丰城九中 2021—2022 学年下学期日新部
高二数学期末考试试题
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每小题只有一项是符合题目要求的）
1. 若集合 A=x R∣y ,B= y∣y x2 1, x R ，则 A R B （ ）
A. 0,1 B. 0,1 C. 2,1 D. 2,1
2. 已知 a R ，复数 z ＝ ( i 为虚部单位)为纯虚数，则 z 的共轭复数的虚部为（ ）
A.1 B.－1 C. i D. i
3. 若 a>0且a≠1则 “a>π”是“aa>aπ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4. 已知具有线性相关的变量 x, y ，设其样本点为 Pi xi , yi ( i 1,2, ...,6)，回归直线方程为 2x ，若 ... (12,18)（O 为坐标原点），则 （ ）
A．1 B．-1 C．6 D．-6
5．若 f x 是定义在(2a 6, a) 的奇函数，且 f x 在 0,a 上单调递减，则 f 3x 1 f 1 4x 的解集为（ ）
A．(, ] B．[, ) C．[,1) D．(, ]
6．某圆台的母线长为 2，母线与轴所在直线的夹角是60 ，且上、下底面的面积之比为 1∶4，则该圆台外接球的表面积为（ ）
A．56 B．64π C．112 D．128
7． 丰城市招聘了 8 名教师，平均分配给丰中、九中，其中 2 名语文教师不能分配在同一个学校，另外 3 名数学教师也不能全分配在同一个学校，则不同的分配方案共有（ ）
A. 18 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种
8. 如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在 x 轴上，且过点 (3,6) ，圆C2 : x2 y2 6x 8 0，过圆心C2 的直线l 与抛物线和圆分别交于 P ，Q ， M ， N ，则 |PN| 3 |QM| 的最小值为（ ）
A. 12 4 B. 16 4 C. 16 6 D. 20 6
二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0 分）
9. 若 a 0 ，b 0 ， 1，则（ ）
A. ab 4 B. a b 4 C. 2a 2b 8 D. log2 a log2 b 2
10. 已知函数f x sin(x )cosx cos(x ) sinx，则下列结论正确的是（ ）
A. f x =sin(2x )
B. x 是 f x 图象的一条对称轴
C. f x 的最小正周期为
D. 将 f x 的图象向左平移 个单位后，得到的图象关于原点对称
11．已知双曲线C:( a 0, b 0) 的左，右焦点分别为 F1, F2 ，过 F2 作垂直于渐近线l 交两渐近线于A, B 两点，若3| F2A | |F2B| ，则双曲线 C 的离心率可能为（ ）
A． B． C． D．
12．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 棱长为 2， P 为空间中一点．下列论述正确的是（ ）
A．若 ，则异面直线 BP 与C1D 所成角的余弦值为
B．若 =λ+ 0,1 ，三棱锥 P A1BC 的体积为定值
C．若=λ+ 0,1 ，有且仅有一个点 P ，使得 A1C 平面 AB1P
D．若 0,1 ，则异面直线 BP 和C1D 所成角取值范围是[ , ]
三、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，20 分）
13．定义函数 ，则f[f(0) ___________.
14. 焦点在 y 轴上且离心率大于的一个椭圆方程为________.
15. 若函数f x =tan( x+) ( 0)的相邻两个零点之间的距离是 ，则 f() ______．
16. 已知抛物线C ：x2 4y ，点 M 为直线 y 1上一动点，过点 M 作直线 MA ，MB 与C 分别切于点 A,B ， 则 ________.
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算）
17.（10 分）已知 ABC 的内角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c ，sin A(2 cosC) sinC(2cos B cos A) ．
（1）求C 的大小；
（2）若 ABC 的周长为6 2 ，面积为 2 ，求 c ．
18．（12 分）在二项式()n 的展开式中,第 5 项二项式系数最大，且 f (x) xn-1为奇函数.
(1)求 n ；
(2)把展开式中所有的项重新排成一列，求有理项都不相邻的概率．
19．（12 分）如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD是平行四边形， BAD ，
AB 4 ， BC 1， AD PD， M 是 AB 的中点，点 N 满足 ．
（1）证明：平面 PDM 平面 ABCD；
（2）若 PM MD ， PC 3，求二面角 A DM N 的余弦值．
20．（12 分）冬奥组委会为大会招募志愿者，对前来报名者进行专业知识测试，测试合格者录用为志愿者．现有备选题 6 道，规定每次测试都从备选题中随机挑选出 4 道题进行测试，至少答对 3 道题者视为合格．已知甲、乙两人报名参加测试，在这 6 道题中甲能答对 4 道，乙能答对每道题的概率均为，且甲、乙两人各题是否答对相互独立．
（1）分别求甲、乙两人录用为志愿者的概率；
（2）记甲、乙两人中录用为志愿者的人数为 ，求 的分布列及 E(2 1)．
21. （12 分）已知曲线C : y2 2 px( p 0) 的焦点为 F ，曲线C 上有一点Q x0 , p 满足 |QF| 2.
（1）求抛物线C 的方程；
（2）过原点作两条相互垂直的直线交曲线C 于异于原点的两点 A, B ，直线 AB 与 x 轴相交于 N ，试探究 x 轴上存在一点是否存在异于 N 的定点 M 满足=恒成立.若存在，请求出 M 点坐标.
22．（12 分）某班级共有 50 名同学（男女各占一半），为弘扬传统文化，班委组织了“古诗词男女对抗赛”，将同学随机分成 25 组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个不同问题，答对一题得一分，答错或不答得零分，总分 5 分为满分.最后 25 组同学得分如下表：
（1）制作2 2 列联表，并判断是否有 90%的把握认为“该次对抗赛是否得满分”与“同学性别”有关；
（2）某课题研究小组假设各组男女同学分差服从正态分布N , 2 ，首先根据前 20 组男女同学的分差确定 和 ，然后根据后面 5 组同学的分差来检验模型，检验方法是：记后面 5 组男女同学分差与 的差的绝对值分别为 xi(i 1,2,3,4,5)，若出现下列两种情况之一，则不接受该模型，否则接受该模型.
①存在 xi 3 ；②记满足2 xi 3 的i 的个数为 k ，在服从正态分布N , 2 的总体（个体数无穷大）中任意取 5 个个体，其中落在区间( 3 , 2 ) ( 2 , 3 )内的个体数大于或等于 k 的概率为 P ，P 0.003 .试问该课题研究小组是否会接受该模型.丰城九中 2021—2022 学年下学期日新部 二、多项选择题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对得 5 分，选对但不全的得 3 分，有选错的得 0分）
高二数学期末考试试题
1 1
9. 若a 0，b 0， 1，则（ ）
a b
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每小题只有一项是符合题目要求的） A. ab 4 B. a b 4 C. 2a 2b 8 D. log2 a log2 b 2
1. 若集合 A x R∣y 4 x2 ,B y∣y x2 1, x R ，则 A RB （ ） 10. 已知函数 f x sin x cosx cos x sinx ，则下列结论正确的是（ ）
6 6
A. 0,1 B. 0,1 C. 2,1 D. 2,1 A. f x sin 2x B. x 是 f x 图象的一条对称轴
6 12
3 i
2. 已知 a R，复数 z＝ ( i为虚部单位)为纯虚数，则 z的共轭复数的虚部为（ ）
1 ai C. f x 的最小正周期为 D. 将 f x 的图象向左平移 个单位后，得到的图象关于原点对称6
A.1 B.－1 C. i D. i 2
11．已知双曲线C : x y
2
1 a 0,b 0 的左，右焦点分别为 F1,F2 ，过 F2作垂直于渐近线 l交两渐近线于2 2
3. 若 且 则 “ ”是“ a b’的（ ）
A,B两点，若3 F A F B ，则双曲线 C 的离心率可能为（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2 2
6
4. 已知具有线性相关的变量 x, y，设其样本点为Pi xi,yi (i 1,2, ,6)
141
，回归直线方程为 y 2x a ，若 A． B． C． 3 D． 511 2
OP1 OP2 OP6 (12,18)（O为坐标原点），则 a （ ） 12．已知正方体 ABCD A1B1C1D1 棱长为 2， P为空间中一点．下列论述正确的是（ ）
A．1 B．-1 C．6 D．-6 uuur 1 uuur 3
A．若 AP AD1 ，则异面直线 BP与C1D所成角的余弦值为
5．若 f x 是定义在 (2a 6,a)的奇函数，且 f x 在 0,a 上单调递减，则 f 3x 1 f 1 4x 2 6的解集为（ ）
uur uuur uuur
1 2 2 3 2 1 2 B．若BP BC BB1 0,1 ，三棱锥 P A1BC 的体积为定值
A． , B． , C． ,1 D． , 3 7 7 4 7 4 7 uur uuur uuur
60 C．若 BP BC
1
BB1 0,1 ，有且仅有一个点 P，使得 A1C 平面 AB6．某圆台的母线长为 2，母线与轴所在直线的夹角是 ，且上、下底面的面积之比为 1∶4，则该圆台外 2 1P
uuur uuur
接球的表面积为（ ） D．若 AP AD1 0,1 ，则异面直线 BP和C1D所成角取值范围是 , 4 2
A．56 B．64π C．112 D．128 三、填空题（每小题 5 分，共 4 小题，20 分）
x
7． 丰城市招聘了 8 名教师，平均分配给丰中、九中，其中 2 名语文教师不能分配在同一个学校， 5 , x 0
13．定义函数 f (x) ，则 f f 0 ___________.
log (x 7), x 0
另外 3 名数学教师也不能全分配在同一个学校，则不同的分配方案共有（ ） 5
1
A. 18 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种 14. 焦点在 y轴上且离心率大于 的一个椭圆方程为________.
2
8. 如图，已知抛物线C1的顶点在坐标原点，焦点在 x轴上，且过点 (3,6)，圆C : x2 y22 6x 8 0， 15. 若函数 f x tan x 0 4 的相邻两个零点之间的距离是 ，则 f 3
3 ______．
过圆心C2的直线 l与抛物线和圆分别交于 P，Q，M ，N ，则 PN 3QM 的最小值为（ ） 16. 已知抛物线C：x2 4y，点M 为直线 y 1上一动点，过点M 作直线MA，MB与C分别切于点 A,B，
A. 12 4 3 B. 16 4 3 C. 16 6 3 D. 20 6 3 则MA MB ________.
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算）
21. （12 分）已知曲线C : y2 2px(p 0)的焦点为 F ，曲线C上有一点Q x0 , p 满足 QF 2.
17.（10 分）已知 ABC的内角 A,B,C的对边分别为 a,b,c， sin A(2 cosC) sinC(2cos B cos A) ． （1）求抛物线C的方程；
（1）求C的大小； （2）过原点作两条相互垂直的直线交曲线C于异于原点的两点 A,B，直线 AB与 x轴相交于 N ，
（2）若 ABC的周长为6 2 3 ，面积为 2 3，求 c． AM AN
试探究 x轴上存在一点是否存在异于 N 的定点M 满足 恒成立.若存在，请求出 点坐标.BM BN M
n
1
18．（12 分）在二项式 x 的展开式中,第 5项二项式系数最大，且 f (x) xn 1 为奇函数.
2 4 x 22．（12 分）某班级共有 50 名同学（男女各占一半），为弘扬传统文化，班委组织了“古诗词男女对抗赛”，
(1)求 n； 将同学随机分成 25 组，每组男女同学各一名，每名同学均回答同样的五个不同问题，答对一题得一分，答
(2)把展开式中所有的项重新排成一列，求有理项都不相邻的概率． 错或不答得零分，总分 5 分为满分.最后 25 组同学得分如下表：
19．（12 分）如图，四棱锥 P ABCD的底面 ABCD是平行四边形， BAD ，
3
1 （1）制作 2 2列联表，并判断是否有 90%的把握认为“该次对抗赛是否得满分”与“同学性别”有关；
AB 4， BC 1， AD PD，M 是 AB的中点，点N满足CN NP．
2
（2）某课题研究小组假设各组男女同学分差服从正态分布 N , 2 ，首先根据前 20 组男女同学的分差确
（1）证明：平面 PDM 平面 ABCD；
定 和 ，然后根据后面 5 组同学的分差来检验模型，检验方法是：记后面 5 组男女同学分差与 的差的
（2）若 PM MD， PC 3，求二面角 A DM N 的余弦值．
绝对值分别为 xi (i 1,2,3,4,5)，若出现下列两种情况之一，则不接受该模型，否则接受该模型.
①存在 xi 3 ；②记满足 2 xi 3 的 i 2的个数为 k，在服从正态分布 N , 的总体（个体数无穷大）
20．（12 分）冬奥组委会为大会招募志愿者，对前来报名者进行专业知识测试，测试合格者录用为志愿者．
中任意取 5 个个体，其中落在区间 ( 3 , 2 ) ( 2 , 3 )内的个体数大于或等于 k的概率为 P，
现有备选题 6道，规定每次测试都从备选题中随机挑选出 4道题进行测试，至少答对 3道题者视为合格．
2 P 0.003 .试问该课题研究小组是否会接受该模型.
已知甲、乙两人报名参加测试，在这 6道题中甲能答对 4道，乙能答对每道题的概率均为 ，且甲、乙两
3
人各题是否答对相互独立．
（1）分别求甲、乙两人录用为志愿者的概率；
（2）记甲、乙两人中录用为志愿者的人数为 ，求 的分布列及E(2 1)．
