽△A′B ′C ′，BD 和B ′D ′分别是两个三角形对应角的平分线，且AC∶A′C ′＝2∶3，若BD＝4 cm，则B ′D ′的长是(　　)
A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
A
C
小试牛刀
3.若△ABC∽△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为(　　)
A．3∶2 B．3∶5
C．9∶4 D．4∶9
A
4.△ABC 与△DEF 的相似比为1∶4，则△ABC 与△DEF 的周长比为(　　)
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶4 D．1∶16
C
小试牛刀
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，则△BCD与△ABC的周长之比为(　　)
A．1：2
B．1：3
C．1：4
D．1：5
A
小试牛刀
6. 判断题（正确的画“√”，错误的画“×”）.
(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的角平分线也扩大为原来的5倍； （　 ）
(2)一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍. 　　　（ ）
√　
×
小试牛刀
7.有3个正方形按如图所示放置，阴影部分的面积依次记为S1，S2，则S1： S2等于(　　 )
A．1：
B．1：2
C．2：3
D．4：9
D
小试牛刀
8.如图，四边形ABCD 为菱形，M 为BC上一点，连接AM 交对角线BD 于点G，并且∠ABC＝2∠BAM.
(1)求证：AG＝BG；
(2)若M为BC的中点，同时S△BGM＝1，求三角形ADG
的面积．
小试牛刀
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD平分∠ABC.
∴∠ABC＝2∠ABG.
又∵∠ABC＝2∠BAM，
∴∠BAG＝∠ABG.
∴AG＝BG.
证明：
(1)求证：AG＝BG；
小试牛刀
证明：
(2)若M 为BC 的中点，同时S△BGM＝1，求三角形ADG 的面积．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC.
∴△BGM∽△DGA.
∵M为BC的中点，∴BM＝ BC＝ AD.
即△BGM与△DGA的相似比为1∶2，
∴S△BGM∶S△DGA＝1∶4.
∵S△BGM＝1，∴S△DGA＝4.
小试牛刀
9.如图，有一批呈直角三角形，大小相同的不锈钢片，已知∠C＝90°，AC＝12 cm，BC＝5 cm，要用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，请设计一种方案，并求出这种正方形不锈钢片的边长．
小试牛刀
　解：
如图①，设正方形EFGH 的边长为x cm，过点C 作CD
⊥AB 于点D，交EH 于点M.易知CM⊥EH.
因为∠ACB＝90°，AC＝12 cm，BC＝5 cm，
所以AB＝　　　　　　　　　　　　＝13(cm)．
又因为AB·CD＝AC·BC，
所以CD＝　　 　　　　　　　　(cm)．
又因为EH∥AB，所以△CEH∽△CAB.
小试牛刀
所以
如图②，设正方形CEGH 的边长为y cm.
因为GH∥AC，所以＝ 即
解得y＝
因为
所以应按图②裁剪，这时正方形不锈钢片的面积最大，
它的边长为 cm.
课堂小结
课堂小结
课堂总结 知识方法要点 关键总结 注意事项
相似三角形的对应高、对应中线、对应角平分线的比的性质 相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比； 注意相似比是有顺序的
相似三角形的周长和面积比的性质 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 不要误认为面积比等于相似比，更不要根据面积求相似比时，不开方反而平方
课堂小结
方法规律总结：
　　当相似三角形的问题中出现高、中线或角平分线时，要考虑用相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比；当相似三角形中出现周长或面积时，要考虑用相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方；相似多边形也有周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方的性质，以后也可以直接利用
同学们，
下节课见！
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