冀教版（新）九上-27.2 反比例函数的图象与性质 第三课时【优质课件】

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27.2 反比例函数的图象与性质
第3课时
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反比例函数图像的位置及增减性由k 的符号决定，|k |决定图像上一点向两坐标轴所作垂线与两坐标轴围成的矩形面积，中考时常将反比例函数图像和性质与其他函数、几何图像综合在一起进行考查，是中考压轴题中一个重要的命题方向．
新课精讲
探索新知
1
题型
利用反比例函数解与图形旋转相关的问题
如图，△ABC 的顶点坐标为A(－2，3)，B(－3，1)，C (－1，2)，以坐标原点O为旋转中心，顺时针旋转90°，得到△A′B′C ′，点B ′，C ′分别是点B，C的对应点．求：
(1)过点B ′的反比例函数的表达式；
(2)线段CC ′的长．
探索新知
(1)由题易得点B 的对应点B ′的坐标为(1，3)，
设过点B ′的反比例函数表达式为
∴k＝3×1＝3.
∴过点B ′的反比例函数表达式为
解：
探索新知
(2)连接OC，OC ′.
∵点C 的坐标为(－1，2)，
∴OC＝
∵△ABC 以坐标原点O 为旋转中心，顺时针旋转90°，得到
△A′B′C ′，点C ′是点C 的对应点，
∴OC ′＝OC＝5，∠COC ′＝90°.
∴CC ′＝
探索新知
2
利用反比例函数解与图形的轴对称相关的问题
题型
如图，一次函数y＝x＋b 的图像与反比例函数y＝
(k 为常数，k≠0)的图像交于点A(－1，4)和点B(a，1)．
(1)求反比例函数的表达式
和a，b 的值；
(2)若A，O 两点关于直线l对
称，请连接AO，并求出直线l
与线段AO 的交点坐标．
探索新知
(1)∵点A(－1，4)在反比例函数 (为常数，
k≠0)的图像上，
∴k＝－1×4＝－4.
∴反比例函数的表达式为
把点A(－1，4)，B (a，1)的坐标分别代入y＝x＋b，
得
解得
解：
探索新知
(2)如图，设线段AO 与直线l相交于点M.
∵A，O 两点关于直线l对称，
∴点M 为线段OA 的中点．
∵点A(－1，4)，O (0，0)，
∴点M 的坐标为
即直线l与线段AO的交点坐标为
探索新知
3
利用反比例函数解与图形的中心对称相关的问题
题型
3．如图，直线y＝ x－ 与x，y 轴分别交于点A，B，与反比例函数y＝ (k＞0)的图像交于点C，D，过点A作x 轴的垂线交该反比例函数图像于点E.
(1)求点A的坐标．
(2)若AE＝AC.
①求k 的值．
②试判断点E 与点D 是否关于原点O
成中心对称，并说明理由．
探索新知
(1)当y＝0时，得0＝ x－ ，解得x＝3.
∴点A 的坐标为(3，0)．
解：
(2)①如图，过点C 作CF⊥x 轴于点F.
设AE＝AC＝t，易知点E 的坐标是(3，t )，
在Rt△AOB 中，
易知OB＝ ，OA＝3，
∴AB＝
∴AB＝2OB. ∴∠OAB＝30°.
∴∠CAF＝30°.∴CF＝ t.
探索新知
∴
∴点C的坐标是
又∵点C与点E均在反比例函数 (k＞0)的图像上，
∴
解得t1＝0(舍去)，t2＝2 .
∴k＝3t＝6 .
探索新知
②点E 与点D 关于原点O 成中心对称．理由如下：
设点D的坐标是
则
解得x1＝6(舍去)，x2＝－3.
∴点D 的坐标是(－3，－2 )．
又∵点E 的坐标为(3，2 )，
∴点E 与点D 关于原点O 成中心对称．
探索新知
4
利用反比例函数解与图形的平移相关的问题
4．如图，反比例函数y＝ 与一次函数y＝ax＋b 的图
像交于点A(2，2)， B ( ，n).
(1)求这两个函数表达式；
(2)将一次函数y＝ax＋b 的图像沿y
轴向下平移m 个单位长度，使平
移后的图像与反比例函数y＝
的图像有且只有一个交点，
求m 的值．
题型
探索新知
解：
(1)∵A(2，2)在反比例函数y＝ 的图像上，
∴k＝4.
∴反比例函数的表达式为y＝
又∵点B 在反比例函数y＝ 的图像上，
∴ n＝4，解得n＝8，
即点B 的坐标为
探索新知
由A(2，2)，B 在一次函数y＝ax＋b 的
图像上，
得
解得
探索新知
(2)由(1)得，一次函数的表达式为y＝－4x＋10. 将直线y＝－4x＋10向下平移m 个单位长度得直线对应的函数表达式为y＝－4x＋10－m，
∵直线y＝－4x＋10－m与双曲线y＝ 有且只有一个交点，
令 －4x＋10－m＝ ，得4x 2＋(m－10)x＋4＝0，
∴Δ＝(m－10)2－64＝0，
解得m＝2或m＝18.
探索新知
5
利用反比例函数解与最值相关的问题
5．如图，已知点A(1，a)是反比例函数y＝－ 的图像
上一点，直线y＝－ x＋ 与反比例函数y＝－
的图像在第四象限的交点为点B.
(1)求直线AB 对应的函数表达式；
(2)动点P (x，0)在x 轴的正半轴上
运动，当线段PA与线段PB 的
长度之差达到最大时，求点P
的坐标．
题型
探索新知
解：
(1)将A(1，a)的坐标代入y＝－ 中，得a＝－3，
∴A(1，－3)．
∵B点是直线y＝－ x＋ 与反比例函数
y＝－ 的图像在第四象限的交点，
由
∴点B 的坐标为(3，－1)．
设直线AB 对应的函数表达式为y＝kx＋b，
探索新知
∴y＝x－4.
(2)当P点为直线AB与x轴的交点时，线段PA与线段PB的长度之差最大．
∵直线AB 对应的函数表达式为y＝x－4，
∴点P 的坐标为(4，0)．
探索新知
6
利用反比例函数解与最值相关的问题
6. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x与反比例函数y＝ 在第一象限内的图像交于点A(m，2)．将直线y＝2x 向下平移后与反比例函数在第一象限内的图像交于点P，
且△POA的面积为2.
求：(1)k 的值；
(2)平移后的直线对应的函
数表达式．
题型
探索新知
解：
(1)∵点A(m，2)在直线y＝2x上，
∴2＝2m.
∴m＝1.
∴点A 的坐标为A(1，2)．
又点A (1，2)在反比例函数y＝ 的图像上，
∴k＝2.
探索新知
(2)如图，设平移后的直线与y 轴交于点B，连接AB，则
S△OAB＝S△OAP＝2.
过点A作y 轴的垂线AC，垂足为点C，
则AC＝1.
∴OB·AC＝2.
∴OB＝4.
∴平移后的直线对应的函
数表达式为y＝2x－4.
探索新知
7
题型
利用反比例函数解与一次函数、三角形面积综合的问题
如图，平行四边形ABCD 的两个顶点A，C 在反比例函数
(k≠0)图象上，点B，D 在x 轴上，且B，D 两点关
于原点对称，AD 交y 轴于P点．
(1)已知点A的坐标是(2，3)，
求k 的值及C点的坐标；
(2)若△APO 的面积为2，求
点D 到直线AC 的距离．
探索新知
解：(1)∵点A 的坐标是(2，3)，且点A在反比例函数
(k≠0)图象上，
∴ ∴k＝6，
又易知点C 与点A 关于原点O 对称，
∴C 点的坐标为(－2，－3)．
(2)∵△APO 的面积为2，点A 的坐标是(2，3)，
∴2＝ ，解得OP＝2，
∴点P 的坐标为(0，2)．
探索新知
设过点P (0，2)，点A(2，3)的直线对应的函数
表达式为y＝ax＋b，
∴ 解得
即直线PA对应函数的解析式为y＝ x＋2.
将y＝0代入y＝ x＋2，得x＝－4，
∴D 点的坐标为(－4，0)．
∴OD＝4，
探索新知
∵A(2，3)，C (－2，－3)，
∴AC＝
设点D 到AC 的距离为m，
∵S△ACD＝S△ODA＋S△ODC，
∴
解得m＝ ，即点D 到直线AC 的距离是
学以致用
小试牛刀
1.如图，点A，B分别在x轴、y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴于点C，AO＝CD＝2，AB＝DA＝ ，反比例函数y＝ (k＞0)的图像过CD的中点E.
(1)求证：△AOB≌△DCA；
(2)求k的值；
(3)△BFG和△DCA关于某点成中心对称，其中点F在y轴上，试判断点G是否在反比例函数的图像上，并说明理由．
小试牛刀
(1)证明：∵点A，B分别在x轴，y轴上，点D在第一象限内，DC⊥x轴于点C，∴∠AOB＝∠DCA＝90°.
在Rt△AOB和Rt△DCA中，
∴Rt△AOB≌Rt△DCA.
小试牛刀
(2)解：在Rt△ACD中，∵CD＝2，DA＝ ，
∴OC＝OA＋AC＝2＋1＝3.
∴D点坐标为(3，2)．
∵点E为CD的中点，
∴点E的坐标为(3，1)．
∴k＝3×1＝3.
小试牛刀
(3)解：点G在反比例函数的图像上．
理由如下：∵△BFG和△DCA关于某点成中心对称，∴△BFG≌△DCA.
∴FG＝CA＝1，BF＝DC＝2，∠BFG＝∠DCA＝90°.
易知OB＝AC＝1，∴OF＝OB＋BF＝1＋2＝3. ∴G点坐标为(1，3)．∵1×3＝3，∴点G(1，3)在反比例函数的图像上．
小试牛刀
2.如图，过反比例函数y＝ (x＞0)的图像上一点A作x轴的平行线，交双曲线y＝ (x＜0)于点B，过B作BC∥OA交双曲线y＝ (x＜0)于点D，交x轴于点C，连接AD交y轴于点E，若OC＝3，求OE的长．
小试牛刀
解：设点A的坐标为 ，由题易知四边形ABCO是平行四边形，
∴AB＝OC＝3.
∴点B的坐标为
∴(a－3) ＝－3.
∴a＝2.
∴A点的坐标为(2，3)，B点的坐标为(－1，3)．
∵C点的坐标为(－3，0)，
∴直线BC对应的函数表达式为
整理得x2＋3x＋2＝0，解得x1＝－1，x2＝－2.
∴直线AD对应的函数表达式为 ∴OE＝94.
小试牛刀
小试牛刀
3.如图，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是(4，0)和(0，2)，反比例函数y＝ (x>0)的图像过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为________．
小试牛刀
4.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的对角线OB，AC相交于点D，且BE∥AC，AE∥OB.
(1)求证：四边形AEBD是菱形；
(2)如果OA＝3，OC＝2，求出经过点E的双曲线对应的函数表达式．
小试牛刀
解：(1)证明：∵BE∥AC，AE∥OB，
∴四边形AEBD是平行四边形．
∵四边形OABC是矩形，
∴DA＝DB.
∴四边形AEBD是菱形．
小试牛刀
(2)解：连接DE，交AB于F，
易知DE＝OA＝3.
∵四边形AEBD是菱形，
设所求反比例函数表达式为
把点E 的坐标代入得 ，解得 .
∴所求反比例函数表达式为 .
同学们，
下节课见！
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