冀教版（新）九上-26.4 解直角三角形的应用【优质教案】

班海数学精批——一本可精细批改的教辅
26.4 解直角三角形的应用
第一课时
一、教学目标
(一)、知识与技能
使学生了解仰角、俯角的概念，使学生根据直角三角形的知识解决实际问题．
(二)、过程与方法
逐步培养分析问题、解决问题的能力．
(三)、情感态度与价值观
培养学生用数学的意识，渗透理论联系实际的观点．
二、重、难点
重点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
难点：要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系，从而解决问题．
三、教学过程
(一)明确目标
1．解直角三角形指什么？
2．解直角三角形主要依据什么？
(1)勾股定理：a2+b2=c2
(2)锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
(3)边角之间的关系：
tanA=， cotA=
(二)整体感知
在讲完查“正弦和余弦表”以及“正切和余切表”后，教材随学随用，先解决了本章引例中的实际问题，然后又解决了一些简单问题，至于本节“解直角三角形”，完全是讲知识的应用与联系实际的．因此本章应努力贯彻理论联系实际的原则．
(三)重点、难点的学习与目标完成过程
1．仰角、俯角
当我们进行测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，在水平线下方的角叫做俯角．
教学时，可以让学生仰视灯或俯视桌面以体会仰角与俯角的意义．
2．例1 如图(6-16)，某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC=1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α=16°31′，求飞机A到控制点B距离(精确到1米)．
解决此问题的关键是在于把它转化为数学问题，利用解直角三角形知识来解决，在此之前，学生曾经接触到通过把实际问题转化为数学问题后，用数学方法来解决问题的方法，但不太熟练．因此，解决此题的关键是转化实际问题为数学问题，转化过程中着重请学生画几何图形，并说出题目中每句话对应图中哪个角或边(包括已知什么和求什么)，会利用平行线的内错角相等的性质由已知的俯角α得出Rt△ABC中的∠ABC，进而利用解直角三角形的知识就可以解此题了．
解；在Rt△ABC中sinB=
AB==4221(米)
答：飞机A到控制点B的距离约为4221米．
例1小结：本章引言中的例子和例1正好属于应用同一关系式 sinA=
来解决的两个实际问题即已知和斜边
求∠α的对边；以及已知∠α和对边，求斜边．
3．巩固练习
如图6-17，某海岛上的观察所A发现海上某船只B并测得其俯角α=80°14′．已知观察所A的标高(当水位为0m时的高度)为43.74m，当时水位为+2.63m，求观察所A到船只B的水平距离BC(精确到1m)
为了巩固例1，加深学生对仰角、俯角的了解，配备了练习．
由于学生只接触了一道实际应用题，对其还不熟悉，不会将其转化为数学问题，因此教师在学生充分地思考后，应引导学生分析：
1．谁能将实物图形抽象为几何图形？请一名同学上黑板画出来．
2．请学生结合图(6-18)说出已知条件和所求各是什么？
答：已知∠B=8°14′，AC=43.74-2.63=41.11，求AB．
这样，学生运用已有的解直角三角形的知识完全可以解答．
对于程度较高的学生，教师还可以将此题变式：当船继续行驶到D时，测得俯角β=18°13′，当时水位为-1.15m，求观察所A到船只B的水平距离(精确到1m)，请学生独立完成．
例2 如图6-19，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD．
此题在例1的基础上，又加深了一步，须由A作一条平行于CD的直线交BD于E，构造出Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD．
设置此题，既使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的．
解：过A作AE∥CD，于是AC=ED，
AE＝CD．
在Rt△ABE中。sinA=
∴BE=AB·sinA=160·sin11°=30.53(米)．
cosA=
∴AE=AB·cosA=160·cos11°=157.1(米)．
∴BD=BE+ED=BE+AC=30.53+1.5＝32.03(米)．
CD=AE=157.1(米)．
答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米．
练习：为测量松树AB的高度，一个人站在距松树15米的E处，测得仰角∠ACD=52°，已知人的高度为1.72米，求树高(精确到0.01米)．
要求学生根据题意能画图，把实际问题转化为数学问题，利用解直角三角形的知识来解决它．
(四)总结与扩展
请学生总结：本节课通过两个例题的讲解，要求同学们会将某些实际问题转化为解直角三角形问题去解决；今后，我们要善于用数学知识解决实际问题．
四、布置作业
1．课本习题
第二课时
一、 教学目标
(一)知识与技能
巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于方位角的问题．
(二)过程与方法
逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．
(三)情感态度与价值观
培养学生用数学的意识；渗透数学来源于实践又反过来作用于实践的辩证唯物主义观点．
二、重、难点
重点：能熟练运用有关三角函数知识．
难点：解决实际问题．
三、教学过程
(一)明确目标
讲评上课节课后作业
(二)重点、难点的学习与目标完成过程
教师出示例题．
例1 如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．
分析：1．例题中出现许多术语——株距，倾斜角，这些概念学生未接触过，比较生疏，而株距概念又是学生易记错之处，因此教师最好准备教具：用木板钉成一斜坡，再在斜坡上钉几个铁钉，利用这种直观教具更容易说明术语，符合学生的思维特点．
2．引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形(上图 (2))．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．
3．学生运用解直角三角形知识完全可以独立解决例1．教师可请一名同学上黑板做，其余同学在练习本上做，教师巡视．
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．
教师引导学生评价黑板上的解题过程，做到全体学生都掌握．

例2 如图6-30，沿AC方向开山修渠，为了加快施工速度，要从小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=140°，BD=52cm，∠D=50°，那么开挖点E离D多远(精确到0.1m)，正好能使A、C、E成一条直线？

这是实际施工中经常遇到的问题．应首先引导学生将实际问题转化为数学问题．
由题目的已知条件，∠D=50°，∠ABD=140°，BD=520米，求DE为多少时，A、C、E在一条直线上。
学生观察图形，不难发现，∠E=90°，这样此题就转化为解直角三角形的问题了，全班学生应该能独立准确地完成．
解：要使A、C、E在同一直线上，则∠ABD是△BDE的一个外角．
∴∠BED=∠ABD-∠D=90°．
∴DE=BD·cosD=520×0.6428=334.256≈334.3(m)．
答：开挖点E离D334.3米，正好能使A、C、E成一直线，

提到角度问题，初一教材曾提到过方位角，但应用较少．因此本节课很有必要补充一道涉及方位角的实际应用问题．

补充题：正午10点整，一渔轮在小岛O的北偏东30°方向，距离等于10海里的A处，正以每小时10海里的速度向南偏东60°方向航行．那么渔轮到达小岛O的正东方向是什么时间？(精确到1分)．

学生虽然在初一接触过方位角，但应用很少，所以学生在解决这个问题时，可能出现不会画图，无法将实际问题转化为几何问题的情况．因此教师在学生独自尝试之后应加以引导：
(1)确定小岛O点；(2)画出10时船的位置A；(3)小船在A点向南偏东60°航行，到达O的正东方向位置在哪？设为B；(4)结合图形引导学生加以分析，可以解决这一问题．
解：由图6-31可知，∠AOB=60°，∠OAB=90°．
∴AB=OAtan60°
从点A行到B点所需时间为 ≈17.32(海里).
答：船到达点B的时间为1小时44分．

此题的解答过程非常简单，对于程度较好的班级可以口答，以节省时间补充一道有关方向角的应用问题，达到熟练程度．对于程度一般的班级可以不必再补充，只需理解前三例即可．
补充题：如图6-32，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？

如果时间允许，教师可组织学生探讨此题，以加深对方位角的运用．同时，学生对这种问题也非常感兴趣，教师可通过此题创设良好的课堂气氛，激发学生的学习兴趣．
若时间不够，此题可作为思考题请学生课后思考．
(三)小结与扩展
教师请学生总结：在这类实际应用题中，都是直接或间接地把问题放在直角三角形中，虽然有一些专业术语，但要明确各术语指的什么元素，要善于发现直角三角形，用三角函数等知识解决问题．

四、布置作业
第三课时
1．理解并掌握坡度、坡比的定义；
2．学会用坡度、坡比解决实际问题．(重点、难点)
一、情境导入
在现实生活中，测量某些量可以采取不同的方法，某斜面的截面如图所示，两位同学分别选取不同的点进行测量．从F处进行测量和从A处进行测量的数据如图所示．
你能否通过所学知识求得该坡面的铅直高度？
二、合作探究
探究点：与坡度或坡角有关的实际问题
一辆汽车从坡底走到坡顶共用30s，车速是2m/s，汽车行驶的水平距离是40m，则这个斜坡的坡度是________．
解析：坡面距离为30×2＝60m，水平距离为40m，∴铅直高度为602－402＝205(m)，∴坡度i＝205∶40＝5∶2.
方法总结：根据坡度的定义i＝hl，解题时需先求得水平距离l和铅直高度h.
如图所示，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为( )
A．5m
B．6m
C．7m
D．8m
解析：由题知，水平距离l＝4，i＝0.75，∴铅直高度h＝l·i＝4×0.75＝3(m)，∴坡面距离为32＋42＝5(m)．故选A
方法总结：解此类题，首先根据坡度的定义，求得水平距离或铅直高度，再根据勾股定理，求得坡面距离．
如图所示，给高为3米，坡度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯长度为1.5米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需多少元？
解析：由于楼梯的长度已知，所以要求地毯的总面积，需求地毯的总长度，由题意知，地毯的总长度为BC与AC的和，而由坡度的定义知BCAC＝11.5，所以AC可求．
解：∵BCAC＝11.5，∴AC＝1.5BC＝1.5×3＝4.5(米)．
∴AC＋BC＝4.5＋3＝7.5(米)．
∴地毯的总面积为1.5×7.5＝11.25(平方米)．
∴需要的钱数为8×11.25＝90(元)．
答：铺完整个楼梯共需90元．
三、板书设计
坡度(坡比)的问题：
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫坡度(或坡比)，即i＝tanα，坡面与水平面的夹角α叫坡角．
本课时主要培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．进一步感知坡度、坡角与实际生活的密切联系，认识将知识应用于实践的意义．
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