冀教版（新）九上-28.3 圆心角与圆周角 第四课时【优质课件】

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28.3 圆心角与圆周角
第4课时
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目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
前边我学习了圆的内接三角形，圆的内接三角形有哪些性质呢？今天我们探究的圆的内接四边形的性质，我们根据圆内接三角形的定义，想一想如何给圆内接四边形下定义呢？
新课精讲
探索新知
1
知识点
圆内接多边形
下面，我们探究四边形与圆的关系 .
四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆 .
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆 .
探索新知
定义：四个顶点都在同一个圆上的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．
探索新知
如果圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，则四边形ABCD一定是( )
A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
例1
分析：由圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，根据直径所对的圆周角是直角，可求得四边形ABCD的四个内角都是直角，即可判定四边形ABCD一定是矩形 .
解：∵圆内接四边形ABCD的对角线交点恰好是该圆的圆心，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴四边形ABCD一定是矩形 . 故选B .
B
探索新知
总 结
本题根据直径所对的圆周角是90°来解答 .
典题精讲
1 下列说法正确的是(　　)
A．顶点在圆周上的角叫做圆周角
B．圆内接平行四边形一定是矩形
C．平分弦的直径一定垂直于弦
D．与直径垂直的直线是圆的切线
2 下列多边形中一定有外接圆的是(　　)
A．三角形　 　 B．四边形
C．五边形　 　 D．六边形
B
A
探索新知
2
知识点
圆内接四边形对角互补
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形 .
(1) 和 所对的圆心角之和等于多少度？
∠ABC和∠ADC之间具有怎样的关系？
(2)∠BAD和∠BCD之间具有怎样的关系？
提出你的猜想，并和大家进行交流 .
探索新知
我们发现：圆内接四边形的对角互补 .
下面我们对它进行证明 .
已知：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形 .
求证：∠BCD+∠BAD= 180°，
∠ABC+∠ADC= 180°.
探索新知
证明：如图，连接OB，OD.
∵ 与 所对的圆心角之和为360°，
∠BCD和∠BAD分别为 和 所对的
圆周角，
∴∠BCD+∠BAD= 180° .
同理可证，∠ABC+∠ADC=180° .
探索新知
探索新知
圆内接四边形的对角互补 .
总 结
探索新知
例2 已知：如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠DCE为四边
形ABCD的一个外角 . 求证：∠DCE=∠BAD .
证明：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BAD＋∠BCD= 180° .
∵∠BCD＋∠DCE= 180°，
∴∠DCE=∠BAD .
探索新知
(1)在求圆中的某一个圆周角时，根据“圆内接四边形的对角互补”，可以转化为求其所在的内接四边形的对角的度数．
(2)圆内接四边形的一组对角其实是圆中一条弦所对的两类圆周角．
总 结
典题精讲
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BOD＝100°， 则∠BCD的度数为(　　)
A．50°　　　　　　　　
B．80°
C．100°
D．130°
D
典题精讲
在圆内接四边形ABCD中，已知∠A＝70°，则∠C等于(　　)
A．20° B．30° C．70° D．110°
3 下列命题：
(1)圆内接梯形是等腰梯形；
(2)圆内接平行四边形是矩形；
(3)圆内接矩形是正方形；
(4)圆内接菱形是正方形．
其中真命题有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
D
C
探索新知
3
知识点
圆内接四边形的外角等于其内对角
推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．
探索新知
例3 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCD的外角
∠DCE=70°，则∠BAD的度数为( )
A. 140° B. 110°
C. 220° D. 70°
分析：根据圆内接四边形的性质：圆内接四边形的外角等于它的内对角即可解答 .
解：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD＝∠DCE＝70°. 故选D .
D
探索新知
此题考查了圆内接四边形的性质，熟记圆内接
四边形的外角等于它的内对角是解题的关键 .
总 结
典题精讲
如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD＝105°，则∠DCE＝_______．
如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝_______.
(第1题)
(第2题)
105°
40°
学以致用
小试牛刀
1．在圆内接四边形ABCD中，若∠A＝45°，∠B＝67.5°，则∠D等于(　 )
A．67.5°　 B．135°　 C．112.5°　 D．45°
2．四边形ABCD内接于圆，∠A，∠B，∠C，∠D的度数比可能是(　 )
A．1∶2∶3∶4 B．7∶5∶10∶8
C．13∶1∶5∶17 D．1∶3∶2∶4
C
C
小试牛刀
3．如图所示，四边形ABCD内接于⊙O，若四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC的大小为(　 )
A．45° B．50° C．60° D．75°
4．如图所示，在圆O的内接四边形ABCD中，BC＝DC，∠BOC＝130°，则∠BAD的度数是(　 )
A．120° B．130° C．140° D．150°
C
B
小试牛刀
5．如图所示，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上．若∠AOD＝30°，
则∠BCD的度数是(　 )
A．75° B．95° C．105° D．115°
6．如图所示，△ABC内接于⊙O，∠OBC＝40°，则∠A的度数为(　 )
A．80° B．100° C．110° D．130°
D
C
小试牛刀
7．如图所示，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠A＝115°，则
∠BOD等于_______.
8．如图所示，AB是⊙O的直径，C，D是AB上两点，∠ADC＝
120°，则∠BAC等于______．
130°
30°
⌒
小试牛刀
9．如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，并且AD是⊙O的直径，C是 的中点，AB和DC的延长线交于⊙O外一点E . 求证：BC＝EC .
证明：如图，连结AC .
∵AD是⊙O的直径，∴AC⊥DE .
∵C是 的中点，∴∠ADC＝∠AED .
∵∠EBC＝∠D，∴∠EBC＝∠E，∴BC＝EC .
小试牛刀
10．如图所示，⊙C过原点，且与两坐标轴分别交于点A，B，点A的坐标为(0，3)，M是劣弧OB上一点，∠BMO＝120°. 求⊙C的半径长．
解：∵四边形ABMO是⊙C的内接四边形，∠BMO＝120°，
∴∠BAO＝60°.
∵AB是⊙C的直径， ∴∠AOB＝90°，
∴∠ABO＝90°－∠BAO＝90°－60°＝30° .
∵点A的坐标为(0，3)，
∴OA＝3，∴AB＝2OA＝6，∴⊙C的半径长为3 .
小试牛刀
课堂小结
课堂小结
圆内接四边形的角的“三种关系”：
(1)对角互补，若四边形ABCD为⊙O的内接四边形，则∠A＋∠C＝180°，∠B＋∠D＝180°.
(2)四个内角的和是360°，若四边形ABCD为⊙O的内接四边形，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.
(3)任一外角与其相邻的内角的对角相等，简称圆内接四边形的外角等于其内对角．
同学们，
下节课见！
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