冀教版（新）九上-27.2 反比例函数的图象与性质 第一课时【优质课件】

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27.2 反比例函数的图象与性质
第1课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
1.什么是反比例函数？
一般地，形如 （k 是常数， ）的函数
叫做反比例函数
2.反比例函数的定义中需要什么？
（1）k 是非零实数.
（2）xy = k.
新课精讲
探索新知
图像的画法：
(1)反比例函数的图像是双曲线；
(2)画反比例函数的图像要经过“列表、描点、连线”这三个步骤．
1
知识点
反比例函数的图像
探索新知
(1)双曲线的两端是无限延伸的，画的时候要“出头”；
(2)画双曲线时，取的点越密集，描出的图像就越准确，但计算量会越大，故一般在原点的两侧各取3～5个点即可；
(3)连线时，要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用平滑的曲线连接．注意：两个分支不连接．
探索新知
我们来画反比例函数 的图像．
(1)列表：
x … －6 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 6 …
… －6 －1.5 －2 －3 －6 6 3 2 1.5 1 …
探索新知
(2)描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在下图所示的直角坐标系中描出相应的点．
(3)连线：用平滑的曲线顺次连接各点，就得到反比例函数 的图像.
探索新知
总 结
列表时，自变量的值可以以0为中心，在0的两边选择绝对值相等而符号相反的值，既可简化运算又便于描点；在列表、描点时要尽量多取一些数据，多描一些点，方便连线．
典题精讲
点(2，－4)在反比例函数 的图像上，则下列各点在此函数图像上的是(　　)
A．(2，4)　　　
B．(－1，－8)
C．(－2，－4)
D．(4，－2)
1
D
典题精讲
反比例函数 的图像在(　　)
A．第一、二象限
B．第一、三象限
C．第二、三象限
D．第二、四象限
2
B
典题精讲
已知某种品牌电脑的显示器的寿命大约为2×104时，这种显示器工作的天数为d (天)，平均每天工作的时间为t (时)，那么能正确表示d 与t 之间的函数关系图像的是(　　)
3
C
探索新知
2
知识点
反比例函数图像的对称性
观察例1中函数图象，如果点P (x0 ,y0)在函数 的图象上，那么与点P 关于原点成中心对称的P ′的坐标应是什么 这个点在函数 的图象上吗
探索新知
双曲线既是一个轴对称图形又是一个中心对称图形．对称轴有两条，分别是直线y＝x 与直线y＝－x；对称中心是坐标原点，任何一条经过原点的直线只要与双曲线有两个交点，则这两个交点关于原点对称．
探索新知
如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P (3a，a)是反比例函数 (k＞0)的图象与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则
这个反比例函数的表达式
为________．
例1
探索新知
由反比例函数图象的对称性可知阴影部分的面积正好等于正方形面积的 , 设正方形的边长为b，由图中阴影部分的面积等于9可求出b 的值，进而可得出a 的值，再根据点P (3a，a)在反比例函数的图象上，可得出反比例函数的表达式．
导引：
探索新知
总 结
由求表达式这种“数”，联想到求表达式的图象上的点的坐标这种“形”，再由点在几何图形的位置，结合图形的相关性质(如本例的对称性、面积与边长的关系等)，求出相关线段的长，即可得到点的坐标，最后将点的坐标代入所设的表达式中求出待定字母的值，从而得到所求的表达式．这种由“数”到“形”，最后又由“形”回到“数”的数形结合思想在本章中有相当高的使用“频率”．
典题精讲
已知P 为函数 的图象上一点，且点P 到原点的距离为2，则符合条件的点P 有(　　)
A．0个
B．2个
C．4个
D．无数个
1
B
典题精讲
如图，以原点为圆心的圆与反比例函数 的图像交于A，B，C，D 四点，已知点A 的横坐标为1，则点C 的横坐标为(　　)
A．－4
B．－3
C．－2
D．－1
2
B
典题精讲
如图，边长为4的正方形ABCD 的对称中心是坐标原点O，AB∥x 轴，BC∥y 轴，反比例函数y＝ 与y＝－ 的图像均与正方形ABCD 的边相交，则图中阴影部分的面积之和是(　　)
A．2
B．4
C．6
D．8
3
D
学以致用
小试牛刀
1.在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx＋m (m≠0)与y＝ (m≠0)的图象可能是(　　)
D
小试牛刀
2.a≠0，函数y＝ 与y＝－ax 2＋a 在同一直角坐标系中的大致图象可能是(　　)
D
小试牛刀
3.已知抛物线y＝x 2＋2x－m－2与x 轴没有交点，则函数y＝ 的大致图象是(　　)
C
小试牛刀
4. 已知一个反比例函数的图象经过点A(3, -4).
(1)这个函数的图象位于哪些象限？在图象的每一支上，y 随x 的增大如何变化？
(2)点B ( -3, 4)，C (-2, 6)，D (3, 4)是否在这个函数的图象上？为什么？
答：(1)因为点A 在第四象限，所以这个函数的图象位于第二、四象限，在图象的每一支上，y 随x 的增大而增大．
小试牛刀
(2)设这个反比例函数的解析式为 因为点A(3，
－4)在其图象上，所以 解得k＝－12.
所以这个反比例函数的解析式为 因为点B，
C 的坐标都满足 点D 的坐标不满足
所以点B，C 在函数 的图象上，点D 不在这
个函数的图象上．
小试牛刀
5.已知点A (x1，y1)，B (x2，y2)在反比例函数 的图象上. 如果x1＜x2，而且x1，x2同号，那么y1，y2 有怎样的大小关系？为什么？
答：y1＞y2，因为反比例函数 的图象位于第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，且x1＜x2，x1，x2同号，所以y1＞y2.
小试牛刀
6.如图，已知反比例函数y＝ 的图象经过点A(4，m)，AB⊥x 轴，且△AOB 的面积为2.
(1)求k 和m 的值；
(2)若点C (x，y )也在反比例函数y＝
的图象上，当－3≤x≤－1时，求
函数值y 的取值范围．
小试牛刀
(1)∵S△AOB＝ OB·AB＝2，A(4，m)，
∴4m＝4，∴m＝1，
即A(4，1)．
把A(4，1)的坐标代入y＝ ，得k＝4.
(2)当x＝－3时，y＝－ ；当x＝－1时，y＝－4.
∵当－3≤x≤－1时，反比例函数图象在第三象限，
y 随x 的增大而减小，
∴－4≤y≤－ .
解：
小试牛刀
7.如图，P1，P2是反比例函数y＝ (k＞0)在第一象限的图象上的两点，点A1的坐标为(4，0)．若△P1OA1与△P2A1A2均为等腰直角三角形，其中点P1，P2为直角顶点．
(1)求反比例函数的解析式．
(2)①求点P2的坐标．
②根据图象直接写出在第一象
限内当x满足什么条件时，经过P1，P2的直线对应的
一次函数的函数值大于反比例函数y＝ 的函数值．
小试牛刀
解：
(1)如图，作P1H1⊥x轴于H1.
由题易知OA1＝4.
∵△P1OA1是以P1为直角顶点的等腰直角三角形，
∴P1H1＝OH1＝ OA1＝2.
∴点P1的坐标为(2，2)．
∵点P1在反比例函数y＝ 的图象上，
∴k＝xy＝2×2＝4.
∴反比例函数的解析式为y＝ .
(2)①设A1A2＝2a，如图，作P2H2⊥x 轴于H2.
∵△P2A1A2是以P2为直角顶点的等腰直角三角形，
∴P2H2＝A1H2＝ A1A2＝a.
∵OA1＝4，∴OH2＝4＋a.∴P2(4＋a，a)．
又∵P2在反比例函数y＝ 的图象上，
∴(4＋a)a＝4，即a 2＋4a－4＝0.
解得a＝2 －2 (负值不合题意，舍去)．
∴4＋a＝2 ＋2.∴P2(2 ＋2，2 －2)．
小试牛刀
小试牛刀
②当2＜x＜2 ＋2时，经过P1，P2的直线对应的一次
函数的函数值大于反比例函数y＝ 的函数值．
课堂小结
课堂小结
反比例函数图像及位置：
反比例函数 表达式 图象 位置
第一、三象限
第二、四象限
课堂小结
画反比例函数图像的一般步骤：
(1)列表：自变量的取值应以原点O为中心，在O的两边取三对(或三对以上)互为相反数的数，再求出相应的函数值；
(2)描点：由于反比例函数的图像是两条关于原点对称的曲线，所以画图像时，可先画一个分支，再根据对称性画出另一个分支；
(3)连线：连线时要按自变量由小到大的顺序，用平滑的曲线连接各点．
同学们，
下节课见！
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