冀教版（新）九上-25.4 相似三角形的判定 【优质教案】

班海数学精批——一本可精细批改的教辅
25.4 相似三角形的判定
第一课时
一、教学目标
　　1．使学生了解判定定理1及直角三角形相似定理的证明方法并会应用，掌握例2的结论．
　　2．继续渗透和培养学生对类比数学思想的认识和理解．
　　3．通过了解定理的证明方法，培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力．
　　4．通过学习，了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点．
　　二、教学设计
　　类比学习，探讨发现
　　三、重点及难点
　　1．教学重点：是判定定理l及直角三角形相似定理的应用，以及例2的结论．
　　2．教学难点：是了解判定定理1的证题方法与思路．
　　四、课时安排
　　1课时
　　五、教具学具准备
　　多媒体、常用画图工具、
　　六、教学步骤
　　［复习提问］
　　1．什么叫相似三角形？什么叫相似比？
　　2．叙述预备定理．由预备定理的题所构成的三角形是哪两种情况．
　　［讲解新课］
　　我们知道，用相似三角形的定义可以判定两个三角形相似，但涉及的条件较多，需要有
　　三对对应角相等，三条对应边的比也都相等，显然用起来很不方便．那么从本节课开始我们
　　来研究能不能用较少的几个条件就能判定三角形相似呢？
　　上节课讲的预备定理实际上就是一个判定三角形相似的方法，现在再来学习几种三角形相似的判定方法．
　　我们已经知道，全等三角形是相似三角形当相似比为1时的特殊情况，判定两个三角形
　　全等的三个公理和判定两个三角形相似的三个定理之间有内在的联系，不同处仅在于前者是后者相似比等于1的情况，教学时可先指出全等三角形与相似三角形之间的关系，然后引导学生自己用类比的方法找出新的命题，如：
　　问：判定两个三角形全等的方法有哪几种？
　　答：SAS、ASA（AAS）、SSS、HL．
　　问：全等三角形判定中的“对应角相等”及“对应边相等”的语句，用到三角形相似的判定中应如何说？
　　答：“对应角相等”不变，“对应边相等”说成“对应边成比例”．
　　问：我们知道，一条边是写不出比的，那么你能否由“ASA”或“AAS”，采用类比的方法，引出一个关于三角形相似判定的新的命题呢？
　　答：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
　　强调：（1）学生在回答中，如出现问题，教师要予以启发、引导、纠正．
　　（2）用类比方法找出的新命题一定要加以证明．
　　如图5-53，在△ABC和△ 中， ， ．
　　问：△ABC和△ 是否相似？
　　分析：可采用问答式以启发学生了解证明方法．
　　问：我们现在已经学习了哪几个判定三角形相似的方法？
　　答：①三角形的定义，②上一节学习的预备定理．
　　问：根据本命题条件，探讨时应采用哪种方法？为什么？
　　答：预备定理，因为用定义条件明显不够．
　　问：采用预备定理，必须构造出怎样的图形？
　　答： 或 ．
　　问：应如何添加辅助线，才能构造出上一问的图形？
　　此问学生回答如有困难，教师可领学生共同探讨，注意告诉学生作辅助线一定要合理．
　　（1）在△ABC边AB（或延长线）上，截取 ，过D作DE∥BC交AC于E．
　　“作相似．证全等”．
　　（2）在△ABC边AB（或延长线上）上，截取 ，在边AC（或延长线上）截取AE= ，连结DE，“作全等，证相似”．
　　（教师向学生解释清楚“或延长线”的情况）
　　虽然定理的证明不作要求，但通过刚才的分析让学生了解定理的证明思路与方法，这样有利于培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力．
　　判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．
　　简单说成：两角对应相等，两三角形相似．
　　 ， ，
　　 ∽ ．
　　例1 已知 和 中 ， ， ， ．
　　求证： ∽ ．
　　此例题是判定定理的直拉应用，应使学生熟练掌握．
　　例2 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似．
　　已知：如图5-54，在 中，CD是斜边上的高．
　　求证： ∽ ∽ ．
　　该例题很重要，它一方面可以起到巩固、掌握判定定理1的作用；另一方面它的应用很广泛，并且可以直接用它判定直角三角形相似，教材上排了黑体字，所以可以当作定理直接使用．
　　即 　　　 ∽△∽△．
　　［小结］
　　1判定定理1的引出及证明思路与方法的分析，要求学生掌握两种辅助线作法的思路．
　　2．判定定理1的应用以及记住例2的结论并会应用．
　　七、布置作业
　　八、板书设计
第二课时
〔教学目标〕
1． 掌握判定两个三角形相似的方法：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
2． 培养学生的观察﹑发现﹑比较﹑归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法2与全等三角形判定方法（SAS）的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
3． 让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。
〔教学重点与难点〕
重点：两个三角形相似的判定方法2及其应用
难点：探究两个三角形相似判定方法2的过程
〔教学设计〕
教学过程 设计意图说明
新课引入：回顾探究判定引例﹑判定方法1的过程↓探究两个三角形相似判定方法2的途径 从回顾探究判定引例﹑判定方法1,帮助学生建立新旧知识间的联系，体会事物间一般到特殊﹑特殊到一般的关系。
提出问题：利用刻度尺和量角器画 ABC与 A1B1C1，使∠A=∠A1，和都等于给定的值k，量出它们的第三组对应边BC和B1C1的长，它们的比等于k吗？另外两组对应角∠B与∠B1，∠C与∠C1是否相等？ （学生独立操作并判断）↓分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形的第三组对应边BC和B1C1的比都等于k，另外两组对应角∠B=∠B1，∠C=∠C1。 延伸问题：改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出具体判断。）探究方法：探究2改变∠A或k值的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行演示验证，引导学生学习如何在动态变化中捕捉不变因素。）↓归纳：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（定理的证明由学生独立完成）若∠A=∠A1，==k则 ABC∽ A1B1C1辨析：对于 ABC与 A1B1C1，如果=，∠B=∠B1，这两个三角形相似吗？试着画画看。（让学生先独立思考，再进行小组交流，寻找问题的所在，并集中展示反例。） 学生通过作图，动手度量三角形的各边的比例以及三角形的各个角的大小，从尺规实验的角度探索命题成立的可能性，丰富学生的尺规作图与尺规探究经验。改变∠A或k值的大小再作尺规探究，可以培养学生在变化中捕捉不变因素的能力。通过几何画板演示验证，培养学生学习在图形的动态变化中探究不变因素的能力。对几何定理作文字语言﹑图形语言﹑符号语言的三维注解有利于学生进行认知重构，以全方位地准确把握定理的内容。通过辨析，使学生对两个三角形相似判定方法2的判定条件- -“并且相应的夹角相等”具有较深刻的认识，培养学生严谨的思维习惯。
应用新知：例1：根据下列条件，判断 ABC与 A1B1C1是否相似，并说明理由：（1）∠A＝1200，AB=7cm，AC=14cm， ∠A1＝1200，A1B1= 3cm，A1C1=6cm。（2）∠B＝1200，AB=2cm，AC=6cm， ∠B1＝1200，A1B1= 8cm，A1C1=24cm。分析: （1）==,∠A=∠A1＝1200 ABC∽ A1B1C1（2）==,∠B=∠B1＝1200但∠B与∠B1不是AB ﹑AC﹑ A1B1 ﹑A1C1的夹角，所以 ABC与 A1B1C1不相似。 让学生了解运用相似三角形的判定方法2进行判定三角形相似的一般思路，体会这与运用全等三角形的判定方法SAS进行相关证明与计算的雷同性。让学生注意到：两个三角形相似判定方法2的判定条件“角相等”必须是“夹角相等”。
运用提高：练习题1（1）。练习题2（1）。 运用相似三角形的判定方法2进行相关证明与计算，让学生在练习中熟悉定理。
课堂小结：说说你在本节课的收获。 让学生及时回顾整理本节课所学的知识。
布置作业：必做题：选做题：备选题：已知零件的外径为25cm，要求它的厚度x，需先求出它的内孔直径AB，现用一个交叉卡钳（AC和BD的长相等）去量（如图），若OA：OC=OB：OD=3，CD=7cm。求此零件的厚度x。 分层次布置作业，让不同的学生在本节课中都有收获。备选题答案：x=2cm
设计思想：
本节课主要是探究相似三角形的判定方法2，由于上节课已经学习了探究两个三角形相似的判定引例﹑判定方法1，而本节课内容在探究方法上又具有一定的相似性，因此本教学设计注意方法上的“新旧联系”，以帮助学生形成认知上的正迁移。此外，由于判定方法2的条件“相应的夹角相等”在应用中容易让学生忽视，所以教学设计采用了“小组讨论＋集中展示反例”的学习形式来加深学生的印象。
第三课时
一、教学目标
知识与技能
掌握两个三角形相似的判定条件（三条边的比对应相等，则两个三角形相似）——相似三角形的定义，和三角形相似的预备定理（平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似）．
过程与方法
会运用“两个三角形相似的判定条件”和“三角形相似的预备定理”解决简单的问题．
情感态度与价值观
经历两个三角形相似的探索过程，体验分析归纳得出数学结论的过程，进一步发展同学们的探究、交流能力．
二、重、难点
重点：掌握相似三角形的SSS判定方法，能运用SSS进行证明
难点：熟练应用相似三角形的SSS判定定理进行证明
三、课堂引入
1．复习引入
（1）相似多边形的主要特征是什么？
（2）在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．
在△ABC与△A′B′C′中，
如果． 我们就说△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′，k就是它们的相似比．
反之如果△ABC∽△A′B′C′，则有．
（3）问题：如果k=1，这两个三角形有怎样的关系？
2．教材中的思考，并引导同学们探索与证明．
3．【归纳】
三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似．
三、例题讲解
例1（补充）如图△ABC∽△DCA，AD∥BC，∠B=∠DCA．
（1）写出对应边的比例式；
（2）若AB=10,BC=12,CA=6．求AD、DC的长．
例2（补充）在△ABC中，DE∥BC，AD=EC，DB=1cm，AE=4cm，BC=5cm，求DE的长．
四、课堂练习
1．（选择）下列各组三角形一定相似的是（ ）
A．两个直角三角形 B．两个钝角三角形
C．两个等腰三角形 D．两个等边三角形
2．（选择）如图，DE∥BC，EF∥AB，则图中相似三角形一共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
3．如图，DE∥BC，
（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC的值；
（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE和BC的长．
4．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．
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