节节高高中数学北师大版（2019）必修第一册第一章——3.1不等式性质A（Word版含解析）

节节高高中数学北师大版（2019）必修第一册第一章——3.1不等式性质A
未命名
一、单选题
1．某医院工作人员所需某种型号的口罩可以外购，也可以自己生产．其中外购的单价是每个1.2元，若自己生产，则每月需投资固定成本2000元，并且每生产一个口罩还需要材料费和劳务费共0.8元．设该医院每月所需口罩个，则自己生产口罩比外购口罩较合算的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
2．已知－3A．(1，3)
B．
C．
D．
3．古希腊科学家阿基米德在《论平面图形的平衡》一书中提出了杠杆原理，它是使用天平秤物品的理论基础，当天平平衡时，左臂长与左盘物品质量的乘积等于右臀长与右盘物品质量的乘积，某金店用一杆不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，某顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；然后又将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金（ ）
A．大于 B．小于 C．大于等于 D．小于等于
4．实数 满足且，则下列关系成立的是（ ）
A． B．
C． D．
5．某次全程马拉松比赛中，选手甲前半程以速度a匀速跑，后半程以速度b匀速跑；选手乙前一半时间以速度a匀速跑，后一半时间以速度b匀速跑（注：速度单位），若，则（ ）
A．甲先到达终点 B．乙先到达终点
C．甲乙同时到达终点 D．无法确定谁先到达终点
6．某单位计划今明两年购买某物品，现有甲、乙两种不同的购买方案，甲方案：每年购买的数量相等；乙方案：每年购买的金额相等，假设今明两年该物品的价格分别为、，则这两种方案中平均价格比较低的是（ ）
A．甲 B．乙 C．甲、乙一样 D．无法确定
二、多选题
7．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（ ）
A．若a>b，c>d，则a-d>b-c B．若a>b，c>d则ac>bd
C．若ab>0，bc-ad>0，则 D．若a>b，c>d>0，则
8．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，且，则 D．若，则
三、填空题
9．已知不等式与ax-6>5x同解，则实数a的值是_______ .
10．已知，，那么与的大小关系是______.（用“”号连接）
11．给出下列命题：①a>b ac2>bc2；②a>|b| a2>b2；③a>b a3>b3；④|a|>b a2>b2.其中正确命题的序号是___________.
12．设，，则，的大小关系为________.
四、解答题
13．当时，比较与的大小，并说明理由
14．（1）设，试比较与的大小
（2）已知，，求的取值范围.
15．已知，.证明：
（1）；
（2）.
16．（1）比较与的大小；
（2）已知，，求证：，当且仅当时等号成立.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据题设条件可得关于的不等式，求解后可得正确的选项.
【详解】
由，得，即，
故选：B．
2．A
【解析】
【分析】
先求出a2的范围，利用不等式的性质即可求出的范围.
【详解】
因为－33．A
【解析】
【分析】
设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.根据天平平衡，列出等式，可得表达式，利用作差法比较与10的大小，即可得答案.
【详解】
解：由于天平的两臂不相等，故可设天平左臂长为，右臂长为（不妨设），
先称得的黄金的实际质量为，后称得的黄金的实际质量为.
由杠杆的平衡原理：，．解得，，
则.
下面比较与10的大小：（作差比较法）
因为，
因为，所以，即.
所以这样可知称出的黄金质量大于.
故选：A
4．D
【解析】
【分析】
分别把两个等式转化，写成及的形式，从而比较数的大小.
【详解】
由知，
，即；
由知，，
则，即；
综上，
故选：D
5．B
【解析】
设马拉松全程为x，得到甲用的时间为，乙用的时间为，
做差比较大小可得答案.
【详解】
设马拉松全程为x，所以甲用的时间为，乙用的时间为，
因为，
所以，
所以，则乙先到达终点.
故选：B.
【点睛】
比较大小的方法有：
（1）根据单调性比较大小；（2）作差法比较大小；
（3）作商法比较大小；（4）中间量法比较大小.
6．B
【解析】
分别计算出两种方案的平均价格，然后利用作差法可得出结论.
【详解】
对于甲方案，设每年购买的数量为，则两年的购买的总金额为，
平均价格为；
对于乙方案，设每年购买的总金额为，则总数量为，
平均价格为.
因为，所以，.
因此，乙方案的平均价格较低.
故选：B.
【点睛】
方法点睛：比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，作差法的主要步骤为：作差——变形——判断正负．在所给不等式是积、商、幂的形式时，可考虑比商
7．AC
【解析】
【分析】
根据不等式的性质和特殊值法逐项分析可求得答案.
【详解】
解：由不等式性质逐项分析：
A选项：由，故，根据不等式同向相加的原则，故A正确
B选项：若，则，故B错误；
C选项：，，则，化简得，故C正确；
D选项：，，，则，故D错误.
故选：AC
8．BC
【解析】
【分析】
利用不等式的性质逐一判断即可求解.
【详解】
选项A：当时，不等式不成立，故本命题是假命题；
选项B: ，
，所以本命题是真命题；
选项C: ，
，所以本命题是真命题；
选项D: 若时，显然不成立，所以本命题是假命题；
故选：BC．
9．2
【解析】
【分析】
由求得，将x=-2代入，即可求得结果.
【详解】
因为不等式与ax-6>5x同解，不等式的解为x<-2，
则x<-2也是ax-6>5x的解集，把x=-2也是ax-6=5x，则a=2.
故答案为：2
10．
【解析】
【分析】
利用作差法比较A与B的大小即可得解.
【详解】
，
.
故答案为：.
11．②③
【解析】
【分析】
对于①，举反例判断；对于②，利用不等式的性质判断即可；对于③，作差判断；对于④，举反例即可.
【详解】
①当c2=0时不成立；
②因为，所以，即，所以②一定成立；
③当a>b时，
>0成立；
④当b<0时，不一定成立.如：|2|>3，但22<（3）2.
故答案为：②③.
12．
【解析】
由结合不等式的性质得出答案.
【详解】
，则
，即
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了利用不等式的性质比较大小，属于中档题.
13．
【解析】
【分析】
利用作差法比较即可
【详解】
，理由如下：
，
因为，所以，
所以
14．（1）；（2）.
【解析】
（1）根据作差法，由题中条件，即可得出结果；
（2）设，求出，根据题中条件，由不等式的性质，即可求出结果.
【详解】
（1）
∵，∴，，
∴
∴
（2）设
则，
∴，
∴
∵，，
∴，
∴
即.
【点睛】
本题主要考查作差法比较大小，以及不等式的性质求范围，属于常考题型.
15．（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用不等式的性质即可证明；
（2）利用不等式的性质即可证明.
【详解】
解：证明：（1）∵，，
∴，
又，，
∴，
故；
（2）由，得，
又，
∴，
即，
又，
∴.
16．（1）（2）详见解析
【解析】
【分析】
采用作差法比较大小和证明不等式.
【详解】
（1），
，
当且仅当，时，等号成立.
（2），当且仅当时取等号.又，，所以仅当时取等号.即，当且仅当时等号成立.
【点睛】
本题考查作差法在比较大小和证明不等式中的应用，难度一般.证明不等式时，注意说明取等号的条件.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页