冀教版（新）九上-28.5 弧长和扇形面积的计算 第一课时【优质课件】

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28.5 弧长和扇形面积的计算
第1课时
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（任务-发布任务-选择章节）
目录
课前导入
新课精讲
学以致用
课堂小结
课前导入
情景导入
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10 cm.
(1)转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？
(2)转动轮转1o，传送带上的物品A被传送多少厘米？
(3)转动轮转no，传送带上的物品A被传送多少厘米？
如何解决这个问题呢？学完本课你一定能很好的解决！
新课精讲
探索新知
1
知识点
弧长公式
一条弧和经过这条弧端点的两条半径所组成的图形叫做扇形(sector).
如图，在⊙O中，由半径OA，OB
和 所组成的图形为一个扇形 . 由半
径OA，OB和 所组成的图形也是一个扇形 .
在同一个圆中，一个扇形对应一个圆心角，反过来，一个圆心角对应一个扇形 .
探索新知
半径为r的⊙O，它的周长为2πr，圆心角为360°. 按下表的圆心角，计算所对的弧长以及扇形的面积，填写下表：
探究：
给定的圆心角 1° 90° n°
所对的弧长
1°圆心角所对弧的长为
总结：
若设n°圆心角所对弧的长为l，
探索新知
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD，点O是弧CD的圆心)，其中CD＝600米，E为弧CD上一点，且OE⊥CD，垂足为F，
OF＝300 米，则这段弯路的长度为( 　)
A．200π米　　　　B．100π米　　
C．400π米　　　　D．300π米
例1
A
导引：设这段弯路的半径为R米．∵OE⊥CD，∴CF＝ CD＝ ×600＝300(米)．
根据勾股定理，得OC2＝CF2＋OF2，即R2＝3002＋(300 )2 .
解得R＝600 . ∴∠COF＝30°. ∴∠COD＝60°.
∴这段弯路的长度为 ＝200π(米) .
探索新知
总 结
求弧长需要两个条件：
(1)弧所在圆的半径；
(2)弧所对的圆心角．当题中没有直接给出这两个条件时，则需利用圆的相关知识：弦、弦心距、圆周角等求出圆的半径或弧所对的圆心角．
典题精讲
1 已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为(　　)
A.　 B．2π 　C．3π　 D．12π
在半径为6的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是(　　)
A．π B．2π C．4π D．6π
C
B
典题精讲
如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则 的长为(　　)
A. π B. π
C. π D. π
B
探索新知
2
知识点
扇形面积公式
半径为r的⊙O，面积为πr2，圆心角为360°. 按下表的圆心角，计算所对的弧长以及扇形的面积，填写下表：
给定的圆心角 1° 90° n°
扇形面积
1°圆心角所扇形的面积为 若设n°圆心角所对
扇形的面积为S，则
这就是计算扇形面积的公式 . 因为
所以扇形的面积公式还可以表示为
探索新知
扇形面积公式：
S扇形＝ ；S扇形＝ lr (l是扇形的弧长)．
应用方法：①当已知半径r和圆心角的度数n°求扇形的面积时，选用公式S扇形＝ ；
②当已知半径r和弧长l求扇形的面积时，选用公式S扇形＝ lr.
特别注意：①已知S扇形，l，n，r四个量中的任意两个量，可以求出另外两个量．
②在扇形面积公式 S扇形＝ 中，n，360不带单位 .
探索新知
例2 如图，⊙O的半径为10 cm .
(1)如果∠AOB=100°，求 的长及扇形AOB的面积 . (结果保留一位小数)
(2)已知 =25 cm，求∠BOC的度数 . (结果精确到1°)
探索新知
解：(1) r=10 cm，∠AOB=100°，由弧长和扇形面积公式，得
所以 的长约为17. 4 cm，扇形AOB的面积约为87. 2 cm2 .
(2)r=10 cm， =25 cm，由弧长公式，得
所以∠BOC约为143° .
探索新知
扇形的面积公式有两个，若已知圆心角的度数和
半径，则用S扇形＝ ；若已知扇形的弧长和半径，
则用S扇形＝ lR(l是扇形的弧长)．
总 结
若扇形的面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为(　　)
A．3　　 B．9　 　 C．2　　　 D．3
如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，正方形CDEF的顶点C是 的中点，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2 时，则阴影部分的面积为(　　)
A．2π－4 B．4π－8
C．2π－8 D．4π－4
典题精讲
D
A
典题精讲
3 如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，以AB的中点D为圆心，作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在 上，设∠BDF＝α(0°＜α＜90°)．当α由小到大变化时，图中阴影部分的面积(　　)
A．由小变大 　　
　B．由大变小
C．不变 　　
　D．先由小变大，后由大变小
C
学以致用
小试牛刀
1．一个扇形的半径为8 cm，弧长为 π cm，则扇形的圆心角为( )
A．60°　 B．120°　　
C．150°　 D．180°
B
2．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，OA＝3，
OC＝1，分别连接AC，BD，则图中阴影部分的面积为( )
A. π B．π
C．2π D．4π
C
小试牛刀
3． 如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为
120°，AB长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm，若纸扇两面
贴纸，则贴纸的面积为( )
A．175π cm2 B．350π cm2
C.π cm2 D．150π cm2
B
5．如果一条弧长等于R，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角
度数为_____，当圆心角增加30°时，这条弧长增加πR .
6．如图，点A，B，C在半径为9的⊙O上， 的长为2π，则∠ACB
的大小是_____.
小试牛刀
4．已知扇形的面积为240π，圆心角为150°，则扇形的半径R＝____，
弧长l＝_____ .
24
20π
45°
20°
小试牛刀
7．如图所示， 所在圆的半径为R， 的长为R，⊙O′和OA，
OB分别相切于点C，E，且与⊙O内切于点D，求⊙O′的周长．
解：如图，连接OD，O′C，则O′在OD上．
小试牛刀
8．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝
60°，OC＝2 .
(1)求OE和CD的长；
小试牛刀
8．如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝
60°，OC＝2 .
(2)求圆中阴影部分的面积．
小试牛刀
9 . 如图1，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积（结果保留小数点后两位）．
O
图1
⌒
O
A
B
C
D
图2
解：如图2，连接OA，OB，作弦AB的垂直平分线，
垂足为D，交AB于点C，连接AC .
∵OC=0.6 m，DC=0.3 m，
∴OD=OC-DC=0.3（m）. ∴OD=DC .
又AD⊥DC， ∴AD是线段OC的垂直平分线 .
∴AC=AO=OC . 从而∠AOD=60°，∠AOB=120°.
有水部分的面积
课堂小结
课堂小结
1. 弧长公式为
2. 扇形的面积计算公式为
3. 弧长和扇形面积都和圆心角n°，半径r有关系，
因此l和S之间也有一定的关系，列式表示为：
同学们，
下节课见！
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