2.4 等比数列（第一课时）教案

《等比数列》第一课时教学设计
【教学内容】人教A版高中数学必修5第2章第四节
【教学对象】高一年级（下）理科平行班学生
【课时安排】一课时
【教材分析】
1．内容简析
本节内容先由师生共同分析一系列日常生活中的实际问题，提炼出其中存在的特殊数列来引出等比数列的概念，再由教师引导学生与等差数列类比探索等比数列的通项公式，并将等比数列的通项公式与指数函数进行联系，体会等比数列与指数函数的关系，既让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数列模型，也让学生经历了从实际问题抽象出数列模型的过程。在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想。
2．教材的地位与作用
本节内容在教材中起到承上启下的作用。
一方面，学法的承上，本节课之前学习了等差数列，而等比数列和等差数列具有相似性，可以让学生从已有的学习经验出发，将研究等差数列的方法类比到等比数列，促进学生在数学学习活动中获得更扎实的基本技能和基本思想；
另一方面，为后续进一步研究等比数列的性质、等比数列前 项和公式，求一般数列通项公式做好准备。
3．教学目标确定
从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念。从而可以确定如下教学目标（三维目标）：
（1）知识与技能：理解等比数列、等比中项的概念，掌握等比数列的通项公式及公式的推导，并学会用定义法证明等比数列
（2）过程与方法：在教学过程中渗透方程、函数、特殊到一般等数学思想，提高学生观察、归纳、猜想、证明等逻辑思维能力以及计算能力
（3）情感、态度与价值观：通过对等比数列通项公式的推导，培养学生发现意识、创新意识
4．教学重点与难点
重点：等比数列的定义及通项公式及其应用
难点：通项公式的推导和应用
5．学情分析
学生在之前已经学习过“等差数列”的内容，对数列已经有了初步的认识，并且具有一定的的观察、分析、归纳能力，和类比思想。但对数学思想和方法的认识还不够，对问题的抽象分析能力比较欠缺。因此，本节教学设计将等比数列相类比到等差数列中，一方面遵循从特殊到一般的认知规律，另一方面也加强对学生观察、分析、归纳、概括、抽象能力培养。
【教法与学法分析】
1．教法
采用问题教学法，教师指导下的学生探究发现教学法，与等差数列进行比较的类比教学法实施教学
2．学法
观察分析 自主探究 合作交流 初步运用 归纳小结
2．教学手段
多媒体辅助教学
【教学过程设计】
1．举出实例，提出问题
观察下列数列，发现规律
（1）
（2）
（3）
（4）
问题1：上面数列有哪些特点 有什么共同特点 这些数列的项与项之间有什么关系呢？
设计意图：让学生经历观察、归纳、猜想等过程，逐步认识到数列的项与项之间的“等比”关系，让学生尝试用自己的语言描述等比数列的特征，猜想等比数列的通项公式，以及为后面讲解等比数列的单调性与和关系和等比数列概念的内涵与外延做铺垫
2．新知讲解
问题2:类比等差数列的定义，如何给出等比数列的定义呢？
设计意图：让学生类比之前学习的等差数列，根据等差数列的定义得到等比数列的定义。从而培养学生的类比归纳能力.
等比数列定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示.
问题3:类比等差数列的定义的数学表达式，如何给出等比数列的定义的数学表达式呢
设计意图：通过与等差数列类比，理解体现等比数列的定义的数学表达式，为探究等比数列的通项公式做准备
数学表达式或
注：（1）（因为等比数列中除末项外的每一项都要作为分母）即等比数列中不会出现数字0
（2）当时为常数列，它既是等比数列，也是等差数列。但常数列并不都是既为等比数列又是等差数列，如
（3）判定数列是否为等比数列的方法：①定义法：或
设计意图：加深等比数列概念的理解，掌握判断等比数列的方法，提高学生对关键问题的认知水平
通项公式：等比数列,首项为，公比为，则通项公式
设计意图：让学生自己经历对几个特殊的等比数列通项公式的观察、归纳、猜想过程，感受体会数列问题的一般研究方法（观察——归纳——猜想——证明）
问题4:类比等差数列通项公式的归纳过程，你能推导等比数列的通项公式吗？
设计意图：方法一中学会从特殊到一般的方法，并从次数中去发现规律，以培养学生的观察能力，类比能力及将新知识转化为旧知识的能力。让学生从方法二中掌握“累乘”的方法；从方法一中找到任意两项的关系，学会已知等比数列任意两项求公比，再利用公比求的方法
4.通项公式的推导：（类比等差数列通项公式的推导）
等差数列（累加法） 等比数列（累乘法）
将上面个式子相加，得 将上面个式子相乘，得
注：公式中有四个基本量：，可“知三求一”，体现方程思想
等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：＿＿＿＿＿＿＿＿
设计意图：将等比数列的通项公式与函数联系起来，让学生自主发现两者图象的不同。
问题5:类比等差中项定义，如何给出等比中项定义？
2.等比中项：由组成的等比数列，其中叫做与的等比中项.
注：（1）思考一:2,-6之间是否存在等比中项？
（2）思考二：1和4的等比中项是什么？
（3）
设计意图：让学生通过思考自主探究出等比中项的注意事项：1.G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项。 2.等比中项有两个，切互为相反数。
当 时，G不一定是a与b的等比中项。
典例分析
3.典例分析
设计意图：1.掌握等比数列任意两项的关系，直接求公比，再求首项
2.掌握利用等比中项和用与两个基本量建立方程求解的两种方法
3.方程思想，解方程，知三求一
例2.一个等比数列的第３项和第４项分别是１２和１８，求它的第１项和第２项．
所以
设计意图:目的在于巩固等比数列的通项公式
练习：
4．归纳总结
（1）等比数列的定义，即
（2）等比数列的通项公式及推导过程
（3）证明等比数列的方法：①定义法②等比中项法
（4）判断等比数列的方法：①定义法②等比中项法③通项公式法
5．课后作业
整理消化笔记，完成小练习第43练
【板书设计】
【教学反思】
本节课的教学，站在学生的立场上去对待问题的发现和处理，调动学生的参与意识。把学生的已有经验作为进一步学习的重要资源，以学生自主探究，合作交流为主线，让学生亲身经历知识的发生和发展过程。
在教学过程中，通过层层设问串起每个知识点，让学生在探索、类比中发现，引导学生积极探究，鼓励学生动脑，动手，实践，并通过启发和点评，帮助学生扫清思维障碍，主动构建起对新知的理解，并注意及时调整教学节奏和策略。