冀教版（新）九上-26.4 解直角三角形的应用 第一课时【优质课件】

(共35张PPT)
26.4 解直角三角形的应用
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
平时我们观察物体时，我们的视线相对于水平线来说可有几种情况？
三种，重叠、向上、和向下
新课精讲
探索新知
1
知识点
仰角的应用
仰角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为仰角．
定义：
探索新知
例1 如图小山岗的斜坡AC 的坡度是 坡角为α，在与山脚C 距离200 m的点D 处测得山顶A的仰角为 26.6°，求小山岗的高．(结果精确到1 m，参考数据：sin 26.6°≈0.45，cos 26.6°≈0.89，tan 26.6°≈0.50)
探索新知
设小山岗的高为x m，由题意得tan α＝
又在Rt△ABD 中，tan 26.6°＝
而BD＝BC＋CD，由此可得关于x 的方程，
从而解得AB 的长．
导引：
探索新知
设小山岗的高为x m，
在Rt△ABC 中，由题意得 tan α＝
∴BC＝
∴BD＝DC＋BC＝
在Rt△ABD 中，tan ∠ADB＝tan 26.6°＝
∴ 解得x≈300，即小山岗的高约为 300 m.
解：
探索新知
总 结
与仰角(或俯角)有关的计算问题的解决方法：
首先弄清哪个角是仰角(或俯角)，再选择或构造恰当的直角三角形，将仰角或俯角置于这个三角形中，选择正确的三角函数，并借助计算器求出要求的量．
例2 如图，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”．下面是两位同学的一段对话：
甲：我站在N 处看塔顶，仰角为60°.
乙：我站在M 处看塔顶，仰角为30°.
甲：我们的身高都是1.5 m.
乙：我们和塔在一条直线上，且我们相距20 m.请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度．(结果精确到1 m)．
探索新知
探索新知
由题意知∠CAB＝30°，∠CBD＝60°，AB＝20 m，
AM＝BN＝DP＝1.5 m．
在△ABC中，∠CBD＝∠ACB＋∠CAB，
∴∠ACB＝60°－30°＝30°.
∴∠ACB＝∠CAB. ∴BC＝AB＝20 m．
在Rt△CBD 中，BC＝20 m，∠CBD＝60°，
sin ∠CBD＝
∴CD＝BC·sin ∠CBD＝20sin 60°＝20× (m)．
∴CP＝CD＋DP＝10 ＋1.5≈19(m)．
答：白塔的高度约为19 m.
解：
探索新知
总 结
从不同位置看同一点测高度时，往往用高度来表示这两个不同位置到被测物底部的距离．然后利用两次测量的不同位置之间的距离来解决问题．
典题精讲
如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30 m的B 处，测得树顶A 的仰角∠ABO 为α，则树OA的高度为(　　)
A. m　　　　　　　
B．30sin α m
C．30tan α m
D．30cos α m
C
典题精讲
湖南路大桥于今年5月1日竣工，为徒骇河景区增添了一道亮丽的风景线．某校数学兴趣小组用测量仪器测量该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB 底部50 m的C 处，测得桥塔顶部A的仰角为41.5°(如图)．已知测量仪器CD 的高度为1 m，则桥塔AB 的高度约为(　　)(参考数据：sin 41.5°≈0.663，
cos 41.5°≈0.749，
tan 41.5°≈0.885)
A．34 m　　B．38 m　　
C．45 m　　D．50 m
C
探索新知
2
知识点
俯角的应用
俯角：当从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角称为俯角．
定义：
探索新知
例3 小明在热气球A上看到正前方横跨河流两岸的大桥BC， 并测得B，C 两点的俯角分别为45°，35°，如图所示．已知大桥BC 与地面在同一水平面上，其长度为100 m．请求出热气球离地面的高度．(结果保留整数．参考数据：sin 35°≈0.574，cos 35°≈0.819，tan 35°≈0.700)
探索新知
过点A作AD⊥BC 于点D，热气球离地面的高度即为AD 的长．利用BC 长度转化为CD－BD＝BC，由辅助线构造出Rt△ABD，Rt△ACD，利用解直角三角形求解．
如图，作AD⊥BC于点D.由题意得∠ABD＝45°，
∠ACD＝35°，BC＝100 m.
设AD＝x m，则BD＝AD＝x m，CD＝ m.
∵BC＝CD－BD，∴ －x＝100.
∴x≈233.
答：热气球离地面的高度约为233 m.
导引：
解：
探索新知
总 结
从同一点看不同的位置，有两个视角，不同位置之间有距离，作垂线将两个视角都放在直角三角形中，利用不同位置之间的距离列方程来解决问题．
典题精讲
如图，某飞机在空中A 处探测到它的正 下方地平面上目标C，此时飞行高度AC＝1 200 m，从飞机上看地平面指挥台B 的俯角α＝30°，则飞机A与指挥台B 的距离为(　　)
A．1 200 m
B．1 200 m
C．1 200 m
D．2 400 m
D
典题精讲
如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C 处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为120 m，则这栋楼的高度为(　　)
A．160 m
B．120 m
C．300 m
D．160 m
A
学以致用
小试牛刀
1.聊城“水城之眼”摩天轮是亚洲三大摩天轮之一，也是全球首座建筑与摩天轮相结合的城市地标，如图，点O是摩天轮的圆心，长为110米的AB是其垂直地面的直径，小莹在地面C点处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为33°，测得圆心O的仰角为21°，则小莹所在C点到直径AB所在的直线的距离约为(tan 33°≈0.65，tan 21°≈0.38)(　　)　
A．169米
B．204米
C．240米
D．407米
B
小试牛刀
2.如图，某日，正在我国南海海域作业的一艘大型渔船突然发生险情，相关部门接到求救信号后，立即调遣一架直升飞机和一艘正在南海巡航的渔政船前往救援，当飞机到达海面3 000 m的高空C 处时，测得A处渔政船的俯角为45°，测得B 处发生险情渔船的俯角为30°，此时渔政船和渔船的距离AB是(　　)
A．3 000 m
B．3 000( ＋1)m
C．3 000( －1)m
D．1 500 m
C
小试牛刀
3.观光塔是潍坊市区的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C 处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D 处的俯角是30°. 已知楼房高AB 约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是
________m.
135
小试牛刀
4.如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米， ≈1.414)(　　)
A．34.14米
B．34.1米
C．35.7米
D．35.74米
C
小试牛刀
5.如图所示，一架水平飞行的无人机AB 的尾端点A测得正前方的桥的左端点P 的俯角为α，其中tan α＝2 ，无人机的飞行高度AH 为500 米，桥的长度为1 255米．
(1)求点H 到桥左端点P 的距离；
(2)若无人机前端点B 测得正前方的桥的右端点Q 的俯角为30°，求这架无人机的长度AB.
小试牛刀
解：
(1)在Rt△AHP 中，∵AH＝500 ，tan∠APH＝tan α
＝ ，∴HP＝250(米)．
答：点H 到桥左端点P 的距离为250米．
(2)如图，过点B 作BC⊥HQ 于点C.
在Rt△BCQ 中，∵BC＝AH＝500 ，
∠BQC＝30°，∴CQ＝ ＝1 500.
∵PQ＝1 255，∴CP＝245.∵HP＝250，
∴AB＝HC＝HP－CP＝250－245＝5(米)．
答：这架无人机的长度AB 为5米．
小试牛刀
6.如图，某人为了测量小山顶上的塔ED 的高，他在山下的点A 处测得塔尖点D 的仰角为45°，再沿AC 方向前进60 m 到达山脚点B，测得塔尖点D 的仰角为60°，塔底点E 的仰角为30°，求塔ED 的高度．
(结果保留根号)
小试牛刀
由题知，∠DBC＝60°，∠EBC＝30°，∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°.又∵∠BCD＝90°，
∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°.
∴∠DBE＝∠BDE.∴BE＝DE.
设EC＝x，则DE＝BE＝2EC＝2x，DC＝EC＋DE＝x＋2x＝3x，∴BC＝ .
由题知，∠DAC＝45°，∠DCA＝90°，AB＝60，
∴△ACD 为等腰直角三角形．∴AC＝DC.
∴x＋60＝3x，解得x＝30＋10 .
∴DE＝2x＝60＋20 .
答：塔ED 的高为(60＋20 )m.
解：
小试牛刀
7.金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB 的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C 处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F 处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE 为1米，点C 距地面的高度CD为3米，台阶CF 的坡角为30°，且点E，F，D 在同一条直线上，求旗杆AB 的高度．(计算结果精确到0.1米，参考数据：
≈1.41， ≈1.73)
小试牛刀
解：
如图所示，过点C 作CM⊥AB 于点M，则四边形MEDC 是矩形，∴ME＝DC＝3，CM＝ED.
在Rt△AEF 中，∠AFE＝60°，
设EF＝x，则AF＝2x，AE＝ x.
在Rt△FCD 中，CD＝3，∠CFD＝30°，
∴DF＝3 . 在Rt△AMC 中，∠ACM＝45°，
∴MA＝MC. ∵ED＝MC，∴AM＝ED.
∵AM＝AE－ME，ED＝EF＋DF，∴ x－3＝x＋3 .
解得x＝6＋3 .∴AE＝ ×(6＋3 )＝6 ＋9.
∴AB＝AE－BE＝9＋6 －1≈18.4(米)．
答：旗杆AB 的高度约为18.4米．
课堂小结
课堂小结
解答含有仰角、俯角问题的方法：
(1)仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”．在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题．
(2)视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度．
(3)弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解．
同学们，
下节课见！
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