节节高高中数学北师大版（2019）必修第一册第一章——3.1不等式性质B（Word版含解析）

节节高高中数学北师大版（2019）必修第一册第一章——3.1不等式性质B
未命名
一、单选题
1．设实数、满足，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．若，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，则以下不等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．设，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．已知，，均为正实数，则成立的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
8．设为非零实数，且，则下列不等式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．已知a，b为实数，则(a+3)(a﹣5) ______ (a+2)(a﹣4) (填“>”“<”或“=”).
10．给出下列命题：①a>b ac2>bc2；②a>|b| a2>b2；③a>b a3>b3；④|a|>b a2>b2.其中正确命题的序号是___________.
11．设x，y为实数，满足，，则的最小值是______.
12．已知正实数，满足，若恒成立，则实数的取值范围为_____________．
四、解答题
13．已知，，求的范围.
14．甲、乙两位消费者同时两次购买同一种物品，分别采用两种不同的策略，甲的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；乙的策略是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定.
（1）若两次购买这种物品的价格分别为元，元，求甲两次购买这种物品平均价格和乙两次购买这种物品平均价格分别为多少；
（2）设两次购买这种物品的价格分别为元，元，问甲、乙谁的购物比较经济合算.
15．已知，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）证明：．
16．若，则.
(1)若存在常数，使得不等式对任意正数，恒成立，试求常数的值，并证明不等式：；
(2)证明不等式：.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质可求得的取值范围.
【详解】
由已知得，，，故，
故选：B.
2．D
【解析】
【分析】
分别通过作差法比较的大小关系和的大小关系，即得结果.
【详解】
，所以，
，所以，
故.
故选：D.
3．D
【解析】
【分析】
通过反例，，可排除ABC；利用不等式的性质可证得D正确.
【详解】
若，，则，，则AB错误；
若，，则，则C错误；
，，又，，则D正确.
故选：D
4．D
【解析】
【分析】
利用不等式的性质逐项判断即得.
【详解】
∵，∴，故A正确；
∵，∴，∴，即，故B正确；
由可得，，∴，故C正确；
因为，所以，，所以，即．故D错误.
故选：D．
5．B
【解析】
【分析】
通过作差法，，确定符号，排除D选项；
通过作差法，，确定符号，排除C选项；
通过作差法，，确定符号，排除A选项；
【详解】
由，且，故；
由且，故；
且，故.
所以，
故选：B.
6．D
【解析】
【分析】
当时，显然A,B不恒成立，取特值可说明C不正确，由不等式性质可推出D正确.
【详解】
当时，显然，A,B不成立，
当时，C不成立，
因为，
所以，故D正确；
故选：D
【点睛】
本题主要考查了不等式的性质，排除法，属于中档题.
7．AC
【解析】
【分析】
由和已知范围推出，再由四个选项用做差得出大小关系做判断可得答案.
【详解】
由得，即或，
又因为，均为正实数，所以，A正确；
，与大小无关，B错误；
，因为，，均为正实数，
所以，C正确；
由，又因为，均为正实数，所以，D错误，
故选：AC.
【点睛】
本题主要考查充要条件、不等式用做差推关系，属于基础题.
8．CD
【解析】
【分析】
对于A，取特殊值进行判断；
对于B，取特殊值进行判断；
对于C，利用作差法比较；对于D，利用作差法比较；
【详解】
对于A，当时，，但，故A中不等式不一定成立；
对于B，当时，，但，故B中不等式不一定成立；
对于C，，，故C中不等式恒成立；
对于D，，，，
又，，故D中不等式恒成立.
故选：CD
9．<
【解析】
【分析】
根据，可得与的大小关系．
【详解】
，
故答案为：＜．
【点睛】
本题主要考查不等式与不等关系，比较两个实数的大小的方法，属于基础题．
10．②③
【解析】
【分析】
对于①，举反例判断；对于②，利用不等式的性质判断即可；对于③，作差判断；对于④，举反例即可.
【详解】
①当c2=0时不成立；
②因为，所以，即，所以②一定成立；
③当a>b时，
>0成立；
④当b<0时，不一定成立.如：|2|>3，但22<（3）2.
故答案为：②③.
11．
【解析】
利用方程组形式，可得，求得后结合不等式性质即可求得的最小值.
【详解】
设
即
所以，解得
所以
因为，，
所以
由不等式性质可知
即，当且仅当时取等号，解得.
综上可知，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了不等式的化简变形应用，不等式性质求最值，关键是要求出两个不等式间的关系，属于中档题.
12．
【解析】
【分析】
由等式x+4y﹣xy＝0，变形得，将代数式x+y与代数式相乘并展开，利用基本不等式可求出x+y的最小值，从而可求出m的取值范围．
【详解】
由于x+4y﹣xy＝0，即x+4y＝xy，等式两边同时除以xy得，，
由基本不等式可得，
当且仅当，即当x＝2y=6时，等号成立，
所以，x+y的最小值为9．
因此，m≤9．
故答案为m≤9．
【点睛】
本题考查基本不等式及其应用，解决本题的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力与变形能力，属于中等题．
13．
【解析】
【分析】
根据不等式的性质可得出答案.
【详解】
解：，
，又，
.
14．（1）5， ；（2）乙的购物比较经济合算 .
【解析】
【分析】
（1）首先设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，再分别计算甲、乙的平均价格即可.
（2）首先分别算出甲、乙的平均价格，再作差比较即可.
【详解】
（1）设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，
所以甲两次购买这种物品平均价格为，，
乙两次购买这种物品平均价格为，.
（2）设甲每次购买这种物品的数量为，乙每次购买这种物品所花的钱数为，
所以甲两次购买这种物品平均价格为，，
乙两次购买这种物品平均价格为，
，
所以乙的购物比较经济合算.
15．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由不等式的性质得出，将不等式平方得出，并在不等式左边加上，右边加上，化简后可得出所证不等式；
（Ⅱ）在所证不等式两边同时除以，将所证不等式转化为，利用指数函数的单调性证明出和，于此可证明所证不等式．
【详解】
（Ⅰ）由a＞b＞c＞d＞0得a－d＞b－c＞0，即(a－d)2＞(b－c)2，
由ad＝bc得(a－d)2＋4ad＞(b－c)2＋4bc，即(a＋d)2＞(b＋c)2，故a＋d＞b＋c．
（Ⅱ）.
因为，所以，故.同理，.
从而.即
【点睛】
本题考查不等式的证明，常用方法有不等式的性质以及比较法，以及函数单调性等一些基本方法，证明时应该根据不等式的结果选择合适的方法来进行证明，考查分析问题的能力，属于中等题．
16．(1)，证明见解析；(2)证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)令即可求解，利用不等式性质即可证明不等式；(2)从原不等式入手，对原不等式变形，通过分类讨论与之间的大小关系即可证明.
【详解】
证明：(1)当时，，故，
由，且，
利用不等式性质可得，；
(2)欲证，
只需证明，即，
①当时，显然不等式成立，
②当时，不妨令，即，故，
由于，显然成立，
故原不等式成立；
同理，当时，原不等式也成立.
综上所述，对于任意，，均成立.
答案第1页，共2页
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