冀教版（新）九上-26.4 解直角三角形的应用 第二课时【优质课件】

(共48张PPT)
26.4 解直角三角形的应用
第2课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
同一点的两个方位角的应用
两不同点的方位角的应用
坡角的应用
坡比的应用
正切的应用
情景导入
某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角由40°减至35°，已知
原楼梯长为4 m，调整后
的楼梯会加长多少？楼
梯多占多长一段地面？
(结果精确到 0.01 m)
新课精讲
探索新知
1
知识点
同一点的两个方位角问题
如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天 上午9：00观测到某渔船在观测点A 的西南方向上的B 处跟踪鱼群由南向北
匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏
西60°方向上的C 处．若该渔船的速
度为30 n mile/h，在此航行过程中，
问该渔船从B 处开始航行多长时间，
离观测点A 的距离最近？(计算结
果用根号表示，不取近似值)
例1
探索新知
如图，过点A 作AP⊥BC，垂足为P，设AP＝x n mile.
在Rt△APC 中，
∵∠APC＝90°，∠PAC＝30°，
∴tan∠PAC＝
∴CP＝AP ·tan∠PAC＝ x n mile.
在Rt△APB 中，
∵∠APB＝90°，∠PAB＝45°，
∴BP＝AP＝x n mile.
解：
探索新知
∵PC＋BP＝BC＝30× ＝15(n mile)，
∴ x＋x＝15.解得x＝
∴PB＝ n mile.
∴航行时间为
即该渔船从B 处开始航行 离观测点A的距离最近．
典题精讲
1.如图，小雅家(图中点O 处)门前有一条东西走向的公路，经测得有一水塔(图中点A处)在距她家北偏东60°方向的500米处，那么水塔所在的位置到公路的距离AB是(　　)
A．250米
B．250 米
C. 米
D．500 米
A
典题精讲
2.如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船
与灯塔P的距离约为________
海里(结果取整数)．(参考数
据：sin 55°≈0.8，cos 55°
≈0.6，tan 55°≈1.4)
11
探索新知
2
知识点
两个不同点的方位角问题
如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东53°方向，距离灯塔100 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B 处．
(1)在图中画出点B，并求出B 处与灯塔P 的距离(结果取
整数)；
(2)用方向和距离描述灯塔P
相对于B处的位置
(参考数据：sin 53°≈0.80，
cos 53°≈0.60，
tan 53°≈1.33， ≈1.41)．
例2
探索新知
(1)点B 的位置如图所示．
根据题意，得∠A＝53°，∠B＝45°.
在Rt△APC中，
∵sin A＝
∴PC＝PA ·sin 53°
≈100×0.80
＝80(n mile)．
解：
探索新知
方法一：在Rt△BPC 中，∵sin B＝
∴
方法二：在Rt△BPC 中，∵∠B＝∠BPC＝45°，
∴PC＝BC.
∴PB＝
即B 处与灯塔P的距离大约是113 n mile.
(2)灯塔P 位于B 处的西北(或北偏西45°)方向，距离B 处大约113 n mile.
探索新知
如图，随着我市铁路建设进程的加快，现规划从A 地到B 地有一条笔直的铁路通过，但在附近的C 处有一大型油库，现测得油库C 在A地的北偏东60°方向上，在B 地的西北方向上，AB的距离250( ＋1)m．已知在以油库C 为中心，半径为200 m的范围内施工均会对油库的安全造成影响．问若在此路段修建铁 路，油库C 是否会受到影响？请说明理由．
例3
探索新知
如图，过点C 作CD⊥AB 于D，
则BD＝CD，AD＝
∵BD＋AD＝AB＝250( ＋1)(m)，
即 CD＋CD＝250( ＋1)，
∴CD＝250 m，
250 m＞200 m，
故在此路段修建铁路，
油库C 是不会受到影响的．
解：
典题精讲
1.如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C 位于北偏东60°的方向，前进40 n mile到达B 点，此时，测得海岛C 位于北偏东30°的方向，则海岛C 到航线AB 的距离CD 是(　　)
A．20 n mile
B．40 n mile
C．20 n mile
D．40 n mile
C
探索新知
1
知识点
坡角的应用
坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角
拓展：
(1)坡度等于坡角的正切值，所以坡角越大，坡度越大， 坡面越陡．
(2)坡度一般写成1∶m的形式，比的前项是1，后项可以是小数或带根号的数．
探索新知
例1 一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图所示的位置时，AB＝3 m，已知木箱高BE＝ m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF.
连接AE，在Rt△ABE 中求出AE，且根据∠EAB 的正
切值求出∠EAB 的度数，
进而得到∠EAF 的度数，
最后在Rt△EAF 中解出
EF 即可．
导引：
连接AE，如图所示．
在Rt△ABE中，AB＝3，BE＝
则AE＝
∵tan ∠EAB＝
∴∠EAB＝30°.
在Rt△AEF中，
∠EAF＝∠EAB＋∠BAC＝30°＋30°＝60°，
∴EF＝AE×sin ∠EAF＝
答：木箱端点E距地面AC的高度EF为3 m.
探索新知
解：
典题精讲
如图，将一个Rt△ABC 形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动．已知楔子斜面的倾斜角为15°，若楔子沿水平方向前进6 cm(如箭头所示)，则木桩上升了(　　)
A．6sin 15° cm B．6cos 15° cm
C．6tan 15° cm D. cm
C
典题精讲
如图，长4 m的楼梯AB 的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为(　　)
A． m
B． m
C．(2 －2)m
D．(2 －2)m
B
探索新知
例2 小明沿着坡比为1∶2的山坡向上走了1 000 m，则
他升高了(　　)
A．200 m　 B．500 m　
C．500 m　 D．1 000 m
如图，设他升高了h m，
∵i＝ BC＝h m，
∴AC＝2h m.由BC 2＋AC 2＝AB 2，
得h 2＋(2h)2＝1 0002，
∴h 2＝2×105，即h＝200
A
导引：
2
知识点
坡比的应用
典题精讲
如图，斜面AC 的坡度(CD 与AD 的比)为1：2，AC＝3 米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带相连．若AB＝10米，则旗杆BC 的高度为(　　)
A．5米　　
B．6米　　
C．8米　　
D．(3＋ )米
A
典题精讲
如图，某办公大楼正前方有一根高度是15 m的旗杆ED，从办公楼顶端A测得旗杆顶端E 的俯角α 是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC 是20 m，梯坎坡长BC 是12 m，梯坎坡度i＝
1∶ ，则大楼AB 的高度约为(精确到0.1米，参
考数据： ≈1.41， ≈1.73， ≈2.45)(　　)
A．30.6 m
B．32.1 m
C．37.9 m
D．39.4 m
D
探索新知
例3 如图所示，铁路路基的横断面为四边形ABCD，其中， BC∥AD，∠A＝∠D，根据图中标出的数据计算路基下底的宽和坡角(结果精确到1′).
3
知识点
正切的应用
探索新知
解：
如图，作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为E，F.
在四边形BEFC中，
∵BC∥AD， ∠AEB=∠DFC=90 °,
∴四边形BEFC 为矩形.
∴BC=EF，BE=CF.
探索新知
解：
在 Rt△ABE 和 Rt△DCF中，
∵∠A=∠D， ∠AEB=∠DFC, BE=CF,
∴Rt△ABE ≌Rt△DCF.
∴AE=DF.
在 Rt△ABE 中，
∴∠α=38°39′，AE=5.
∴ AD=AE＋EF＋FD=BC＋2AE=10＋2×5 = 20.
即路基下底的宽为20 m，坡角约为38°39′.
探索新知
例4 如图，一居民楼底部B 与山脚P 位于同一水平线上，小李在P 处测得居民楼顶A 的仰角为60°，然后他从P 处沿坡角为45°的山坡向上走到C 处，这时，PC＝30 m，点C 与点A在同一水平线上，A，B，P，C 在同一平面内．
(1)求居民楼AB的高度；
(2)求C，A之间的距离．
(结果精确到0.1 m，
参考数据： ≈1.41，
≈1.73， ≈2.45)
探索新知
(1)过点C 作CE⊥BP，交BP 的延长线于点E，
易知AB＝EC. 在Rt△CPE 中，由sin ∠CPE＝
得出EC 的长度，进而可求出答案．
(2)在Rt△ABP 中，由tan ∠APB＝ 得出BP 的长，
在Rt△CPE 中，由cos ∠CPE＝
得出PE 的长，最后由AC＝BE＝BP＋PE 得出答案．
导引：
探索新知
(1)过点C 作CE⊥BP，交BP 的延长线于点E，如图，
易得AB＝CE.
在Rt△CPE 中，PC＝30 m，∠CPE＝45°，
∵sin ∠CPE＝
∴CE＝PC·sin ∠CPE
＝30×
≈21.2(m)．
∴AB＝CE≈21.2 m.
即居民楼AB 的高度约为21.2 m.
解：
探索新知
(2)在Rt△ABP 中，AB＝152 m，∠APB＝60°，
∴BP＝
在Rt△CPE 中，PC＝30 m，∠CPE＝45°，
∴PE＝PC ·cos ∠CPE＝30×
易得AC＝BE＝BP＋PE＝5 ＋15 ≈33.4(m)，
即C，A之间的距离约为33.4 m．
典题精讲
一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是(　　)
A．斜坡AB 的坡度是10°
B．斜坡AB 的坡度是tan10°
C．AC＝1.2tan10°米
D．AB＝ 米
B
学以致用
小试牛刀
1.如图，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B 处测得点A在点B 的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80 m后到达点C，测得点A在点C 的北偏西60°方向上，则点A 到河岸BC 的距离为________．
小试牛刀
2.如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的A 处．如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，则海轮航行的距离AB 是(　　)
A．2海里
B．2sin 55°海里
C．2cos 55°海里
D．2tan 55°海里
C
小试牛刀
3.如图，在距离铁轨200米的B 处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B 处的北偏东60°方向上；10秒钟后，动车车头到达C 处，恰好位于B 处的西北方向上，则这时段动车的平均速度是(　　)米/秒．
A．20( ＋1)
B．20( －1)
C．200
D．300
A
小试牛刀
4.如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为34°的斜坡，从A滑行至B，已知AB＝500米，则这名滑雪运动员的高度下降了________米．(参考数据：sin 34°≈0.56，cos 34°≈0.83，tan 34°≈0.67)
280
小试牛刀
5.为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD. 已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝123米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan E＝ ，则CE 的长为________米．
8
小试牛刀
6.如图，小王在长江边某瞭望台D 处，测得江面上的渔船A 的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE 平行于江面AB，迎水坡BC 的坡度i＝1∶0.75，坡长BC＝10米，则此时AB 的长约为(　　)(参考数据：sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84)
A．5.1米
B．6.3米
C．7.1米
D．9.2米
A
小试牛刀
7.如图，一艘轮船位于灯塔P 南偏西60°方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P 南偏西45°方向上的B 处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P 的最短距离．(结果保留根号)
小试牛刀
解：
如图，作PC⊥AB 交AB 的延长线于点C，
则∠APC＝60°，∠BPC＝45°，AB＝20.
∴PC＝BC，AC＝PC ·tan 60°＝ PC.
∴AB＝AC－BC＝( －1) ·PC＝20.
∴PC＝ ＝10 ＋10(海里)．
答：轮船航行途中与灯塔P的最短距离是(10 ＋10)海里．
小试牛刀
8.如图，港口B 位于港口A的南偏东37°方向，灯塔C 恰好在AB 的中点处，一艘海轮位于港口A的正南方向，港口B 的正西方向的D处，它沿正北方向航行5 km到达E 处，测得灯塔C 在北偏东45°方向上，这时，E 处距离港口A有多远？(参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75)
小试牛刀
如图，作CH⊥AD 于点H.设CH＝x，
在Rt△ACH 中，∠A＝37°，tan 37°＝ ，
∴AH＝ .在Rt△CEH中，
∵∠CEH＝45°，∴CH＝EH＝x.
∵CH⊥AD，BD⊥AD，∴CH∥BD，
∴ . ∵AC＝CB，∴AH＝HD. ∴ ＝x＋5.
∴x≈15.∴AE＝AH＋HE＝ ＋15≈35(km)，
∴E 处距离港口A 约35 km.
解：
课堂小结
课堂小结
1. 解决与方位角有关的实际问题时，必须先在每个位置中心建立方向标，然后根据方位角标出图中已知角的度数，最后在某个直角三角形内利用锐角三角函数解决问题．
2. 解决坡度问题时，可适当添加辅助线，将梯形分割为直角三角形和矩形来解决问题．
课堂小结
1.坡角是坡面与水平面间的夹角；坡度(或坡比)是坡面的铅垂高度与水平长度的比．
2.坡度与坡角的关系是坡度越大，坡角就越大，坡面就越陡；坡角的正切值等于坡比．
同学们，
下节课见！
一键发布配套作业 & AI智能精细批改
（任务-发布任务-选择章节）