冀教版（新）九上-27.3 反比例函数的应用【优质教案】

班海数学精批——一本可精细批改的教辅
27.3 反比例函数的应用
建立反比例函数模型解实际问题
教学目标：
1、能利用反比例函数的相关的知识分析和解决一些简单的实际问题
2、能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式。
3、在解决实际问题的过程中，进一步体会和认识反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型。
教学重点、难点：
重点：能利用反比例函数的相关的知识分析和解决一些简单的实际问题
难点：根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式
教学过程：
一、情景创设：
为了预防“非典”,某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒, 已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例.药物燃烧后,y与x成反比例(如图所示),现测得药物8min燃毕,此时室内空气中每立方米的含药量为6mg,请根据题中所提供的信息,解答下列问题:
(1)药物燃烧时,y关于x 的函数关系式为: ________, 自变量x 的取值范围是:_______,药物燃烧后y关于x的函数关系式为_______.
(2)研究表明,当空气中每立方米的含药量低于1.6mg时学生方可进教室,那么从消毒开始,至少需要经过______分钟后,学生才能回到教室;
(3)研究表明,当空气中每立方米的含药量不低于3mg且持续时间不低于10min时,才能有效杀灭空气中的病菌,那么此次消毒是否有效 为什么
二、新授：
例1、小明将一篇24000字的社会调查报告录入电脑，打印成文。
（1）如果小明以每分种120字的速度录入，他需要多少时间才能完成录入任务？
（2）录入文字的速度v（字/min）与完成录入的时间t(min)有怎样的函数关系？
（3）小明希望能在3h内完成录入任务，那么他每分钟至少应录入多少个字？
例2某自来水公司计划新建一个容积为的长方形蓄水池。
（1）蓄水池的底部S与其深度有怎样的函数关系？
（2）如果蓄水池的深度设计为5m，那么蓄水池的底面积应为多少平方米？
（3）由于绿化以及辅助用地的需要，经过实地测量，蓄水池的长与宽最多只能设计为100m和60m，那么蓄水池的深度至少达到多少才能满足要求？（保留两位小数）
三、课堂练习
1、一定质量的氧气,它的密度ρ (kg/m3)是它的体积V( m3) 的反比例函数, 当V=10m3时,ρ=1.43kg/m3. (1)求ρ与V的函数关系式；(2)求当V=2m3时求氧气的密度ρ.
2、某地上年度电价为0.8元 / 度,年用电量为1亿度.本年度计划将电价调至0.55元至0.75元之间.经测算,若电价调至x元,则本年度新增用电量y(亿度)与(x－0.4)(元)成反比例,当x=0.65时,y=-0.8.
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若每度电的成本价为0.3元,则电价调至多少元时,本年度电力部门的收益将比上年度增加20% [收益=(实际电价－成本价)×(用电量)]
3、如图,矩形ABCD中,AB=6,AD=8,点P在BC边上移动(不与点B、C重合),设PA=x,点D到PA的距离DE=y.求y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围.
四、小结
五、作业
教材习题1、2、3
建立反比例函数模型解跨学科问题
教学目标
1.能灵活列反比例函数表达式解决一些实际问题.
2.能综合利用物理杠杆知识、反比例函数的知识解决一些实际问题.
3.体会数学与现实生活的紧密联系,增强应用意识,提高运用代数方法解决问题的能力.
1. 体验反比例函数是有效地描述物理世界的重要手段,认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具。
教学重点
1. 掌握从物理问题中建构反比例函数模型.
教学难点
2. 从实际问题中寻找变量之间的关系,关键是充分运用所学知识分析物理问题,建立函数模型,教学时注意分析过程,渗透数形结合的思想.
教学过程
一、创设问题情境,引入新课
活动
问题：在物理学中,有很多量之间的变化是反比例函数的关系,因此,我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，这也称为跨学科应用.下面的例子就是其中之一。
1. 在某一电路中,保持电压不变,电流I和电阻R成反比例,当电阻R=5欧姆时,电流I=2I.
(1) 求I与R之间的函数关系式;
(2) 当电流I=0.5时,求电阻R的值.
师生行为
1. 可由学生独立思考,领会反比例函数在物理学中的综合应用.
2. 教师应给“学困生” 一点物理学知识的引导.
分析:从题目中提供的信息看变量I与R之间的反比例函数关系,可设出其表达式，再由已知条件（I与R的一对对应值）得到字母系数k的值。
解：设∵R=5，I=2，于是，所以k=10，∴
（2）当I=0.5时，（欧姆）
“给我一支点,我可以把地球撬动.”这是哪一位科学家的名言 这里瘟涵着什么样的原理呢 这是古希腊科学家阿基米得的名言。公元前3世纪，古希腊科学家阿基米得发现了著名的“杠杆定律”：若两物体与支点的距离反比与其重量，则杠杆平衡，通俗一点可以描述为
阻力×阻力臂=动力×动力臂
下面我们就来看一例子。
二、讲授新课
活动2
【例3】小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200牛顿和0.5米，
（1） 动力F与动力臂l有怎样的函数关系式？当动力臂为1。5米时，撬动石头至少需要多大的力？
（2） 若想使动力F不超过题（1）中所用力的一半，遇动力臂至少要加长多少？
师生行为：先由学生根据 “杠杆定律”解决上述问题。教师可引导学生揭示“杠杆平衡”与“反比例函数”之间的关系。教师在此活动中应重点关注：
1 学生能否主动用“杠杆定律”中杠杆定律中杠杆平衡的条件去理解实际问题，从而建立与反比例函数的关系；
2 学生能否面对困难，认真思考，寻找解题的途径；
3 学生能否积极主动地参与数学活动，对数学和物理有着浓厚的兴趣。
分析：“撬动石头”就意味着达到了“杠杆平衡”，因此可用“杠杆定律”来解决此问题。
解：（1）根据 “杠杆定律”有
。得。
当l=1.5时,.
因此，撬动石头至少需要400牛顿的力。
（3） 若想使动力F不超过题（1）中所用的一半，即不超过200牛，根据“杠杆定律”有
F·=600，。
当时，
3－1.5=1.5（米）
因此，若想用力不超过400牛顿的一半，则动力臂至少要加长1.5米。
想想还有哪些方法可以解决这个问题？
思考：用反比例函数的知识解释：在我们使用撬棍时，为什么动力臂越长越省力？
总结：其实反比例函数在实际运用中非常广泛。例如在解决经济预算中的应用。
活动3
问题：某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x元，则本年度新增用电量y（亿度）与（x－0.4）元成反比例。又当x=0.65时，y=0.8。
（1） 求y与x之间的函数关系式；
（2） 若每度电的成本价0.3元，电价调至0.6元时，请你预算一下本年度电力部门的纯收入是多少？
师生行为：由学生先独立思考，然后小组内讨论完成。教师应给以“学困生”一定的帮助。
解：（1）∵y与x成反比例，
∴设.
把x=0.65，y=0.8。代入，得
解得k=0.2
∴。
∴y与x之间的函数关系为
（2）根据题意，本年度电力部门的纯收入为
（亿元）
答：本年度的纯收入为0.6亿元。
师生共析：（1）由题目提供的信息知y与x之间是反比例函数关系，把x－0.4看成一个变量，于是可设出表达式，再由题目的条件x=0.65时，y=0.8得出字母系数的值；
（2）纯收入=总收入－总成本。
三、巩固提高
活动4
四、课时小结
活动5
你对本节内容有哪些认识？重点掌握利用函数关系解决实际问题，首先列出函数关系式，利用待定系数法求出解析式，再根据解析式解得。
师生行为：学生可分小组活动，在小组内交流收获，然后由小组代表在全班交流。教师组织学生小结。
反比列函数与现实生活联系非常紧密特别是为讨论物理中的一些量之间的关系打下良好的基础。用数学模型来解释物理量之间的关系浅显易懂，同时不仅要注意跨学科间的综合，而本学科之间的整合也尤为重要，例如方程、不等式、函数间的不可分割关系。
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