1.5全称量词和存在量词　讲义（Word版无答案）

1.5全称量词和存在量词
一、全称量词和存在量词
1. 全称量词与全称命题
“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词，含有全称量词的命题，叫作全称命题．符号：，表示任意
2. 存在量词与特称命题
“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词，含有存在量词的命题，叫作特称命题．符号：，表示存在
【例1】判断下列全称量词命题的真假
（1）所有的素数都是奇数
（2）
（3）对任意的一个无理数x，x2也是无理数
【例2】判断下列存在量词命题的真假
（1）有一个实数x，使得
（2）平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线
（3）有些平行四边形是菱形
【例3】下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的是（ ）
至少有一个,使得成立
对任意的，都有
菱形的两条对角线长度相等
【例4】给出下列四个命题：
①有理数是实数；（这个命题虽然没有全称量词，但也是全称命题，只是省略了，应该这样理解这个命题“所有的有理数都是实数”）
②有些平行四边形不是菱形；
③；
④为奇数
以上命题是真命题的是
3. 全称命题与特称命题的否定
命题的否题
一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个新的命题，这个新命题称为原命题的否定。原命题和命题的否定的真假性对换，即原命题为真，它的否定为假；原命题为假，它的否定为真。
例如：“56是7的倍数”的否定为“56不是7的倍数”。
（2）全称命题的否定
要说明一个全称命题是错误的，只需找出一个反例就可以了．实际上是要说明这个全称命题的否定是正确的．全称命题的否定是特称命题．
对含有一个量词的全称量词命题进行否定，只需把“所有的”“任意一个”等全称量词，变成“并非所有的”“存在某一个”等短语，使命题进行否定（不成立）
例：“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是“存在一个能被3整数的整数不是奇数”
（3）特称命题的否定
要说明一个特称命题“存在一些对象满足某一性质”是错误的，就要说明“所有的对象”都不满足这一性质，实际上是要说明这个特称命题的否定是正确的．特称命题的否定是全称命题．
对含有一个量词的存在量词命题进行否定，只需把“存在一个”“至少有一个”等存在量词，变成“一个都不存在”“所有的”等短语，使命题进行否定（不成立）
例：“有些整数既能被2整除，又能被3整除”的否定是“所有的整数都不能既能被2整除，又能被3整除”
【例5】写出下列命题的否定
（1）每一个四边形的四个顶点在同一个圆上
（2）对任意的个位数字不等于3
（3）存在实数a，使得没有意义
（4）存在一个实数对，使得成立
【例6】先判断是全称命题还是特称命题，并写出下列命题的否定：
(1)三个给定产品都是次品；
(2)数列{1,2,3,4,5}中的每一项都是偶数；
(3)方程x2－8x＋15＝0有一个根是偶数；
(4)有的四边形是正方形.
【例7】命题“对于任意的,”的否定是（ ）
不存在， B．存在，
C．对任意的 ， D．存在，
【例8】判断下列命题的真假
在平面直角坐标系中，任意有序实数对都对应一点P. ( )
每一条线段的长度都能用正有理数来表示. ( )
至少有一个直角三角形不是等腰三角形. （ ）
存在一个实数x，使得方程成立. （ ）
. ( )
. ( )
补充：逻辑联结词：且“”、或“”、非“”
1. 逻辑联结词“且”
①定义：一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题p且q．
②命题p且q的真假判定
p q p且q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
③逻辑联结词“且”与集合中的“交集”的含义相同，可以用“且”来定义集合A与B的交集：
A∩B＝{x|x∈A且x∈B}.
2. 逻辑联结词“或”
①定义：一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和q联结起来，就得到一个新命题p或q．
②命题p或q的真假判定
p q p或q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
③逻辑联结词“或”与集合中的“并集”含义相同，可以用“或”来定义集合A与B的并集：
A∪B＝{x|x∈A或x∈B}.
3. 逻辑联结词“非”
①定义：一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作：﹁p；读作：非p或p的否定．
②命题﹁p的真假判定
p ﹁p
真 假
假 真
③逻辑联结词“非”与集合中的“补集”含义相同，可以用“非”来定义集合A在全集U中的补集：
UA={x|x∈U且x A}.
4．命题“p且q”与“p或q”的否定命题：
①﹁(p且q)＝﹁p或﹁q；
②﹁(p或q)＝﹁p且﹁q
【例9】分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”“ ﹁p”形式的命题．
(1)p：6是自然数；q：6是偶数．
(2)p：菱形的对角线相等；q：菱形的对角线互相垂直．
【例10】若﹁p或q是假命题，则(　　)
A．p且q是假命题 B．p或q是假命题
C．p是假命题 D．﹁q是假命题
【例11】已知p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若﹁p是假命题，则a的取值范围是什么？
课后练习
1．将命题“x2＋y2≥2xy”改写成全称命题为(　 　)
A．对任意x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy成立
B．存在x，y∈R，使x2＋y2≥2xy成立
C．对任意x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy成立
D．存在x<0，y<0，使x2＋y2≤2xy成立
2．命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是( 　　)
A．所有不能被2整除的整数都是偶数 B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数 D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
3．下列语句中，是全称量词命题的是 ，是存在量词命题的是
①菱形的四条边都相等；
②所有含两个60°角的三角形是等边三角形；
③负数的立方根不等于0；
④至少有一个负整数是奇数；
⑤所有的有理数都是实数
4．命题“,”的否定是（ ）
A. 存在， B．不存在，
C．对任意的 ， D．对任意的，
5．命题“对任意的，都有”的否定为（ ）
A. 对任意的，都有 B．不存在，
C．存在 ， D．存在，
6．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么(　 　)
A．命题p不一定是假命题 B．命题q一定是真命题
C．命题q不一定是真命题 D．命题p与命题q的真假相同
7．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是(　　)
A．(﹁p)或q　　　 B．p且q
C．(﹁p)且(﹁q) D．(﹁p)或(﹁q)
8．已知命题p：“任意x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：“存在x∈R，使x2＋2ax＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)
A．{a|a≤－2或a＝1} B．{a|a≥1}
C．{a|a≤－2或1≤a≤2} D．{a|－2≤a≤1}
9．已知集合，则命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．　 B． C． D．
10．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(　　)
A．(﹁p)∨(﹁q)　 B．p∨(﹁q) C．(﹁p)∧(﹁q) D．p∨q
11．命题“任意x∈R，若y>0，则x2＋y>0”的否定是 ．
12．写出下列命题的否定
（1）；
（2），一次函数的图像经过原点
13．能够说明“存在两个不相等的正数a,b，使得是真命题”的一组有序数对为
14．判断下列命题的真假
（1）每一个末位是0的整数都是5的倍数； （ ）
（2）线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （ ）
（3）有些实数是无限不循环小数； （ ）
（4）至少有一个整数n，使得是4的倍数； （ ）
15. 已知命题“”为真命题，求实数a的取值范围