冀教版（新）九上-26.2 锐角三角函数的计算【优质课件】

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26.2 锐角三角函数的计算
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B 时，它走过了 200 m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α= 16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？（结果精确到0.01 m)
情景导入
在Rt△ABC 中，∠ACB=90 °，BC=AB sin 16°.你知道sin16°是多少吗？我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值. 怎样用科学计算器求三角函数值呢？
新课精讲
探索新知
1
知识点
用计算器求已知锐角的三角函数值
1.计算器的使用方法：
(1)求整数度数的锐角三角函数值，在科学计算器的面板上涉及三角函数的键有sin ，cos 和tan ，当我们计算整数度数的某锐角的三角函数值时，可选按这三个键之一，然后再从高位到低位依次按出表示度数的键，然后按＝键，屏幕上就会显示出结果．
探索新知
(2)求非整数度数的锐角三角函数值，若度数的单位是用度、分、秒表示的，在用科学计算器计算其三角函数值时，同样先按sin ，cos 或tan 键，然后从高位到低位依次按出表示度的键，再按°’”键，然后，从高位到低位依次按出表示分的键，再按°’”键，然后，从高位到低位依次按出表示秒的键，再按°’”键，最后按＝键，屏幕上就会显示出结果．
探索新知
2.说明：
(1)用计算器求三角函数值时，结果一般有10个数位，也有的计算器会显示11个数位．如无特别说明，计算结果一般精确到万分位；
(2)不同的计算器按键方式不同，因此在使用之前要首先了解计算器的功能与使用方法．
探索新知
例1 用计算器计算:(结果精确到万分位)
(1)sin 26°≈ ；
(2) sin82°48′15″≈________．
导引：
0.4384
0.9921
已知锐角求三角函数值，按照正确的按键顺序按键，将屏幕显示的结果按要求取近似值即可．
探索新知
总 结
(1)依次按sin 2 6 ＝键，得到数据再精确到万分位即可；
(2)依次按sin 8 2 °’ ” 48°’ ”15°’ ”＝键，得到数据再精确到万分位即可．
探索新知
例2 已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A＝23°，斜
边c＝14，求∠A 的对边a 的长．(结果精确到0.01)．
c 是斜边，而a 是∠A的对边，故可利用∠A 的正弦求a.
由sin A＝ 则a＝c · sin A＝14sin 23°，利用计算器
计算得a≈5.47.
导引：
解：
探索新知
总 结
对于不是特殊角的三角函数，一般只能利用计算
器进行计算．注意结果要符合题目的精确度要求．
典题精讲
如图，是我们数学课上采用的科学计算器面板，利用该型号计算器计算cos 55°，按键顺序正确的是(　　)
C
典题精讲
利用计算器求sin 30°时，依次按键sin30°′″＝，则计算器上显示的结果是(　　)
A．0.5　　B．0.707　　C．0.866　　D．1
A
探索新知
2
知识点
用计算器求已知三角函数值的对应角
想一想
为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建 了 40 m长的斜道（如图).这条斜道的倾斜角是多少？
探索新知
1．已知三角函数值，用计算器求角度，需要用到sin ，
cos ，tan 键的第二功能“sin－1，cos－1，tan－1”和
SHIFT 键．
2．具体操作步骤是：先按SHIFT 键，再按sin ，cos ，
tan 键之一，再依次输入三角函数值，最后按＝键，
则屏幕上就会显示出结果．
探索新知
拓展：
(1)上面得出的结果是以“度”为单位的，再按°’”键
即可显示以“度、分、秒”为单位的结果．
(2)求角度的计算结果，如没有特别说明，一般精确到1″.
3．易错警示：注意由值求角必须保证按键顺序正确．
探索新知
例3 根据下列条件求锐角A 的度数：(结果精确到1′)
(1)sin A＝0.732 1；(2)cos A＝0.218 7；(3)tan A＝3.527.
导引：利用sin ，cos ，tan 键的第二功能计算，即先按SHIFT键，再按sin或cos或tan键，然后输入三角函数值，最后按＝键，即可显示结果．
探索新知
解：
(1)先按SHIFT sin 0.7321＝键，显示：47.062 734 57，再按°’”键，即可显示47°3′45.84″，所以∠A≈47°4′.
(2)先按 SHIFT cos 0.2187＝键，显示：77.367 310 78，再按°’”键，显示77°22′2.32″，所以∠A≈77°22′.
(3)先按 SHIFT tan 3.527＝键，显示：74.170 530 81，再按°’”键，显示74°10′13.91″，所以∠A≈74°10′.
探索新知
总 结
由值求角，计算器显示的角度的单位是“度”，一般需要化为用“度、分、秒”表示的形式，用°’”键可实现两者间的转换．
典题精讲
已知α为锐角，且tan α＝3.387，下列各值中与α 最接近的是(　　)
A．73°33′ B．73°27′ C．16°27′ D．16°21′
在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5，AB＝13，用科学计算器求∠A 约等于(　　)
A．24°38′ B．65°22′ C．67°23′ D．22°37′
A
D
典题精讲
如图，有一滑梯AB，其水平宽度AC 为5.3 m，铅直高度BC 为2.8 m，则∠A的度数约为________(用科学计算器计算，结果精确到0.1°)．
27.8
探索新知
3
知识点
用计算器探究三角函数的性质
三角函数值的大小有锐角的度数决定，与其在哪个直角三角形中无关，具体来说：
(1)tan A随着∠A的增大而增大，∠A越接近90°，tanA的值就增加得越快，tan A可以等于任何一个正数．
(2)sin A的值随着锐角A的增大而增大；cos A的值随着锐角A的增大而减小．
探索新知
例4 已知α，β 为锐角，且cos α 是方程2x2＋5x－3＝0的一个根，cos β≥cos α，试求α 的度数及β 的取值范围．
先求出方程2x2＋5x－3＝0的根，从而得到cos α 的值，再根据特殊角的三角函数值求出α 的度数，最后根据锐角三角函数的增减性确定β 的取值范围．
导引：
探索新知
解方程2x 2＋5x－3＝0，得x1＝－3，x2＝
∵0＜cos α＜1，且cos α 是方程2x 2＋5x－3＝0的一个根，
∴cos α＝
∵cos 60°＝ ∴α＝60°.
∵β 为锐角，cos β≥cos α，∴cos β≥cos 60°.
又∵锐角的余弦值随角的度数的增大而减小，
∴0°＜β≤60°.
解：
探索新知
总 结
解方程，由特殊角的三角函数值可知α 的度数，再利用锐角与其余弦值的关系，通过比较得到β 的取值范围.
典题精讲
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，下列各式中正确的是 (　　)
A．sin A＝sin B B．tan A＝tan B
C．sin A＝cos B D．cos A＝cos B
用计算器比较tan 25°，sin 27°，cos 26°的大小关系是(　　)
A．tan 25°B．tan 25°C．sin 27°D．cos 26°C
C
典题精讲
用计算器求sin 15°，sin 25°，sin 35°，sin 45°，sin 55°，sin 65°，sin 75°，sin 85°的值，研究sin α的值随锐角变化的规律，根据这个规律判断：
若 A．30°<α<60° B．30°<α<90°
C．0°<α<60° D．60°<α<90°
A
学以致用
小试牛刀
1.计算sin245°＋cos 30°·tan 60°，其结果是(　　)
A．2 B．1 C. D.
2.下列各式中正确的是(　　)
A．sin 60°＝
B．cos 45°＋sin 45°＝
C．sin 60°＝sin(2×30°)＝2sin 30°
D．tan 60°＋tan 30°＝2
B
A
小试牛刀
3.用计算器求下列锐角三角函数值：
(1)sin 20°，cos 70°; sin 35°, cos 55°；sin15°32′，cos74°28′;
(2)tan 3° 8'，tan 80° 25′43".
(1)sin 20°≈0.342 0，cos 70°≈0.342 0；
sin 35°≈0.573 6，cos 55°≈0.573 6；
sin 15°32′≈0.267 8，cos 74°28′≈0.267 8.
(2)tan 3°8′≈0.054 7，tan 80°25′43″≈5.930 4.　
解：
小试牛刀
4.用计算器计算cos 44°的结果(精确到0.01)是(　　)
A．0.90 B．0.72 C．0.69 D．0.66
5.用计算器验证，下列等式正确的是(　　)
A．sin 18°24′＋sin 35°36′＝sin 54°
B．sin 65°54′－sin 35°54′＝sin 30°
C．2sin 15°30′＝sin 31°
D．sin 72°18′－sin 12°18′＝sin 47°42′
B
D
小试牛刀
6.为了方便行人推车过某天桥，市政府在10 m高的天桥一侧修建了40 m长的斜道(如图所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角的度数，具体按键顺序是(　　)
A. 2ndF sin 0 · 2 5 ＝
B. sin 2ndF 0 · 2 5 ＝
C. sin 0 · 2 5 ＝
D. 2ndF cos 0 · 2 5 ＝
A
小试牛刀
7.(1)如图①②，锐角的正弦值和余弦值都随着锐角的变化而化．试探索随着锐角度数的增大，它的正弦值和余弦值变化的规律．
(2)根据你探索到的规律，试比较18°，34°，50°，62°，88°这些锐角的正弦值的大小和余弦值的大小．
小试牛刀
(3)比较大小(在横线上填写“＜”“＞”或“＝”)：
若α＝45°，则sin α________cos α；
若α<45°，则sin α________cos α；
若α>45°，则sin α________cos α.
(4)利用互为余角的两个角的正弦值和余弦值的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin 10°，cos 30°，sin 50°，cos 70°.
(1)锐角的正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的
增大而减小．
(2)sin 18°cos 88°(4)sin 10°解：
＜
＝
＞
小试牛刀
8.如图，一艘海轮在A点时测得灯塔C 在它的北偏东42°方向上，它沿正东方向航行80海里后到达B 处，此时灯塔C 在它的北偏西55°方向上．
(1)求海轮在航行过程中与灯塔C 的最短距离(结果精确到0.1)；
(2)求海轮在B 处时与灯塔C 的距离(结果保留整数)．
(参考数据：sin 55°≈0.819，cos 55°≈0.574，
tan 55°≈1.428，tan 42°≈0.900，
tan 35°≈0.700，tan 48°≈1.111)
小试牛刀
解：
(1)如图，过C 作AB的垂线，垂足为D，
根据题意可得：∠ACD＝42°，∠BCD
＝55°.设CD 的长为x 海里，
在Rt△ACD 中，tan 42°＝ ，则AD＝x ·tan 42°海里，
在Rt△BCD 中，tan 55°＝ ，则BD＝x ·tan 55°海里.
∵AB＝80海里，∴AD＋BD＝80海里，
∴x ·tan 42°＋x ·tan 55°＝80，解得x≈34.4，
即海轮在航行过程中与灯塔C 的最短距离约是34.4海里．
(2)在Rt△BCD 中，cos 55°＝ ，
∴BC＝ ≈60(海里)，
即海轮在B 处时与灯塔C 的距离约是60海里．
课堂小结
课堂小结
1．利用计算器可求锐角的三角函数值，按键顺序：先按
sin键或cos键或tan键，再按角度值，最后按＝键，就
可求出相应的三角函数值．
2．已知锐角三角函数值也可求相应的锐角，按键顺序：
先按SHIFT键，再按sin键或cos键或tan键，然后输入
三角函数值，最后按＝键，就可求出相应角度．
同学们，
下节课见！
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