冀教版（新）九上-28.3 圆心角与圆周角 第三课时【优质课件】

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28.3 圆心角与圆周角
第3课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
同弧所对的圆周角与圆心角有什么关系呢？直径与圆周角又有什么关系呢？我们今天就来探究探究 .
新课精讲
探索新知
1
知识点
直径所对的圆周角是直角
直径所对的圆周角是多少度？请说明理由.
总结
直径所对的圆周角是直角 .
探索新知
已知：如图，AB是⊙O的直径，D是圆上任意一点
(不与A，B重合)，连接BD并延长到点C，使BD＝
DC，连接AC，试判断△ABC的形状 .
例1
导引：连接AD，由AB是直径可得AD⊥BC，
再由BD＝DC，可得AB＝AC .
解：如图，连接AD .
∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BC .
∵BD＝DC，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．
探索新知
总 结
如果题目中有直径，常常添加辅助线，构造直径所对的圆周角，把问题转化为直角三角形的问题．
如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，若∠OBC＝60°，则
∠BAC的度数是(　　)
A．75°　　　B．60°　
　 C. 45°　　 　D．30°
如图，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为(　　)
A．20° B．40°
C．50° D．70°
典题精讲
D
C
探索新知
2
知识点
90°的圆周角所对的弦是直径
90°的圆周角所对的弦是直径吗？请说明理由 .
总结
90°的圆周角所对的弦是直径 .
探索新知
例2 如图所示，已知CO、CB是⊙O′的弦，⊙O′与直角
坐标系的x，y轴相交于点B、A，若∠COB= 45°，
∠OBC= 75°，A点坐标为(0，2)，求⊙O′的直径 .
分析：在平面直角坐标系中，∠AOB=90°，
故若连接AB的话，AB是⊙O′的直径，求AB即可 .
解：连接AB . 因为∠AOB=90°，所以AB是⊙O′的直径 . ∠A=∠C=180°－∠COB－∠OBC=180°－45°－75°=60°.
所以∠ABO=30°. 又A(0，2)，所以OA=2，所以AB=2OA=4 .
即⊙O′的直径为4 .
探索新知
本题将圆与平面直角坐标系巧妙结合，并转化为三角形的有关知识解答，解答综合题的关键是找到它们的“结合点”，如本题中，对平面直角坐标系而言，有x轴⊥y轴；对△AOB而言，有∠AOB=90°；对⊙O′而言，由∠AOB=90°，得AB为⊙O′的直径，且∠A=∠C . 解答综合题还要注意，一般情况下，除了充分利用题目的已知条件外，还要挖掘图形中的隐含条件 .
总 结
典题精讲
1 下列结论正确的是(　　)
A．相等的圆心角所对的弦相等
B．等弦所对的弧相等
C．等弧所对的弦相等
D．垂直于弦的直线平分弦
2 从下列直角三角尺与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是(　　)
C
B
学以致用
小试牛刀
1 如图，AB是⊙O的直径，∠A=10°，则∠ABC=______．
80°
2 如图，AB是⊙O直径，CD是弦，∠ACD=40°，则∠BCD=_____，∠BOD=______．
50°
100°
小试牛刀
如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，∠BAC=30°，则 的度数是（　 ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
D
4 如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，以OA为直径的⊙D与AC相交于点E，AC=10，求AE的长 .
解：连接EO，
∵OA为⊙D直径，∴∠AEO=90°，
∵AC是⊙O的弦，∴AE=EC，
∵AC=10，∴AE=5．
小试牛刀
如图，△ABC的3个顶点都在⊙O上，直径AD=4，∠ABC=∠DAC，
求AC的长 .
解：如图，连接CD，
∵AD是直径，
∴∠ACD=90°，
∵∠ABC=∠DAC，∠ADC=∠ABC，
∴∠ADC=∠DAC=45°，
∵直径AD=4，
∴AC=AD cos45°=2
小试牛刀
如图所示，AB，AC是⊙O的弦，AD⊥BC于D，交⊙O于F，AE
与⊙O的直径，试问两弦BE与CF的大小有何关系，说明理由．
BE=CF，理由：
∵AE为⊙O的直径，AD⊥BC
∴∠ABE=90°=∠ADC
∵∠AEB=∠ACB（同弧所对的圆周角相等），
∴∠BAE=∠CAF（等角的余角相等）
∴ =
∴BE=CF．
小试牛刀
如图所示，△ABC中，AC=BC，以AC为直径的⊙O交AB于E，作
△BCA的外角平分线CF交⊙O于F，连接EF，求证：EF=BC．
证明：∵CA=CB，∴∠B=∠A，
又∵∠DCA=2∠FCA，∠DCA=∠A+∠B=2∠A，
∴∠FCA=∠A．∴CF∥AB．
又∵∠FCA=∠FEA（同弧所对的圆周角相等），
∴∠FEA=∠B．∴BC∥EF．
∴四边形CFEB为平行四边形．∴EF=BC．
课堂小结
课堂小结
1.已知直径时，常添加辅助线构造直角三角形，即“见直径想直角”．题目中遇到直径时要考虑直径所对的圆周角为90°，遇到90°的圆周角时要考虑直角所对的弦为直径，这是圆中作辅助线的常用方法．
2.在解决圆的有关问题时，常常利用圆周角定理及其推论进行两种转化：一是利用同弧所对的圆周角相等，进行角与角之间的转化，二是将圆周角相等的问题转化为弦相等或弧相等的问题 .
同学们，
下节课见！
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