2.3.1离散型随机变量的均值 课件（16页）

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2.3.1离散型随机变量的均值
问题1：某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2，2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？
【新课引入】
【新知探究】
问题2：某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
18
24
36
按3：2：1混合
m千克混合糖果的总价格为：
18× + 24× + 36×
m千克混合糖果的平均价格为：
【新知探究】
18
24
36
x 18 24 36
p 1/2 1/3 1/6
X … …
P … …
一般地,若离散型随机变量X的概率分布为:
则称 为随机变量X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望
它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
离散型随机变量的均值
它是一个常数，是一个不会受其他因素影响的稳定值
例1.随机抛掷一个均匀的骰子，求所得骰子的点数X的期望.
X 1 2 3 4 5 6
P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
解：随机变量X的取值为1，2，3，4，5，6
其分布列为
所以，随机变量X的均值为
E(X)=1×1/6+2×1/6+3×1/6+4×1/6+5 ×1/6+6×1/6=3.5
【典例探究】
问 题
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．
（1） Y分布列是什么？ （2） E(Y)=？
设Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量．其分布列为
X x1 x2 … xi …
Y … …
P p1 p2 … pi …
ax1+b
ax2+b
∵E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…
∴E(Y)＝(ax1＋b)p1＋(ax2＋b)p2＋…＋(axn＋b)pn＋…
　＝a(x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＋…)＋b(p1＋p2＋…+pn＋…)
＝aE(X)＋b．
即 E(aX＋b)＝aE(X)＋b
且p1＋p2＋…+pn＋…=1
axi+b
例2.在一次投球比赛中，投球命中1次得5分，不中得0分。如果甲每次投球命中的概率是0.7，且每次投球的结果相互独立。
（1）若甲投球1次，求其命中的次数ξ的分布列及期望；
（2）若甲投球1次，求其所得分η的分布列及期望;
解：(1)
【典例探究】
(2)
ξ 1 0
P 0.7 0.3
η 5 0
P 0.7 0.3
例3.交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，摸奖者只能从中取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和，求抽奖人获利的数学期望.
解：设抽奖人可获利X元，则X可取：-3，1，5
∴抽奖人获利的期望为
求离散型随机变量X的均值的一般步骤：
(1)明确X的意义，写出X的所有取值。
(2)求出X取每个值时的概率；
(3)写出X的分布列；
(4)利用公式求出数学期望。
练习：
1、随机变量ξ的分布列是：
ξ 1 3 5
P 0.5 0.3 0.2
（1）则E(ξ)= .
2、随机变量ξ的分布列是
ξ 4 a 9 10
P 0.3 0.1 b 0.2
2.4
（2）若η=2ξ+1，则E(η)= .
5.8
X 4 7 9 10
P 0.3 a b 0.2
E(X)=7.5，则a= ，b= .
0.4
0.1
3.已知X的概率分布列为
练习：
4.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会
志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人
数,则数学期望 E(ξ)=______(结果用最简分数表示).
解：ξ的可能取值为0,1,2,
练习：
5.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，他连续罚球3次；
（1）求他得到的分数X的分布列；
（2）求X的期望.
X 0 1 2 3
P
解：
(1) X～B（3，0.7）
(2)
=2.1
练习：
1、离散型随机变量的数学期望
···
···
···
···
2、数学期望的性质
【课堂小结】
3、如果随机变量X服从两点分布，
X 1 0
P p 1－p
则
4、求离散型随机变量的均值（数学期望的步骤：）
（1）写出分布列 （2）求数学期望