冀教版（新）九上-28.3 圆心角与圆周角【优质教案】

班海数学精批——一本可精细批改的教辅
28.3 圆心角与圆周角
圆心角、弦、弧的关系
教学目标：
1．让学生在实际操作中发现圆的旋转不变性。
2．结合图形让学生了解圆心角的概念，学会辨别圆心角。
3.引导学生发现圆心角、弦、弧之间的相等关系，并初步学会运用这些关系解决有关问题。
4.培养学生观察、分析、归纳的能力，渗透旋转变换的思想及由特殊到一般的认识规律。
教学重点：圆心角、弦、弧、弦心距之间的相等关系。
教学难点：从圆的旋转不变性出发，得到圆心角、弦、弧、弦心距之间的相等关系。
教学程序：
一、创设情境
动手操作
（1）平行四边形绕对角线交点O旋转180°后，你发现了什么？
（2）⊙O绕圆心O旋转180°后，你发现了什么？
（3）思考：平行四边形绕对角线交点O任意旋转任意一个角度后，你发现了什么？把⊙O绕圆心O旋转任意一个角度后，你发现了什么？
设计意图：学生在操作中发现平行四边形和圆旋转180°后都能与自身重合，所以是中心对称图形。但是平行四边形旋转任意角度后并不总能与自身重合，而圆旋转任意角度后总能与自身重合，从中引导学生发现圆的旋转不变性
二、探究新知
（1）探究：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角。将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A‘OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？
得出：当∠AOB =∠A’OB’时，有：弦AB=弦A’B’，弧AB=弧A’B’。
（2）在等圆中，是否也能得出类似的结论呢？
做一做：在纸上画两个等圆，画∠A’OB=∠AOB，连结AB和A’B’，则弦AB与弦A’B’，弧AB与弧A’B’还相等吗？为什么？
请学生动手操作，在实践中发现结论依旧成立。
设计意图：学生在操作中，由圆的旋转不变性可得到圆心角，弧，弦弦心距之间的关系定理。
（3）说一说
尝试将上述结论用数学语言表达出来。在学生回答的基础上，师生共同得出：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦，所对的弦心距也相等。
（4）思考：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，你能得到什么结论？在同圆或等圆中，如果两条弦相等呢？在同圆或等圆中，如果两条弦心距相等呢？
学生小组讨论，归纳得出：
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等。
（5）想一想：假设把刚才两者之间的关系的前提“在同圆或等圆中”条件去掉，他们之间的关系还成立吗？举出反例。
设计意图：通过学生思考，归纳进一步理解圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。体会到定理的严密性。
三、例题教学：
例1．如图，在⊙O中，AB、CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为EF．
（1）如果∠AOB=∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
（2）如果OE=OF，那么弧AB与弧CD的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？
分析：（1）要说明OE=OF，只要在直角三角形AOE和直角三角形COF中说明AE=CF，即说明AB=CD，因此，只要运用前面所讲的定理即可．
（2）∵OE=OF，∴在Rt△AOE和Rt△COF中，
又有AO=CO是半径，∴Rt△AOE≌Rt△COF，
∴AE=CF，∴AB=CD，又可运用上面的定理得到弧AB=弧CD
设计意图：本活动的设计是今天所学的定理的应用。通过引导学生对定理的理解和应用，进一步归纳出相等的量中还包括弦心距这一组量。
四、练习
1．一条弦长恰好为半径长，则此弦所对的弧是半圆的_________．
2．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________
3．如图，以 ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若∠D=50°，求BE的度数和BF的度数．

五、小结
在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间存在什么关系？
六、作业。
圆周角和圆心角，弧的关系
教学目标
(一)知识与技能
1、理解圆周角的概念,掌握圆周角的两个特征、定理的内容及简单应用；
2、准确地运用圆周角定理及其推论进行简单的证明计算。
(二)过程与方法
1、通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系发展学生合情推理和演绎推理的能力。
2、通过观察图形，提高学生的识图的能力
3、通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生探究问题的兴趣。
(三)情感与价值观
1、经过探索圆周角定理的过程，发展学生的数学思考能力。
2、通过积极引导，帮助学生有意识主动探究，并能在探究中获得成功的体验。
教学重点
圆周角定理、圆周角定理的推导及运用它们解题．
教学难点
1． 认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性。
2． 推论的灵活应用以及辅助线的添加
教学突破
让学生学会分类讨论、转换化归是教学突破的关键
教学准备
教师准备：制作课件，精选习题
学生准备：复习有关知识，预习本节课内容，制作圆形纸片
教学过程
活动1： 创设情景，引入概念
师：课件（出示圆柱形海洋馆图片）
右图是圆柱形海洋馆的俯视图．海洋馆的前侧延伸到海洋里，并用玻璃隔开，人们站在海洋馆内部，透过其中的圆弧形玻璃窗可以观看到窗外的海洋动物．
如图是圆柱形的海洋馆横截面的示意图， 表示圆弧形玻璃窗．同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，丙、丁分别站在其他靠墙的位置D和E，
师：同学甲的视角∠AOB的顶点在圆心处，我们称这样的角为圆心角．同学乙的视角∠ACB、同学丙的视角∠ADB和同学丁的视角∠AEB不同于圆心角，是与圆有关的另一类角，我们称这类角为圆周角．
师：提出问题
问题1：观察∠ACB、∠ADB和∠AEB的边和顶点与圆的位置有什么共同特点？
问题2：∠ACB、∠ADB和∠AEB与∠AOB有什么区别？
问题3：∠ACB、∠ADB和∠AEB有哪些共同点？
（教师引导学生进行探究，并关注以下问题）
1、 问题的出示是否引起学生的兴趣
2、 学生是否理解示意图
3、 学生是否理解圆周角的定义
4、 学生是否清楚了要探究的数学问题
生：这三个角的共同点有两个：①顶点都在圆周上；②两边都与圆相交．
师：评价并鼓励学生的总结给出肯定，我们把顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
（教师板书圆周角定义，并强调定义的两个要点，学生在学案上写出圆周角的定义．）
设计意图：从生活中的实例入手，让学生经历观察、分析，抽象出图形的共同属性，得出圆周角定义，理解圆周角概念的本质．
跟踪练习：请同学们根据定义回答下面问题：在下列与圆有关的角中，哪些是圆周角？哪些不是，为什么？
（学生思考片刻之后，教师就每个图形分别请一位学生作答．）
设计意图：为了使学生更加容易地掌握概念，此处教师并排地呈现正例和反例，可以有利于学生对本质属性与非本质进行比较．
活动2：问题探究
探究同弧所对圆周角及圆周角与圆心角的关系
师：下面我们继续研究海洋馆的问题，设想你是一名游客，甲、乙、丙、丁四位同学的位置供你选择，你认为在哪个位置看到的海洋景象范围更广一些？
预设生：（会很肯定的说）当然是同学甲的位置可以看到更广的海洋范围了．
师提出：你是如何知道的？
预设生1：因为我发现∠AOB比∠ACB、∠ADB和∠AEB都大．
预设生2：因为发现在圆内当角的顶点距离弧越近角就越大
师提出：如果在乙、丙、丁三位同学的位置中选择，哪个位置看到的海洋范围更广一些？
预设生：（看了图形想了想）三个位置看到海洋范围的大小应该是一样的．
师提出问题：1、弧AB所对的圆周角的个数有多少个？
2、弧AB所对的圆周角的度数是否发生变化？
预设生：有无数个，度数相等
师：你是怎么知道的？
预设生：观察猜到的。
师：学习数学需要有观察、猜想但更重要的还要验证。请同学们验证你们的说法，并与同伴交流．
师提出问题：弧AB所对的圆周角与其所对的圆心角有什么关系？
（学生分组开始动手操作验证：有的借助量角器，用度量的方法进行验证；有的采用折叠重合的方法进行验证……）
预设生：(兴奋地惊叫着……)老师，我发现了：同学乙、丙、丁的视角∠ACB、∠ADB和∠AEB相等，同学甲的视角∠AOB比其他同学的视角都大，是它们的2倍!
（其他同学也都兴奋得不得了，教室里顿时一片欢腾）
设计意图：引导学生经历观察、猜想、操作、分析、验证、交流等基本数学活动，探索圆周角的性质，感知基本几何事实，初步体会两种数量关系：①同弧所对的圆周角和圆心角的关系；②同弧所对的圆周角的关系．
师：下面，老师用计算机进一步验证我们刚才所得到的结论：
（教师开始在计算机上进行验证．）
首先采用《几何画板》的度量功能，量出∠AOB、∠ACB、∠ADB和∠AEB，发现：∠AOB最大，∠ACB=∠ADB=∠AEB，接着，采用计算功能，计算∠ACB和∠AOB的比值，发现：∠ACB：∠AOB=1：2．
然后教师分别从以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否发生改变，同弧所对的圆周角与圆心角的关系有无变化：①拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动；②改变圆心角的度数；③改变圆的半径大小．
设计意图：通过《几何画板》做进一步演示与验证，用几何动态的语言来研究圆周角与圆心角的关系，在某些量变化的过程中让学生观察不变的数量关系，帮助学生更好地理解圆周角与圆心角的关系．
师：既然这样，我们请一位同学把所发现的结论用文字语言表述一下．
预设生1：同弧所对的圆周角相等，并且都等于圆心角的一半．
预设生2：他的说法不准确，应该是：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，并且都等于这条弧所对的圆心角的一半．丢掉了“在同圆或等圆中”和“这条弧所对的”这两点．
师：前一位同学总结得很好，但后一位同学总结得更准确，我们要学习他们这种严谨治学的态度和精神．
设计意图：把直观操作与逻辑推理有机结合，使将要进行的推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续．
活动3：用分类讨论的方法证明定理
师: 为了更好地说明结论的正确性,下面我们探究其论证方法．先请同学们在右图的⊙O中尽可能多地画所对的圆周角,并思考圆心与圆周角有哪几种位置关系
（学生分组画图,每个小组总结所画的图形的情况，教师巡视,在同学们所画的图形中发现圆心与圆周角的三种位置关系的例子,并在展示台上演示．）
预设生1:圆心在圆周角的一边上
预设生2,圆心在圆周角的内部,
预设生3在圆周角的外部．
师:圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）
师:在上述三种情况中我们先选择其中的一种情况进行证明,选哪种情况,如何证明
（学生先独立思考, 然后在同伴间悄悄交流自己的思路．）
预设生：选择第一种情况进行证明，因为圆心在圆周角的一边上，是最简单的一种情况．因为圆心在圆周角的一边上，所以AC是圆的直径,由同圆半径相等可知，OC=OB，所以∠C=∠B，根据定理“三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得，∠AOB=∠C+∠B=2∠C，即同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．
师：证明得非常好，掌声给予鼓励！
师：当圆心在圆周角的一边上的时候，圆周角∠ACB的边AC部分就是⊙O的直径，因此给证明思路的寻找带来了不少方便，当圆心不在圆周角的边上时，比如在角的内部，沿CO对折⊙O，展开后你有什么发现？对该情况下命题的证明有哪些启示？
（学生开始对折圆形纸片，观察，分析，交流……）
预设生：由对折发现，可以转化为第一种情况的证明，即，如果做过点C的直径CD，那么，由(1)中的结论可知：
∠ACD=∠AOD，∠BCD=∠BOD，两式相加即可得到∠ACB=∠AOB．
师：很好！请同学们在学案上写出这种情况下的证明过程，之后完成最后一种情况的证明，同伴之间交流自己的证明思路．
（各小组学生思考交流后一种情况的证明思路，完成证明过程．一名学生黑板上展示证明过程，教师做思路和规范性点评．）
设计意图：在本段的教学中，注意突出图形性质的探究过程，重视学生主体地位的落实，通过观察度量、实验操作、图形变换、合情推理来探索图形的性质，从而让学生学会分析问题和解决问题的方法．另外，教学时尽可能地从数学语言的三种形态“文字语言、图形语言、符号语言”进行描述，以强化对数学知识的学习与理解，加强数学语言的运用与表达．
师：通过上面的证明，我们得到：同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半．其实，等弧的情况下该命题也是成立的，命题“同弧或等弧所对的圆周角相等”也是正确的，想一想为什么？
（教师板书）
圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
活动4：巩固练习，拓展性质
1、如图，点A、B、C、D在同一个圆上，四边形ABCD的对角线把4各内角分成8个角，这些角中哪些是相等的角？
2、如图，点A、B、C、D在⊙O上，若∠C=60°，则∠D=____，∠O=____．
3、如图，等边△ABC的顶点都在⊙O上，点D是⊙O上一点，则∠BDC=____．
（学生独立思考，交流，回答问题，教师通过学生练习，及时发现问题，评价教学效果．）
设计意图：习题的作用是将基本知识技能化，通过技能的训练帮助学生理解基本知识．比如在第3题中，学生要求∠BDC，首先要根据定义判断这个角是圆中的什么角？要求它的值应该建立与哪个量的关系？（弧）借助于这个量又可以与谁相联系？（∠A）通过这样的转化考察了学生对定理的理解和应用，并使学生在从复杂的图形中分解出基本图形的训练中，培养空间识图能力．
圆周角和直径的关系
学习目标
1．经历探索圆周角的有关性质的过程
2．知道圆周角定义，掌握圆周角定理，会用定理进行推证和计算。
3．体会分类、转化等数学思想.
学习重点：圆周角的性质及应用.
学习难点：圆周角的性质及应用.
教学过程
一、 情境创设
问题情境：我们学过哪些与圆有关的角？它们之间有什么关系？
二、 探究学习
1. 尝试、交流
（1）BC是☉O的直径，它所对的圆周角是锐角、还是钝角、还是直角？为么？
（2）圆周角∠BAC=900，弦BC过圆心吗？为什么？
　　
2. 总结
直径所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径 。
3. 典型例题
　例1.AB是☉O直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60度，∠ADC=50度，
求∠CEB的度数.
例2．如图AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，∠ADC=50°,求∠CEB的度数.
例3.在ΔABC的3个顶点都在☉O上，AD是ΔABC的高，AE是☉O的直径，求证：ΔABE∽ΔACD。
三、 归纳总结
1. 探索了圆周角的有关性质
2．圆周角定义、圆周角定理，会用定理进行推证和计算。
3．体会分类、转化等数学思想.
圆内接四边形
1. 知识结构
2. 重点、难点分析
重点：圆内接四边形的性质定理．它是圆中探求角相等或互补关系的常用定理，同时也是转移角的常用方法．
难点：定理的灵活运用．使用性质定理时应注意观察图形、分析图形，不要弄错四边形的外角和它的内对角的相互对应位置．
3. 教法建议
本节内容需要一个课时．
（1）教师的重点是为学生创设一个探究问题的情境（参看教学设计示例），组织学生自主观察、分析和探究；
（2）在教学中以“发现——证明——应用”为主线，以“特殊——一般”的探究方法，引导学生发现与证明的思想方法．
一、教学目标 ：
（一）知识目标
（1）了解圆内接多边形和多边形外接圆的概念；
（2）掌握圆内接四边形的概念及其性质定理；
（3）熟练运用圆内接四边形的性质进行计算和证明．
（二）能力目标
（1）通过圆的特殊内接四边形到圆的一般内接四边形的性质的探究，培养学生观察、分析、概括的能力；
（2）通过定理的证明探讨过程，促进学生的发散思维；
（3）通过定理的应用，进一步提高学生的应用能力和思维能力．
（三）情感目标
（1）充分发挥学生的主体作用，激发学生的探究的热情；
（2）渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点．
二、教学重点和难点:
重点：圆内接四边形的性质定理．
难点：定理的灵活运用．
三、教学过程 设计
（一）基本概念
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．如图中的四边形ABCD叫做⊙O的内接四边形，而⊙O叫做四边形ABCD的外接圆．
（二）创设研究情境
问题：一般的圆内接四边形具有什么性质？
研究：圆的特殊内接四边形（矩形、正方形、等腰梯形）
教师组织、引导学生研究．
1、边的性质：
（1）矩形：对边相等，对边平行．
（2）正方形：对边相等，对边平行，邻边相等．
（3）等腰梯形：两腰相等，有一组对边平行．
归纳：圆内接四边形的边之间看不出存在什么公同的性质．
2、角的关系
猜想：圆内接四边形的对角互补．
（三）证明猜想
教师引导学生证明．（参看思路）
思路1：在矩形中，外接圆心即为它的对角线的中点，∠A与∠B均为平角∠BOD的一半，在一般的圆内接四边形中，只要把圆心O与一组对顶点B、D分别相连，能得到什么结果呢
∠A=，∠C=
∴∠A+∠C=
思路2：在正方形中，外接圆心即为它的对角线的交点．把圆心与各顶点相连，与各边所成的角均方45°的角．在一般的圆内接四边形中，把圆心与各顶点相连，能得到什么结果呢
这时有2(α+β+γ+δ)=360°
所以 α+β+γ+δ=180°
而 β+γ=∠A，α+δ=∠C，
∴∠A+∠C=180°，可得，圆内接四边形的对角互补．
（四）性质及应用
定理：圆内接四边形的对角互补，并且任意一个外角等于它的内对角．
（对A层学生应知，逆定理成立， 4点共圆）
例 已知：如图，⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，经过A的直线与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D．过B的直线与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F．
求证：CE∥DF．
（分析与证明学生自主完成）
说明：①连结AB这是一种常见的引辅助线的方法．对于这道例题，连结AB以后，可以构造出两个圆内接四边形，然后利用圆内接四边形的关于角的性质解决．
②教师在课堂教学中，善于调动学生对例题、重点习题的剖析，多进行一点一题多变，一题多解的训练，培养学生发散思维，勇于创新．
（五）小结
知识：圆内接多边形——圆内接四边形——圆内接四边形的性质．
思想方法：①“特殊——一般”研究问题的方法；②构造圆内接四边形；③一题多解，一题多变．
（六）作业
探究活动
问题： 已知，点A在⊙O上，⊙A与⊙O相交于B、C两点，点D是⊙A上（不与B、C重合）一点，直线BD与⊙O相交于点E．试问：当点D在⊙A上运动时，能否判定△CED的形状？说明理由．
分析 要判定△CED的形状，当运动到BD经过⊙A的圆心A时，此时点E与点A重合，可以发现△CED是等腰三角形，从而猜想对一般情况是否也能成立，进一步观察可发现在运动过程中∠D及∠CED的大小保持不变，△CED的形状保持不变．
提示：分两种情况
（1）当点D在⊙O外时．证明△CDE∽△CAD’即可
（2）当点D在⊙O内时． 利用圆内接四边形外角等于内对角可证明△CDE∽△CAD’即可
说明：（1）本题应用同弧所对的圆周角相等，及圆内接四边形外角等于内对角，改变圆周角顶点位置，进行角的转换；
（2）本题为图形形状判定型的探索题，结论的探索同样运用图形运动思想，证明结论将一般位置转化成特殊位置，同时获得添辅助线的方法，这也是添辅助线的常用的思想方法；
（3）一般地，有时对几种不同位置图形探索得到相同结论，但不同位置的证明方法不同时，也要进行分类讨论．本题中，如果将直线BD运动到使点E在BD的反向延长线上时，
△CDE仍然是等腰三角形．
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