冀教版（新）九上-26.4 解直角三角形的应用 第三课时【优质课件】

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26.4 解直角三角形的应用
第3课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
1.解直角三角形的意义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做直角三角形.
2.直角三角形中诸元素之间的关系：
（1）三边之间的关系：a 2+b 2=c 2 (勾股定理）；
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；
（3）边角之间的关系：
把∠A换成∠B同样适用.
新课精讲
探索新知
1
知识点
借助工具测量的应用
想一想
如图，小明想测量塔CD 的高度.他在A处仰望塔顶，测
得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B 处，测得仰角
为60°，那么该塔有多高？
(小明的身高忽略不计，结
果精确到1m)
探索新知
1.运用锐角三角函数解决实际问题的方法：
(1)弄清题意，画出示意图；
(2)找出图形中的线段、角所表示的实际意义，并找到所要解决的问题；
(3)寻找要求解的直角三角形，有时需要作适当的辅助线；
(4)选择合适的边角关系式，进行有关锐角三角函数的计算；
(5)按照题目要求的精确度确定答案，并注明单位，作答．
探索新知
2、常见的图形与关系式如下表所示：
图形 关系式
BD＝CE
AC＝BC·tan α
AE＝AC＋CE
BD＝BC－DC＝AC·
AG＝AC＋CG＝AC＋BE
BC＝DC－DB＝
AD ·(tan α－tan β)
探索新知
续表：
图形 关系式
BC＝BD＋DC＝AD ·
AB＝DE＝AE ·tan β
CE＝AE ·tan α
CD＝CE＋DE＝
AE ·(tan α＋tan β)
BC＝BE＋EF＋FC＝BE＋AD＋FC
＝AD＋h ·
探索新知
例1 “中国益阳”网上消息，益阳市为了改善市区交通状况，计划在康富路的北端修建通往资江北岸的新大桥．如图，新大桥的两端位于A，B 两点，小张为了测量A，B 之间的河宽，在垂直于新大桥AB 的直线形道路l上测得如下数据：∠BDA＝76.1°，∠BCA＝68.2°，CD＝82 m．求
AB 的长．(结果精确到0.1 m．
参考数据：sin 76.1°≈0.97，
cos 76.1°≈0.24，tan 76.1°≈4.0；
sin 68.2°≈0.93，cos 68.2°≈0.37，
tan 68.2°≈2.5)
探索新知
设AD＝x m，在Rt△ABC 中，利用∠BCA的正切值，
可以用含x 的代数式表示AB . 同理在Rt△ABD 中，利
用∠BDA的正切值表示出AB，从而列出关于x 的方程，
求出x 的值就能求出AB 的长了．
导引：
探索新知
设AD＝x m，则AC＝(x＋82) m.
在Rt△ABC 中，tan ∠BCA＝
∴AB＝AC ·tan ∠BCA＝(x＋82)tan 68.2° m.
在Rt△ABD 中，tan ∠BDA＝
∴AB＝AD ·tan ∠BDA＝xtan 76.1° m.
∴(x＋82)tan 68.2°＝x tan 76.1°. ∴x≈136.67.
∴AB≈4×136.67≈546.7(m)．
即AB 的长约为546.7 m.
解：
探索新知
总 结
解直角三角形的应用问题，需要把实际问题转化为数学模型来解决．解决直角三角形有关的应用题最常用的方法是画图(包括作辅助线，构造直角三角形或特殊平行四边形)，根据所给数据，选用恰当的锐角三角函数求出有关的量或用含有未知数的式子表示有关的量进行求解．
警示点：(1)注意方程思想的运用；
(2)注意结果必须根据题目要求进行保留．
典题精讲
如图，为固定电线杆AC，在离地面高度为6 m的A处引拉线AB，使拉线AB 与地面上的BC 的夹角为48°，则拉线AB 的长度约为(　　)
(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 48°≈0.74，cos 48°≈0.67，
tan 48°≈1.11)
A．6.7 m
B．7.2 m
C．8.1 m
D．9.0 m
C
典题精讲
一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA是水平线，BA与CA 的夹角为θ. 现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要(　　)
A. 米2
B. 米2
C. 米2
D．(4＋4tan θ)米2
D
探索新知
2
知识点
借助影子测量的应用
例2 如图，一幢楼房AB 背后有一台阶CD，台阶每层高0.2 m，且
AC＝17.2 m，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α＝60°
时，测得楼房在地面上的影长AE＝10 m，现有一只小猫睡在
台阶的MN 这层上晒太阳( 取1.73)．
(1)求楼房的高度约为多少米．
(2)过了一会儿，当α＝45°时，
问小猫还能否晒到太阳？
请说明理由．
探索新知
(1)当α＝60°时，在Rt△ABE 中，
∵tan 60°＝
∴AB＝10 ·tan 60°＝10 ≈10×1.73＝17.3(m)．
即楼房的高度约为17.3 m.
(2)当α＝45°时，小猫仍可以晒到太阳．理由如下：假设没有台阶，当α＝45°时，从点B 射下的光线与地面AD的交点为点F，与射线CM 的交点为点H (如下图)．
解：
探索新知
∵∠BFA＝45°，
∴tan 45°＝ ＝1，此时的影长AF＝AB≈17.3m．
∴CF＝AF－AC≈17.3－17.2＝0.1(m)．∴CH＝CF≈0.1 m．
∴大楼的影子落在台阶MC 这个侧面上，
∴小猫仍可以晒到太阳．
典题精讲
如图，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC上，如果CD 与地面成45°，∠A＝60°，CD＝4 m，BC＝(4 －2 ) m，则电线杆AB 的长为________．
典题精讲
如图，要在宽为22 m的九州大道两边安装路灯，路灯的灯臂CD 长2 m，且与灯柱BC 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO 与灯臂CD 垂直，当灯罩的轴线DO 通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC 高度应该设计为(　　)
A．(11－2 ) m
B．(11 －2 ) m
C．(11－2 ) m
D．(11 －4) m
D
学以致用
小试牛刀
1.某楼梯的侧面如图所示，已测得BC 的长约为3.5米，∠BCA 约为29°，则该楼梯的高度AB 可表示为(　　)
A．3.5sin 29°米
B．3.5cos 29°米
C．3.5tan 29°米
D. 米
A
小试牛刀
2.如图，AB 是斜靠在墙上的长梯，D 是梯上一点，梯脚B 与墙脚的距离为1.6 m(即BC 的长)，点D 与墙的距离为1.4 m(即DE 的长)，BD 长为0.55 m，则梯子的长为(　　)
A．4.50 m
B．4.40 m
C．4.00 m
D．3.85 m
B
小试牛刀
3.在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD. 如图，已知李明距假山的水平距离BD 为12 m，他的眼睛距地面的高度为1.6 m，李明的视线经过量角器零刻度线OA和假山的最高点C，此时，铅垂线OE经过量角器的60°刻度线，
则假山的高度为(　　)
A．(4 ＋1.6)m
B．(12 ＋1.6)m
C．(4 ＋1.6)m
D．4 m
A
小试牛刀
4.如图，AB 是伸缩式遮阳棚，CD 是窗户，要想在夏至的正午时刻阳光刚好不能射入窗户，则AB 的长是________米．(假设夏至的正午时刻阳光与地平面的夹角为60°)
小试牛刀
5.如图，若要在宽AD 为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC 长2米，且与灯柱AB 成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO 与灯臂BC 垂直，当灯罩的轴线CO 通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB 高应该设计为多少米(结果保留根号)
小试牛刀
如图，延长OC，AB 交于点P.
∵∠ABC＝120°，∴∠PBC＝60°.
又∵∠OCB＝∠A＝90°，∴∠P＝30°.
根据题意，OA＝ AD＝10米．∵BC＝2米，
∴在Rt△CPB 中，PC＝BC ·tan 60°＝2 米，
PB＝2BC＝4米．∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠A＝90°，
∴△PCB∽△PAO.
∴ . ∴PA＝ 米．
∴AB＝PA－PB＝(10－4)米．
因此，路灯的灯柱AB 高应该设计为(10 －4)米．
解：
小试牛刀
6.如图①②分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC＝0.60米，底座BC 与支架AC 所成的角∠ACB＝75°，支架AF 的长为2.50米，篮板顶端F 点到篮框D 的距离FD＝1.35米，篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE＝60°，求篮框D 到地面的距离(精确到0.01米)．(参考数据：cos 75°≈0.258 8，sin 75°≈0.965 9，tan 75°≈3.732， ≈1.732， ≈1.414)
小试牛刀
解：
如图，延长FE 交CB 于点M，过点A作AG⊥FM 于点G.
在Rt△ABC 中，tan∠ACB＝ ，
∴AB＝BC · tan 75°≈0.60×3.732≈2.239(米)．
∴GM＝AB≈2.239米．
在Rt△AGF 中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，
sin∠FAG＝ ，即sin 60°＝ ，
∴FG≈2.165米．
∴DM＝FG＋GM－DF≈2.165＋2.239－1.35≈3.05(米)．
因此，篮框D 到地面的距离大约是3.05米．
小试牛刀
7.如图，某办公楼AB 的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C有25米的距离(B，F，C 在一条直线上)．
(1)求办公楼AB 的高度；
(2)若要在A，E 之间挂一些彩旗，
请你求出A，E 之间的距离．
(参考数据：sin 22°≈ ，cos 22°≈ ，tan 22°≈ )
小试牛刀
解：
(1)如图， 过点E 作EM⊥AB，垂足为M.
设AB 为x 米．
在Rt△ABF 中，∠AFB＝45°，
∴BF＝AB＝x 米．∴BC＝BF＋FC＝(x＋25)米．
在Rt△AEM 中，∠AEM＝22°，AM＝AB－BM＝AB
－CE＝(x－2)米，ME＝BC＝(x＋25)米，
tan22°＝ ，则 ，
解得x≈20.即办公楼AB 的高度约为20米．
小试牛刀
(2)由(1)可得ME＝x＋25≈20＋25＝45(米)．
在Rt△AME 中，cos22°＝ .
∴AE＝ ＝48(米)．
即A，E 之间的距离约为48米．
课堂小结
课堂小结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程：
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题)；
(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案．
注意：当有些图形不是直角三角形时，可考虑适当添加辅助线构造直角三角形或其他特殊的四边形得出．
同学们，
下节课见！
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