冀教版（新）九上-28.4 垂径定理【优质教案】

班海数学精批——一本可精细批改的教辅
垂径定理
教学目标 ：
知识与技能
理解圆的轴对称性及垂径定理的推证过程；能初步应用垂径定理进行计算和证明；
过程与方法
进一步培养学生观察问题、分析问题和解决问题的能力；
(3)情感态度与价值观
通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱．
教学重点、难点：
重点：①垂径定理及应用；②从感性到理性的学习能力．
难点：垂径定理的证明．
教学学习活动设计：
（一）实验活动，提出问题：
1、实验：让学生用自己的方法探究圆的对称性，教师引导学生努力发现：圆具有轴对称、中心对称、旋转不变性.
2、提出问题：老师引导学生观察、分析、发现和提出问题. 通过“演示实验——观察——感性——理性”引出垂径定理．
（二）垂径定理及证明： 已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E． 求证：AE=EB．
证明：连结OA、OB，则OA=OB．又∵CD⊥AB，∴直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴．所以沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，因此，AE=BE．从而得到圆的一条重要性质．
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
组织学生剖析垂径定理的条件和结论：CD为⊙O的直径，
CD⊥AB AE=EB.
为了运用的方便，不易出现错误，将原定理叙述为：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.
加深对定理的理解，突出重点，分散难点，避免学生记混.
（三）应用和训练 例1、已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径．
分析：要求⊙O的半径，连结OA，只要求出OA的长就可以了，因为已知条件点O到AB的距离为3cm，所以作OE⊥AB于E，而AE＝EB＝AB=4cm．此时解Rt△AOE即可．
解：连结OA，作OE⊥AB于E． 则AE=EB． ∵AB=8cm，∴AE=4cm．
又∵OE=3cm，∴⊙O的半径为5cm．
说明：①学生独立完成，老师指导解题步骤；②应用垂径定理计算：涉及四条线段的长：弦长a、圆半径r、弦心距d、弓形高h关系：r=h+d；r2=d2+(a/2)2
例2、 已知：在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略）
说明：此题为基础题目，对各个层次的学生都要求独立完成．
练习1：教材练习1，2两道题.由学生分析思路，学生之间展开评价、交流． 指导学生归纳：①构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理的结合是计算弦长、半径、弦心距等问题的常用方法；②在圆中解决弦的有关问题经常作的辅助线——弦心距.
（四）小节与反思
(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理及应用．
方法：(1)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形；(2)在因中解决与弦有关问题经常作的辅助线——弦心距；(3)为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧．
（五）作业
感谢您下载使用【班海】教学资源。班海——老师们都在免费用的数学作业精细批改微信小程序！