冀教版（新）九上-25.7 相似多边形和图形的位似 第二课时【优质课件】

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25.7 相似多边形和图形的位似
第2课时
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课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
　　用一个带有小孔的板遮挡在屏幕与物之间，屏幕上就会形成物的倒像，我们把这样的现象叫小孔成像. 前后移动中间的板，屏幕上像的大小也会随之发生变化. 这种现象反映了光沿直线传播的性质．
　　同时，我们可以发现，像与实物是两个相似的图形，而且它们对应点的连线都过一个点，我们可以说它们是位似图形．生活总还有哪些图形是位似图形呢？快来学习本节课内容吧！
新课精讲
探索新知
1
知识点
位似图形的认识
　　在日常生活中，我们经常见到这样一类相似的图形，
例如，放映幻灯时，通过光源，把幻灯片上的图形放大
到屏幕上(如图显示了它工作的原理)．
　　这样的放大缩小，没有改变图形
形状，经过放大或缩小的图形，与原图形是相似的，因此，我们可以得到真实的图片和满意的照片．
探索新知
探究
如图，已知△ABC 及△ABC 外的一点O.
1.请你按如下步骤画出△A′B′C ′.
(1)画射线OA，OB，OC.
(2)分别在OA，OB，OC上截取点A′，B′，C′，使OA′ ＝
2OA，OB ′＝2OB，OC′＝2OC.
(3)连接A′B′，A′C′，B′C′，得△A′B′C ′.
2.请你判断AB与A′B′，AC与A′C′，BC与B′C′的位置关系，
并说明理由.
探索新知
3.△ABC与△A′B′C′相似吗？为什么
　　事实上，上面“一起探究”中画出的三角形与原三角形是相似的，并且两个三角形的对应边互相平行(或在同一条直线上).
探索新知
问题
　　如图，点O在四边形ABCD 的内部，请按“一起探究”中的步骤画一个四边形A′B′C ′D ′，使得四边形ABCD与四边形A′B′C′D ′相似， 对应边互相平行，且经过每对对应点的直线相交于点O.
探索新知
归 纳
　　像“一起探究”中的△ABC与和△A′B′C ′，以及“做一做”中的四边形ABCD 和四边形A′B′C ′D ′，它们不仅相似，而且经过每对对应顶点的直线相交于一点，对应边互相平行(或在同一条直线上).我们把这样的两个图形称为位似图形(homothetic figures)，对应顶点所在直线的交点称为位似中心(homothetic center)，这时的相似比又称位似比(homothetic ratio).
探索新知
下列命题正确的是(　　)
A．全等图形一定是位似图形
B．相似图形一定是位似图形
C．位似图形一定是全等图形
D．位似图形是具有某种特殊位置关系的相似图形
例1
导引：
全等图形是相似图形的特例，位似图形也是相似图形的特例，并且判定两个图形全等或相似都不考虑它们的位置关系，所以全等图形一定是相似图形，但不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，但不一定是全等图形，相似图形不一定是全等图形，也不一定是位似图形.
D
探索新知
总 结
　　本题运用排除法解答，根据位似图形的定义进行分析．
典题精讲
1　图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是(　　)
A．点M
B．点N
C．点O
D．点P
D
典题精讲
2 对于平面图形上的任意两点P，Q，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P ′，Q ′，保持PQ＝P′Q ′，我们把这种变换称为“等距变换”，下列变换中不一定是等距变换的是(　　)
A．平移 B．旋转
C．轴对称 D．位似
D
探索新知
2
知识点
位似图形的性质
图中有多边形相似吗 如果有，那么这种相似有什么特征？
探索新知
位似图形的性质：
(1)位似图形每组对应顶点的连线必过位似中心．
(2)位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比．
(3)位似图形的对应线段平行(或在一条直线上)，且对应线段之比相等．
(4)两个图形位似，则两个图形必相似，其相似比等于位似比，周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方．
探索新知
△ABC 与△A′B′C ′是位似图形，且△ABC 与△A′B′C ′的位似比是1∶2，已知△ABC 的面积是3，则△A′B′C ′的面积是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．3 B．6 C．9 D．12
例 2
∵△ABC与△A′B′C ′是位似图形，且△ABC 与△A′B′C ′
的位似比是1∶2，
∴△ABC 与△A′B′C ′相似，且相似比为1∶2.
∴△ABC与△A′B′C ′的面积比为1∶4.
∵△ABC 的面积是3，
∴△A′B′C ′的面积是12.
导引：
D
探索新知
总 结
　　两个图形位似，则两个图形相似，所以相似图形的性
质，位似图形都满足，可以直接运用．
典题精讲
1 如图，△ABC 与△DEF 位似，位似中心为点O，且△ABC 的面积等于△DEF面积的 ，则AB∶DE＝________．
2∶3
典题精讲
2 下列关于位似图形的表述：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形； ④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．其中正确命题的序号是(　　)
A．②③ B．①②
C．③④ D．②③④
A
典题精讲
3 如图，以点O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A′B′C ′，已知OB＝3OB ′，则△A′B′C′与△ABC 的面积比为(　　)
A．1∶3
B．1∶4
C．1∶5
D．1∶9
D
探索新知
3
知识点
位似图形的画法
探究
　　如果在四边形ABCD外任取一点O，分别在OA，OB， OC， OD的反向延长线上取点A′，B′，C′，D′，使得
四边形A′B′C ′D′与四边形ABCD 有什么关系？如果点O 取在四边形内部呢？ 分别画出得到的四边形A′B′C′D′.
探索新知
　　例如，要把四边形ABCD 缩小到原来的 我们可以在四边形ABCD 外任取一点O (如图)，分别在线段OA，OB， OC， OD上取点A′，B′，C′，D′，使得
顺次连接点 A′，B′，C′，D′，所得四边形A′B′C ′D′ 就是所要求的图形.
探索新知
画位似多边形的一般步骤：
(1)确定位似中心；
(2)分别连接位似中心和能代表原多边形的关键点；
(3)根据位似比，利用截取的方法，找出所作的位似多
边形的对应点；
(4)顺次连接上述各点，得
到放大或缩小的多边形．
探索新知
画一个三角形，使它与下图所示的△ABC 位似，且原三角形与所画三角形的相似比为2∶1.
例3
导引：
画位似图形首先要选取一点为位似
中心，由于该题没有限制位似中心，
因此可以自由选取，答案也就不唯
一了．
探索新知
情况一：
如图 (1)(位似图形法)，任取一点O；
连接OA，OB，OC；
分别取OA，OB，OC的中点A′，B′，C′，
连接A′B ′，B′C ′，C′A′得△A′B′C′，则△A′B′C ′即为所求．
解：
探索新知
情况二：如图(2)(平行截取法)，取AB 的中点D，过点
D 作DE∥BC 交AC 于点E，则△ADE 即为所求．
情况三：如图 (3)(反向延长法)，延长AC 到A′，使CA′
＝ 延长BC 到B ′，使CB ′＝ 连接A′B ′，
则△A′B′C 就是所求的三角形．(画法不唯一)
探索新知
总 结
(1)位似中心的选取要使画图方便且符合要求，一般以多边形的一个顶点为位似中心画图最简便..
(2)画位似图形时，要弄清相似比，即分清是已知图形与新图形的相似比，还是新图形与已知图形的相似比.
(3)一般情况下，画已知图形的位似图形的结果不唯一.
典题精讲
1 如图，在10×10的正方形网格中，点A，B，C，D 均在格点上，以点A为位似中心画四边形AB′C′D ′，使它与四边形ABCD 位似，且位似比为2.
(1)在图中画出四边形AB′C′D ′；
(2)填空：△AC′D ′是___________三角形．
(1)如图所示：
等腰直角
学以致用
小试牛刀
1.图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是(　　)
A．点M B．点N
C．点O D．点P
2.如图，在下列四种图形变换中，该图案不包括的变换是(　　)
A．平移 B．轴对称
C．旋转 D．位似
D
A
小试牛刀
3.△ABC与△A′B ′C ′是位似图形，且△ABC与△A′B ′C ′的相似比是1∶2，已知△ABC 的面积是3，则△A′B ′C ′的面积是(　　)
A. 3 B. 6 C. 9 D. 12
D
4.如图，以点O 为位似中心，将△ABC 放大得到△DEF.若AD＝OA，则△ABC 与△DEF 的面积之比为(　　)
A．1∶2
B．1∶4
C．1∶5
D．1∶6
B
小试牛刀
5.如图，E，F，G，H 分别是OA，OB，OC，OD 的中点，
已知四边形EFGH 的面积是3，则四边形ABCD 的面积是(　　)
A．6
B．9
C．12
D．18
C
小试牛刀
6.下面是△ABC 位似图形的几种画法，其中正确的有(　　)


　　　
　　
A．1个 　　　　　　 B．2个
　　C．3个　　　　　　 D．4个
D
小试牛刀
7.如图，已知△ABC，以点O为位似中心画△DEF，使它与△ABC位似，且相似比为2.
解：如图，画射线OA，OB，OC；在射线OA，OB，OC上分别取点D，E，F，使OD=2OA，OE=2OB，OF=2OC；顺次连接D，E，F，则△ DEF 与△ABC 位似，相似比为２．
小试牛刀
8.如图△ABC与△A′B′C′是位似图形，点A，B，A′，B′，O共线，点O为位似中心．
(1)AC与A′C′平行吗？为什么？
(2)若AB＝2A′B′，OC′＝5，求CC′的长．
小试牛刀
解：(1)AC∥A′C′.
理由如下：
∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，
∴△ABC∽△A′B′C′，
∴∠A＝∠C′A′B′，∴AC∥A′C′.
(2)∵△ABC∽△A′B′C′，
∵AB＝2A′B′，∴
又∵△ABC与△A′B′C′是位似图形，
∵OC′＝5，∴OC＝10，
∴CC′＝OC－OC′＝10－5＝5.
课堂小结
课堂小结
位似图形的概念包括四层内容：
(1)位似图形是针对两个图形而言的；
(2)位似图形是相似图形；
(3)位似图形的每组对应点所在的直线都必须经过同一个点；
(4)位似图形反映了两个图形特殊的形状和位置关系，位似图形一定是相似图形，而相似图形未必是位似图形，两者的区别在于：位似图形有位似中心，而相似图形不一定有位似中心．
同学们，
下节课见！
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