冀教版（新）九上-26.1 锐角三角函数 第二课时【优质课件】

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26.1 锐角三角函数
第2课时
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课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
如图，当Rt△ABC 中的锐角A 确定时， ∠A 的对边与邻边的比便随之确定.此时，其他边 之间的比也确定吗？与同伴进行交流.
新课精讲
探索新知
1
知识点
正弦
正弦：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin A，即sin A＝
探索新知
问 题
为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡的坡角 (∠A)为30°，为使出水口的高度为35 m，需要准备多长的水管？
探索新知
这个问题可以归结为：在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m， 求 AB (如图).
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于
斜边的一半”，即
可得AB = 2BC = 70(m).也就是说，需要准备70 m长的水管.
探索新知
思考1:
在上面的问题中，如果出水口的高度为50 m，那么需要准备多长的水管？
在上面求AB (所需水管的长度）的过程中，我们用到了结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于
探索新知
思考2:
如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A =45°，计算∠A 的对边与斜边的比 由此你能得出什么结论？
探索新知
如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，因为∠A= 45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形.由勾股定理得
AB 2=AC 2+BC 2 = 2BC 2 ,
AB = BC.
因此
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角三角形大小如何， 这个角的对边与斜边的比都等于
探索新知
例1 如图，在Rt△ABC 中，∠B＝90°，AC=200，sinA=0.6，求BC 的长.
在Rt△ABC中，
∵
即
∴BC=200×0.6=120.
解：
C
典题精讲
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin A＝ ，BC＝6，则AB＝(　　)
A．4 B．6
C．8 D．10
D
典题精讲
如图，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sin A 的值为(　　)
A. B.
C. D.
B
探索新知
2
知识点
余弦
余弦：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cos A，即cos A＝
探索新知
例2 如图，在Rt△ABC 中，
∠C＝ 90°，AC＝12，
BC＝5，求sin A，cos A的值．
导引：在Rt△ABC 中，已知两直角边长，可先用勾股定理求斜边长，再利用定义分别求出sin A，cos A的值．
解：∵∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，
∴AB＝
∴sin A＝ cos A＝
探索新知
总 结
在直角三角形中，求锐角的正弦和余弦时，一定要根据正弦和余弦的定义求解．其中未知边的长度往往借助勾股定理进行求解．
探索新知
例3 如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，sin A＝ BC＝40，
求△ABC 的周长和面积．
导引：
已知BC＝40，求△ABC的周长，
则还需要求出其他两边的长，借
助sin A的值可求出AB的长，再
利用勾股定理求出AC的长即可，
直角三角形的面积等于两直角边
长乘积的一半．
探索新知
解：∵sin A＝ ∴AB＝
∵BC＝40，sin A＝ ，∴AB＝50.
又∵AC＝
∴△ABC 的周长为AB＋AC＋BC＝120，
△ABC的面积为 BC·AC＝ ×40×30＝600.
探索新知
总 结
正弦的定义表达式sin A＝ 可根据解题需要变形为
BC＝AB sin A或AB＝
余弦的定义表达式cos A＝ 也可变形为
AC＝AB cos A或AB＝ .
典题精讲
如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC 的顶点都在格点上，则图中∠ABC 的余弦值是(　　)
A．2 B.
C. D.
D
典题精讲
如图，以O为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A，B 两点，P是AB上一点(不与A，B 重合)，连接OP，设∠POB＝α，则点P 的坐标是(　　)
A．(sin α，sin α)
B．(cos α，cos α)
C．(cos α，sin α)
D．(sin α，cos α)
︵
C
探索新知
3
知识点
锐角三角函数的取值范围
1. 锐角三角函数的定义：
定义：如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，
∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，则有sin A＝ ，
cos A＝ tan A＝ 我们把sin A，cos A，tan A
叫做∠A的三角函数，即
锐角A的正弦、余弦、正
切叫做∠A的三角函数．
探索新知
2. 锐角三角函数的取值范围：
在Rt△ABC 中，因为各边边长都是正数，且斜边边长大于直角边边长，所以对于锐角A，有tan A＞0，0＜sin A＜1，0＜cos A＜1.
典题精讲
若α 是锐角，sin α＝3m－2，则m 的取值范围是(　　)
A. ＜m＜1 B．2＜m＜3
C．0＜m＜1 D．m＞
如果0°＜∠A＜90°，并且cos A是方程 (x－0.35)＝0的一个根，那么cos A＝___________．
A
0.35
探索新知
4
知识点
特殊角(30°，45°，60°)的正弦、余弦值
1．30°，45°，60°角的函数值如下表：
　　　　　　　　　 　　　　　　　 30° 45° 60°
sin α
cos α
角α
三角函数值
三角函数
典题精讲
在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sin A＝ ，cos B＝ ，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
B
学以致用
小试牛刀
如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，求sin A 和sin B 的值.
解：由勾股定理得
所以
小试牛刀
解：由勾股定理得
∴
小试牛刀
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sin A 的值为(　　)
B. C. D.
B
2
把Rt△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍， 则锐角∠A的正弦值(　　)
A．不变
B．缩小为原来的
C．扩大为原来的3倍
D．不能确定
A
小试牛刀
如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(3，4)，那么sin α 的值是(　　)
A.
B.
C.
D.
C
4
小试牛刀
5 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=90°，求sin A 的值.
解：如图．
∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°.
∴sin B＝sin30°＝
设AC＝a，则AB＝2a，
∴
小试牛刀
6 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，sin B＝ ，则AB 的长等于(　　)
A．15 B．12 C．9 D．6
7 在Rt△ABC 中，∠C＝90°，若AB＝4，sin A＝ ，则斜边上的高等于(　　)
A. B. C. D.
A
B
小试牛刀
8.在直角三角形ABC 中，AC＝4，BC＝3，求sin A的值．
解：
此题分两种情况：①当AC，BC 为两直角边时，AB＝
＝5，所以sin A＝ ；
②当BC 为直角边，AC 为斜边时，sin A＝ .
小试牛刀
9 如图，在等腰三角形ABC 中，AC＝BC＝10，AB＝12，以BC 为直径作⊙O 交AB于点D，交AC 于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB 的延长线于点E.
(1)求证：直线EF是⊙O 的切线；
(2)求cos E的值．
小试牛刀
(1)证明：如图，连接OD，CD. ∵BC 是直径，
∴CD⊥AB.∵AC＝BC，∴D是AB
的中点．又∵O为CB 的中点，∴OD∥AC.
∵DF⊥AC，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O 的切线．
(2)解：如图，连接BG.∵BC 是直径，∴∠BGC＝90°.
在Rt△ACD 中，DC＝ ＝8.
∵AB·CD＝2S△ABC＝AC·BG，
∴BG＝
∵BG⊥AC，DF⊥AC，∴BG∥EF，∴∠E＝∠CBG.
∴cos E＝cos ∠CBG＝
课堂小结
课堂小结
1.正弦的定义
2.余弦的定义
3.求锐角三角函数值的三种方法：
(1)在直角三角形里，确定各个边，根据定义直接求出．
(2)利用相似、全等等关系，寻找与所求角相等的角(若该角的三角函数值知道或者易求)．
(3)利用互余的两个角间的特殊关系求．
同学们，
下节课见！
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