2022-2023学年人教版八年级数学下册18.2.1 矩形 同步练习(word解析版)

人教版八下第18章 18.2 特殊的平行四边形 18.2.1 矩形
一、选择题（共6小题）
1. 如图，在矩形 中，对角线 ， 相交于点 ，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ，若 ，，则 的长是
A. B. C. D.
2. 已知四边形 中 ，再补充一个条件使得四边形 是矩形，这个条件可以是
A. B.
C. 与 互相平分 D.
3. 如图，在矩形 中，， 分别是 ， 上的点，， 分别是 ， 的中点，，，在点 从 移动到 （点 不动）的过程中，下列结论正确的是
A. 线段 的长逐渐增大，最大值是
B. 线段 的长逐渐减小，最小值是
C. 线段 的长始终是
D. 线段 的长先增大再减小，且
4. 已知平行四边形 中，下列条件：① ；② ；③ ；④ 平分 ，其中能说明平行四边形 是矩形的是
A. ① B. ② C. ③ D. ④
5. 如图，四边形 是矩形，，，点 在第二象限，则点 的坐标是
A. B. C. D.
6. 如图，矩形 的对角线 ， 交于点 ，，，过点 作 ，交 于点 ，过点 作 ，垂足为 ，则 的值为
A. B. C. D.
二、填空题（共9小题）
7. 在四边形 中，对角线 ， 交于点 ，且 ， 互相平分，若添加一个条件使得四边形 是矩形，则这个条件可以是 （填写一个即可）．
8. 如图，将一矩形纸片 沿着虚线 剪成两个全等的四边形纸片．根据图中标示的长度与角度，求出剪得的四边形纸片中较短的边 的长是 ．
9. 将两条邻边长分别为 ， 的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无多余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的 （填序号）
① ，② ，③ ，④ ，⑤ ．
10. 如图所示，在 中，，且 ，，点 是斜边 上的一个动点，过点 分别作 于点 ， 于点 ，连接 ，则线段 的最小值为 ．
11. 如图，在 中，， 为 的中点，，则 ．
12. 已知四边形 是矩形，点 是矩形 的边上的点，且 ．若 ，，则 的长是 ．
13. 如图，将矩形 折叠，折痕为 ， 的对应边 与 交于点 ，若 ，则 的度数为 ．
14. 如图，在 中，，，，作斜边 上的中线 ，得到第一个三角形 ； 于点 ，作 的斜边 上的中线 ，得到第二个三角形 ；，依次进行下去，则第 个三角形的面积等于 ．
15. 如图，矩形 的面积为 ，对角线交于点 ，以 ， 为邻边作平行四边形 ，对角线交于点 ，以 ， 为邻边作平行四边形 ，，依次类推，则平行四边形 的面积为 ．
三、解答题（共4小题）
16. 如图，在平行四边形 中，点 是 的中点，且 ．
（1）求证：平行四边形 是矩形；
（2）若 ，，求矩形 的面积．
17. 如图，点 是 内一点，连接 ，，线段 ，，， 的中点分别为 ，，，．
（1）判断四边形 的形状，并说明理由；
（2）若 为 的中点，， 和 互余，求线段 的长．
18. 如图，在 中，，点 ， 分别是线段 ， 的中点，过点 作 的平行线交 的延长线于点 ，连接 ．
（1）求证：；
（2）求证：四边形 为矩形．
19. 阅读以下短文，然后解决下列问题：
如果一个三角形和一个矩形满足条件：三角形的一边与矩形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在矩形这边的对边上，则称这样的矩形为三角形的“友好矩形”，如图①所示，矩形 即为 的“友好矩形”，显然，当 是钝角三角形时，其“友好矩形”只有一个．
（1）仿照以上叙述，说明什么是一个三角形的“友好平行四边形”；
（2）若 为直角三角形，且 ，在图②中画出 的所有“友好矩形”，并比较这些矩形面积的大小；
（3）若 是锐角三角形，且 ，在图③中画出 的所有“友好矩形”，指出其中周长最小的矩形并加以证明．
答案
1. D
【解析】 四边形 是矩形，
，，，
，，
由勾股定理得 ，
，
，
点 ， 分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
，
故选D．
2. C
【解析】四边形 中 ，再补充一个条件使得四边形 是矩形，这个条件可以是 与 互相平分．理由如下：
在四边形 中，对角线 ， 互相平分，
四边形 是平行四边形，
，
四边形 是矩形．
3. C
【解析】如图，连接 ．
， 分别是 ， 的中点，
为 的中位线，
，为定值．
故线段 的长始终是 ．
故选C．
4. B
【解析】A.邻边相等的平行四边形不一定是矩形，故A错误；
B.对角线相等的平行四边形是矩形，故B正确；
C.对角线互相垂直的平行四边形不一定是矩形，故C错误；
D.对角线平分每一组对角的平行四边形不一定是矩形，故D错误．
5. D
【解析】如图，过 作 轴于 ，过 作 轴于 ，
，
四边形 是矩形，
，，
，
，
同理，，
，，，
，，
，，，
，
点 的坐标是 ．
6. C
【解析】 四边形 是矩形，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
又 ，
，
，
，
，，
，
同理可证，，
，
，
，
．
7. 或有个内角等于 度（填一个即可）
【解析】 对角线 与 互相平分，
四边形 是平行四边形，
要使四边形 成为矩形，
需添加的一个条件可以是 或有个内角等于 度．
8.
9. ①②③④
【解析】如图所示：
剪出的等腰三角形中，等腰三角形的腰长可以是 ，，，，，不可以是 ，故答案为①②③④．
10.
【解析】，且 ，，
，
，，
，
四边形 是矩形，连接 ，则 ，
当 时， 的值最小，
此时 的面积 ，
，
的最小值为 ．
11.
【解析】 为直角三角形，且 为 的中点，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
．
12. 或
【解析】 四边形 是矩形，
，，
在 中，．
①当点 在 边上时，如图，
设 ，
则 ，在 中，，
，
，
．
②当点 在 边上时，如图，
易求得 ，
在 中，．
综上， 的长为 或 ．
13.
【解析】依题意得 ，
所以 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 ．
14.
【解析】， 是斜边 上的中线，
，
，
是等边三角形，且 ，
同理可得，被分成的第二个、第三个、 ，第 个三角形都是等边三角形，
是 上的中线， 是 上的中线，
第一个等边三角形的边长 ；
第二个等边三角形的边长 ；
第 个等边三角形的边长为 ，
所以，第 个三角形的面积为 ．
15.
【解析】设矩形 的面积为 ，
则 ，
根据题意得 ，，，，
．
16. （1） 四边形 是平行四边形，
，，
，
点 是 的中点，
，
在 和 中，
，
，
平行四边形 是矩形．
（2） 由（）得 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
矩形 的面积 ．
17. （1） 四边形 是平行四边形．
理由：
因为 ， 分别为线段 ， 的中点，
所以 ，，
同理，，，
所以 ，，
所以四边形 是平行四边形．
（2） 因为 和 互余，
所以 ，
因为 为 的中点，，
所以 ，
所以 ．
18. （1） ，
，
是线段 的中点，
，
又 ，
．
（2） ，
，
是线段 的中点，
，
，
，
四边形 是平行四边形，
，
，
，
四边形 为矩形．
19. （1） 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件：三角形的一边与平行四边形的一边重合，且三角形的这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上，则称这样的平行四边形为三角形的“友好平行四边形”．
（2） 如图，
此时共有 个“友好矩形”，矩形 和矩形 ．
易知矩形 和矩形 的面积都等于 面积的 倍，
的“友好矩形”的面积相等．
（3） 如图，
此时共有 个“友好矩形”，矩形 、矩形 及矩形 ，其中矩形 的周长最小．
证明：易知这三个矩形的面积相等，令其为 ，
设矩形 、矩形 及矩形 的周长分别为 ，，， 中 ，，，
则 ，，，
，易知 ，且 ，
，即 ，同理可得，，
最小，即矩形 的周长最小．