冀教版（新）九上-26.3 解直角三角形【优质课件】

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26.3 解直角三角形
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
生活中，我们常常遇到与直角三角形有关的问题.为了解决这些问题，往往需要确定直角三角形的边和角.
直角三角形中有6个元素，分别是三条边和三个角.那么
至少知道几个元素，就可以求出其他的元素呢？
新课精讲
探索新知
1
知识点
已知两边解直角三角形
在Rt△ABC 中，如果已知其中两边的长，你能求出这个三角形的其他元素吗？
探索新知
解：
∵
∴∠A≈28°4′20″.
∴∠B＝90°－∠A≈ 90°－28°4′20″
＝61°55′40″.
∵AB 2＝AC 2＋BC 2＝152＋82＝289，
∴AB＝17.
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝15，BC＝8. 解这个直角三角形. (角度精确到1″)
探索新知
1．定义：由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2．直角三角形中的边角关系：
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c.则有：
(1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2；
(2)两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；
(3)边角之间的关系：sin A＝ ＝cos B，
cos A＝ ＝sin B，tan A＝
探索新知
要点精析：解直角三角形时，
①已知两边求第三边用勾股定理；
②已知一锐角求另一锐角用“直角三角形两锐角互余”；
③在两边一锐角中，有两个元素已知，则可用三角函数的定义求出第三个元素．
由上可知在直角三角形的六个元素(三条边和三个角)中，直角是已知元素，如果再知道一条边和第三个元素，就可以求出另外三个元素．
探索新知
3．解直角三角形时，选择三角函数关系式遵循以下原则：
①尽量选可以直接应用原始数据的关系式；
②尽量选择便于计算的关系式．如：当所求的元素既可用乘法又可用除法求解时，一般用乘法，不用除法．
4．易错警示：在直角三角形中寻找已知元素与未知元素的数量关系时，常建立三角函数模型研究边角之间的关系，注意正弦、余弦、正切三种函数都是涉及两边一角，要正确选择，不能将它们弄混．
探索新知
5. 解直角三角形的类型：
（1）已知两边解直角三角形.
（2）已知一边及一锐角解直角三角形.
已知两边解直角三角形：
已知斜边和一条直角边解直角三角形.
探索新知
例2 已知在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，且c＝5，b＝4，求这个三角形的其他元素．(角度精确到1′)
求这个直角三角形的其他元素，与“解这个直角三角形”的含义相同．求角时，可以先求∠A，也可以先求∠B，因为 ＝sin B＝cos A.
导引：
探索新知
由c＝5，b＝4，得sin B＝ ＝0.8，
∴∠B≈53°8′.
∴∠A＝90°－∠B≈36°52′.
由勾股定理得
解：
典题精讲
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝ AC＝ 则∠A 的度数为(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．30°
D
在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求∠A的值，最适宜的做法是(　　)
A．计算tan A 的值求出
B．计算sin A 的值求出
C．计算cos A 的值求出
D．先根据sin B 求出∠B，再利用90°－∠B 求出
C
探索新知
2
知识点
已知一边及一锐角解直角三角形
在Rt△ABC 中，如果已知一边和一个锐角，你能求出这个三角形的其他元素吗？
1.已知一条直角边和一个锐角解直角三角形：
已知一锐角，则另一锐角易求．而求另两边则需要运用定义法，将已知数据代入三角函数关系式中计算．如用已知直角边除以其对角的正弦可得斜边长，用已知直角边除以其对角的正切可得另一直角边．有时也可用勾股定理求第三边，但要防止误差变大，所以要尽量选可以直接应用原始数据的关系式．
探索新知
例3 如图，在Rt△ABC，∠C=90°，∠C = 90° ，∠A = 34°， AC＝6. 解这个直角三角形.(结果精确到0.001)
解：
∠B= 90°－∠A = 90°－ 34°＝56°.
∵
∴
∵
∴
探索新知
2.已知斜边和一锐角解直角三角形：
已知斜边和一锐角，则另一锐角易求．而求两直角边，必然要运用定义法，由斜边乘已知锐角的正弦可得已知锐角的对边；由斜边乘已知锐角的余弦可得已知锐角的邻边．当求出一直角边后，另一直角边也可用勾股定理计算，但要注意误差可能较大．
探索新知
例4 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 的对边分别为a，b，c，且c＝100，∠A＝26°44′.求这个三角形的其他元素．(长度精确到0.01)
已知∠A，可根据∠B＝90°－∠A得到∠B 的大小．而
已知斜边，必然要用到正弦或余弦函数．
∵∠A＝26°44′，∠C＝90°，
∴∠B＝90°－26°44′＝63°16′.
由sin A＝ 得a＝c ·sin A＝100·sin 26°44′≈44.98.
由cos A＝ 得b＝c ·cos A＝100·cos 26°44′≈89.31.
解：
导引：
典题精讲
如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC 的长是(　　)
A. B．4
C． D．
D
典题精讲
在△ABC 中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，b＝3，则a 等于(　　)
A. B.
C．6 D.
B
探索新知
3
知识点
已知一边及一锐角的三角函数解直角三角形
例5 如图，在△ABC 中，AB＝1，AC＝ sin B＝
求BC 的长．
要求的BC 边不在直角
三角形中，已知条件中
有∠B 的正弦值，作BC 边上的高，
将∠B 置于直角三角形 中，利用解直角三角形就可
解决问题．
导引：
探索新知
如图，过点A作AD⊥BC于点D.
∵AB＝1，sin B＝
∴AD＝AB·sin B＝1× ＝
∴BD＝
CD＝
∴BC＝
解：
探索新知
总 结
通过作垂线(高)，将斜三角形分割成两个直角三角形，然后利用解直角三角形来解决边或角的问题，这种“化斜为直”的思想很常见．在作垂线时，要结合已知条件，充分利用已知条件，如本题若过B点作AC 的垂线，则∠B 的正弦值就无法利用．
典题精讲
在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，则BC 的长为(　　)
A．10tan 50°
B．10sin 40°
C．10sin 50°
D.
B
典题精讲
2 如图，在△ABC中，∠B＝90°，tan C＝ AB＝6 cm.动点P 从点A开始沿边AB 向点B 以1 cm/s的速度移动，动点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2 cm/s的速度移动．若P，Q 两点分别从A，B 两点同时出发，在运动过程中，△PBQ 的最大面积是(　　)
A．18 cm2
B．12 cm2
C．9 cm2
D．3 cm2
C
学以致用
小试牛刀
1.在Rt△ABC 中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：c=30，b=20；
解：∵c＝30，b＝20，
∴
∵tan A＝
∴∠A≈48°.
∴∠B＝90°－∠A≈90°－48°＝42°.
小试牛刀
2.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2 ，AC＝ ， 则∠A的度数为(　　)
A．90° B．60° C．45° D．30°
D
3.在△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，欲求 ∠A的值，最适宜的做法是(　　)
A．计算tan A的值求出
B．计算sin A的值求出
C．计算cos A的值求出
D．先根据sin B求出∠B，再利用90°－∠B求出
C
小试牛刀
4.如图，四边形ABCD 是梯形，AD∥BC，CA是∠BCD 的平分线，且AB⊥AC，AB＝4，AD＝6，则tan B＝(　　)
A．
B．
C.
D.
B
小试牛刀
5.在Rt△ABC中，∠C=90°，根据下列条件解直角三角形：
（1） ∠B=72°，c =14；
（2） ∠B=30°，a = .
小试牛刀
(1)由∠B＝72°，c＝14，
得∠A＝90°－∠B＝90°－72°＝18°，
a＝c ·sin A＝14×sin18°≈4.33，
b＝c ·sin B＝14×sin72°≈13.31.
(2)∵∠B＝30°，a＝
∴∠A＝90°－∠B＝90°－30°＝60°，
b＝
c＝
解：
小试牛刀
6.如图是以△ABC 的边AB 为直径的半圆O，点C 恰好在半圆上，过点C 作CD⊥AB 于点D.已知cos∠ACD＝ ，BC＝4，则AC 的长为(　　)
A．1
B.
C．3
D.
D
小试牛刀
7.在△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝5，求tanA，cosA的值．
解：
在Rt△ABC 中，∠B＝90°，
∴AC＝ .
∴tan A＝ ，cos A＝ .
小试牛刀
8.如图，已知在四边形ABCD 中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6，CD＝4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E.
(1)若∠A＝60°，求BC 的长；
(2)若sin A＝ ，求AD 的长．
(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)
小试牛刀
解：
(1)∵∠A＝60°，∠ABE＝90°，AB＝6，tan A＝ ，
∴∠E＝30°，BE＝6·tan 60°＝6 .
∵∠CDE＝90°，CD＝4，sin E＝ ，
∴CE＝ ＝8，
∴BC＝BE－CE＝6 －8.
小试牛刀
(2)∵∠ABE＝90°，AB＝6，sin A＝ ，
∴设BE＝4x，则AE＝5x，得AB＝3x，
∴3x＝6，得x＝2，
∴BE＝8，AE＝10，
∴tan E＝ ，
解得DE＝ ，
∴AD＝AE－DE＝10－ .
小试牛刀
9.如图，一座钢结构桥梁的框架是△ABC，水平横梁BC 长18米，中柱AD 高6米，其中D 是BC 的中点，且AD⊥BC.
(1)求sin B 的值；
(2)现需要加装支架DE，EF，其中点E 在AB上，BE＝2AE，且EF⊥BC，垂足为点F，求支架DE 的长．
小试牛刀
解：
(1)在Rt△ABD 中，∵BD＝DC＝ BC＝9米，AD＝6米，
∴AB＝ (米)．
∴sin B＝ .
(2)∵EF∥AD，∴△BEF∽△BAD，又∵BE＝2AE，
∴EF＝4米，BF＝6米．∴DF＝3米．
在Rt△DEF 中，DE＝ ＝5(米)．
故支架DE 的长为5米．
课堂小结
课堂小结
1.常见的解直角三角形问题可分为哪两类？与同伴交流.
2.解直角三角形需要除直角外的两个已知条件，其中必须有一个已知边，为什么？
同学们，
下节课见！
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