2022-2023学年北师大版九年级数学上册4.4探索三角形相似的条件 同步练习题(word版含答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《4.4探索三角形相似的条件》
同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，在四边形ABCD中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．下列结论错误的是（　　）
A．四边形AECD的周长是20 B．△ABC∽△FEC
C．∠B+∠ACD＝90° D．EF的长为
2．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列四个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③；④AD BC＝DE AC，能满足△ADE∽△ACB的条件有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC交AC于E，已知AD＝AB，连接BE交AD于F，下列结论：①BE＝CE；②∠CAD＝∠ABE；③AF＝DF；④S△ABF＝3S△DEF；⑤△DEF∽△DAE，其中正确的有（　　）个．
A．5 B．4 C．3 D．2
二．填空题
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠ABC＝90°，且AB＝3，点E是边AB上的动点，当△ADE，△BCE，△CDE两两相似时，则AE＝　 　．
5．如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝2，BC＝12，DC＝10，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有　 　个．
三．解答题
6．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，以AC为边作△ACE，∠ACE＝90°，AC＝CE，延长BC至点D，使CD＝5，连接DE．求证：△ABC∽△CED．
7．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE．
8．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．
（1）试说明△ABD≌△BCE；
（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．
如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．
10．如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且＝＝．
（1）试问：∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？
（2）试判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．
11．如图，点C是线段AB上一点，△ACD和△BCE都是等边三角形，连接AE，BD，设AE交CD于点F．
（1）求证：△ACE≌△DCB；
（2）求证：△ADF∽△BAD．
12．尤秀同学遇到了这样一个问题：如图1所示，已知AF，BE是△ABC的中线，且AF⊥BE，垂足为P，设BC＝a，AC＝b，AB＝c．
求证：a2+b2＝5c2
该同学仔细分析后，得到如下解题思路：
先连接EF，利用EF为△ABC的中位线得到△EPF∽△BPA，故，设PF＝m，PE＝n，用m，n把PA，PB分别表示出来，再在Rt△APE，Rt△BPF中利用勾股定理计算，消去m，n即可得证
（1）请你根据以上解题思路帮尤秀同学写出证明过程．
（2）利用题中的结论，解答下列问题：
在边长为3的菱形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，E，F分别为线段AO，DO的中点，连接BE，CF并延长交于点M，BM，CM分别交AD于点G，H，如图2所示，求MG2+MH2的值．
13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
14．如图，矩形ABCD中，以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF，使得另一边EF过原矩形的顶点C．
（1）设Rt△CBD的面积为S1，Rt△BFC的面积为S2，Rt△DCE的面积为S3，则S1　 　S2+S3（用“＞”、“＝”、“＜”填空）；
（2）写出如图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明．
15．如图，先把一矩形ABCD纸片对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕线上，得到△ABE．过B点折纸片使D点叠在直线AD上，得折痕PQ．
（1）求证：△PBE∽△QAB；
（2）你认为△PBE和△BAE相似吗？如果相似，给出证明；若不相似，请说明理由．
16．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD＝AC，DE⊥BC，交BA于点E，EC与AD相交于点F．
求证：△ABC∽△FCD．
17．已知：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，BC＝2AD，E是BC的中点，连接AE、AC．
（1）点F是DC上一点，连接EF，交AC于点O（如图1），求证：△AOE∽△COF；
（2）若点F是DC的中点，连接BD，交AE与点G（如图2），求证：四边形EFDG是菱形．
18．已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是AC上一点，∠ABD＝∠C，直线EF过点D，与BA的延长线相交于F，且EF⊥BC，垂足为E．
（1）写出图中所有与△ABD相似的三角形；
（2）探索：设，是否存在这样的t值，使得△ADF∽△EDB？说明理由．
19．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、CD上（F不与C重合），且∠BEF＝90°
（1）△ABE与△DEF相似吗？为什么？
（2）当点E位于AD上何处时，△ABE、△BEF、△DEF这三个三角形都相似？
（3）当△ABE、△BEF、△DEF、△CBF这四个三角形都相似时，求及的值．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE＝∠CAD．求证：△ADE∽△ABD．
21．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动，设P、Q两点同时出发，移动时间为t秒．
（1）几秒钟后△PBQ是等腰三角形？
（2）几秒钟后△PQB的面积为5cm2？
（3）几秒钟后，以P、B、Q为顶点的三角形和△ABC相似？
22．王华在学习相似三角形时，在北京市义务教育教科书九年级上册第31页遇到这样一道题，如图1，在△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，还需要补充的一个条件是　 　，或　 　．
请回答：
（1）王华补充的条件是　 　，或　 　．
（2）请你参考上面的图形和结论，探究，解答下面的问题：
如图2，在△ABC中，∠A＝30°，AC2＝AB2+AB BC．求∠C的度数．
23．已知：点A（1，3），点B（﹣3，0），点C（1，0）
（1）请在x轴上找一点D，使得△BDA与△BAC相似（不包含全等），并求出点D的坐标；
（2）在（1）的条件下，如果P、Q分别是BA、BD上的动点，连接PQ，设BP＝DQ＝m，问：是否存在这样的m，使得△BPQ与△BDA相似？如存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，E是BC的中点，
∴AE＝CE＝BC＝5，
∴四边形AECD是菱形，
∴菱形AECD的周长是20，
故A选项正确，不符合题意；
∵四边形AECD是菱形，
∴∠ACB＝∠ACD，
∵∠B+∠ACB＝90°，
∴∠B+∠ACD＝90°，
故C选项正确，不符合题意；
如图，过A作AH⊥BC于点H，
∵S△ABC＝BC AH＝AB AC，
∴AH＝＝，
∵点E是BC的中点，BC＝10，四边形AECD是菱形，
∴CD＝CE＝5，
∵S AECD＝CE AH＝CD EF，
∴EF＝AH＝．
故D选项正确，不符合题意；
在Rt△EFC中，EF＝，EC＝5，
∴FC＝＝，
在Rt△CAB中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，
∵＝，＝，＝，
∴△ABC与△FEC不相似，故B选项错误，符合题意．
故选：B．
2．解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；
②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，
③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；
④由AD BC＝DE AC可得＝，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB，故④不符合题意，
故选：B．
3．解：∵D是BC的中点，且DE⊥BC，
∴DE是BC的垂直平分线，CD＝BD，
∴CE＝BE，故本答案正确；
∴∠C＝∠7，
∵AD＝AB，
∴∠8＝∠ABC＝∠6+∠7，
∵∠8＝∠C+∠4，
∴∠C+∠4＝∠6+∠7，
∴∠4＝∠6，即∠CAD＝∠ABE，故本答案正确；
作AG⊥BD于点G，交BE于点H，
∵AD＝AB，DE⊥BC，
∴∠2＝∠3，DG＝BG＝BD，DE∥AG，
∴△CDE∽△CGA，△BGH∽△BDE，EH＝BH，∠EDA＝∠3，∠5＝∠1，
∴CD：CG＝DE：AG，HG＝DE，
设DG＝x，DE＝2y，则GB＝x，CD＝2x，CG＝3x，
∴2x：3x＝2y：AG，
解得：AG＝3y，HG＝y，
∴AH＝2y，
∴DE＝AH，且∠EDA＝∠3，∠5＝∠1
∴△DEF≌△AHF
∴AF＝DF，故本答案正确；
EF＝HF＝EH，且EH＝BH，
∴EF：BF＝1：3，
∴S△ABF＝3S△AEF，
∵S△DEF＝S△AEF，
∴S△ABF＝3S△DEF，故本答案正确；
∵∠1＝∠2+∠6，且∠4＝∠6，∠2＝∠3，
∴∠5＝∠3+∠4，
∴∠5≠∠4，
∴△DEF∽△DAE，不成立，故本答案错误．
综上所述：正确的答案有4个．
故选：B．
二．填空题
4．解：分两种情况：
①当∠CED＝90°时，如图1，
过E作EF⊥CD于F，
∵AD∥BC，AD＜BC，
∴AB与CD不平行，
∴当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，
∴∠BEC＝∠CDE＝∠ADE，
∵∠A＝∠B＝∠CED＝90°，
∴∠BCE＝∠DCE，
∴AE＝EF，EF＝BE，
∴AE＝BE＝AB＝，
②当∠CDE＝90°时，如图2，
∵当△ADE、△BCE、△CDE两两相似时，
∴∠CEB＝∠CED＝∠AED＝60°，
∴∠BCE＝∠DCE＝30°，
∵∠A＝∠B＝90°，
∴BE＝ED＝2AE，
∵AB＝3，
∴AE＝1，
综上，AE的值为或1．
故答案为：或1．
5．解：∵AD∥BC，∠D＝90°，
∴∠C＝∠D＝90°
∵AD＝2，BC＝12，DC＝10．
设PD＝x，则PC＝10﹣x；
①若PD：PC＝AD：BC，则△PAD∽△PBC
∴x：（10﹣x）＝2：12，
解得x＝，即PD＝；
②若PD：BC＝AD：PC，则△PAD∽△CBP
∴x：12＝2：（10﹣x），解得：x＝4或x＝6，即PD＝4或PD＝6．
∴这样的点P存在的个数有3个．
故答案为3．
三．解答题
6．证明：∵∠B＝90°，AB＝4，BC＝2，
∴AC＝＝2，
∵CE＝AC，
∴CE＝2，
∵CD＝5，
∵＝＝，＝，
∴＝，
∵∠B＝90°，∠ACE＝90°，
∴∠BAC+∠BCA＝90°，∠BCA+∠DCE＝90°．
∴∠BAC＝∠DCE．
∴△ABC∽△CED．
7．证明：如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠B＝135°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠2+∠3＝135°，
∴∠1＝∠3，
∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE．
8．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝∠BAC，
又∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE；
（2）答：相似；
理由如下：
∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠BAC﹣∠BAD＝∠CBA﹣∠CBE，
∴∠EAF＝∠EBA，又∵∠AEF＝∠BEA，
∴△EAF∽△EBA．
9．（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠PAF＝∠AEB．
∵∠PFA＝∠ABE＝90°，
∴△PFA∽△ABE．
（2）若△EFP∽△ABE，则∠PEF＝∠EAB．
∴PE∥AB．
∴四边形ABEP为矩形．
∴PA＝EB＝2，即x＝2．
若△PFE∽△ABE，则∠PEF＝∠AEB．
∵∠PAF＝∠AEB，
∴∠PEF＝∠PAF．
∴PE＝PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．
∵AE＝，
∴EF＝AE＝．
∵，即，
∴PE＝5，即x＝5．
∴满足条件的x的值为2或5．
10．解：（1）∠BAE与∠CAD相等．
理由：∵＝＝，
∴△ABC∽△AED，
∴∠BAC＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠CAD；
（2）△ABE与△ACD相似．
∵＝，
∴＝．
在△ABE与△ACD中，
∵＝，∠BAE＝∠CAD，
∴△ABE∽△ACD．
11．解：（1）∵△ACD和△BCE都是等边三角形，
∴AC＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°
∴∠ACE＝∠DCB＝120°．
∴△ACE≌△DCB（SAS）；
（2）∵△ACE≌△DCB，
∴∠CAE＝∠CDB．
∵∠ADC＝∠CAD＝∠ACD＝∠CBE＝60°，
∴DC∥BE，
∴∠CDB＝∠DBE，
∴∠CAE＝∠DBE，
∴∠DAF＝∠DBA．
∴△ADF∽△BAD．
12．解：（1）设PF＝m，PE＝n，连接EF，如图1，
∵AF，BE是△ABC的中线，
∴EF为△ABC的中位线，AE＝b，BF＝a，
∴EF∥AB，EF＝c，
∴△EFP∽△BPA，
∴，即＝＝，
∴PB＝2n，PA＝2m，
在Rt△AEP中，∵PE2+PA2＝AE2，
∴n2+4m2＝b2①，
在Rt△BFP中，∵PF2+PB2＝BF2，
∴m2+4n2＝a2②，
①+②得5（n2+m2）＝（a2+b2），
在Rt△EFP中，∵PE2+PF2＝EF2，
∴n2+m2＝EF2＝c2，
∴5 c2＝（a2+b2），
∴a2+b2＝5c2；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，
∵E，F分别为线段AO，DO的中点，
∴EF∥AD，EF＝AD
而AD∥BC，AD＝BC，
∴EF∥BC，EF＝BC，
∴E点为BM的中点，F为CM的中点，
而CE⊥BF，
∴由（1）的结论得MB2+MC2＝5BC2＝5×32＝45，
∵AG∥BC，
∴△AEG∽△CEB，
∴＝＝，
∴AG＝1，
同理可得DH＝1，
∴GH＝1，
∴GH∥BC，
∴＝＝＝，
∴MB＝3GM，MC＝3MH，
∴9MG2+9MH2＝45，
∴MG2+MH2＝5．
13．解：（1）∵AD＝BC，BC＝，
∴AD＝，DC＝1﹣＝．
∴AD2＝＝，AC CD＝1×＝．
∴AD2＝AC CD．
（2）∵AD＝BC，AD2＝AC CD，
∴BC2＝AC CD，即．
又∵∠C＝∠C，
∴△BCD∽△ACB．
∴，∠DBC＝∠A．
∴DB＝CB＝AD．
∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC．
设∠A＝x，则∠ABD＝x，∠DBC＝x，∠C＝2x．
∵∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180°．
解得：x＝36°．
∴∠ABD＝36°．
14．（1）解：∵S1＝BD×ED，S矩形BDEF＝BD×ED，
∴S1＝S矩形BDEF，
∴S2+S3＝S矩形BDEF，
∴S1＝S2+S3．
（2）答：△BCD∽△CFB∽△DEC．
证明△BCD∽△DEC；
证明：∵∠EDC+∠BDC＝90°，∠CBD+∠BDC＝90°，
∴∠EDC＝∠CBD，
又∵∠BCD＝∠DEC＝90°，
∴△BCD∽△DEC．
15．（1）证明：∵∠PBE+∠ABQ＝90°，∠PBE+∠PEB＝90°，
∴∠ABQ＝∠PEB．
在△PBE与△QAB中，
∵∠ABQ＝∠PEB，∠BPE＝∠AQB＝90°，
∴△PBE∽△QAB．
（2）解：△PBE和△BAE相似．
∵△PBE∽△QAB，
∴＝．
∵BQ＝PB，
∴＝．
又∵∠EPB＝∠EBA＝90°，
∴△PBE∽△BAE．
16．证明：∵AD＝AC，
∴∠ADC＝∠ACD，
∵D为BC中点，且DE⊥BC，
∴EB＝EC．
∴∠B＝∠DCF．
∴△ABC∽△FCD．
17．证明：（1）∵点E是BC的中点，BC＝2AD，
∴EC＝BE＝BC＝AD，
又∵AD∥BC，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AE∥DC，
∴△AOE∽△COF；
（2）连接DE，
∵AD∥BE，AD＝BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
又∠ABE＝90°，
∴四边形ABED是矩形，
∴GE＝GA＝GB＝GD＝BD＝AE，
∴E、F分别是BC、CD的中点，
∴EF、GE是△CBD的两条中位线，
∴EF＝BD＝GD，GE＝CD＝DF，
又GE＝GD，
∴EF＝GD＝GE＝DF，
∴四边形EFDG是菱形．
18．解：（1）根据相似三角形的判定得，与△ABD相似的三角形有：△ACB，△ECD，△AFD，△EFB．
（2）存在t值，使△ADF∽△EDB．理由如下：
∵∠F＝180°﹣∠FAD﹣∠FDA＝90°﹣∠FDA，∠C＝180°﹣∠CED﹣∠CDE＝90°﹣∠CDE，∠FDA＝∠CDE．
∴∠F＝∠C．
∵∠ABD＝∠C，
∴∠F＝∠ABD．
在△ABD与△AFD中，∠F＝∠ABD，∠FAD＝∠BAD＝90°，AD＝AD，
∴△ABD≌△AFD．
∵△ADF∽△EDB，
∴△ADB∽△EDB，而相似比＝＝1．
∴△ADB≌△EDB．
∴∠ABD＝∠EBD．
∴∠F＝∠ABD＝∠EBD．
∵∠F+∠ABD+∠EBD＝90°，
∴∠F＝30°．
∴∠C＝30°．
∴∠ABC＝60°．
∴＝．
∴t＝．
19．解：（1）△ABE与△DEF相似，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∵∠BEF＝90°，
∴∠ABE+∠AEB＝∠DEF+∠AEB＝90°，
∴∠ABE＝∠DEF，
∴△ABE∽△DEF；
（2）当点E位于AD中点时，△ABE、△BEF、△DEF这三个三角形都相似，理由如下：
作EG⊥BF于G，
∵△EBF∽△ABE，
∴∠ABE＝∠EBF，
∵∠A＝90°，
∴EG＝EA，
同理可得：ED＝EG，
∴AE＝ED，
即E是AD的中点
（3）如图2，
当△CBF∽△EBF∽△ABE∽△DEF时，
∠CBF＝∠EBF＝∠ABE＝∠DEF＝30°，
∴AE＝AB，
由（2）知：AD＝2AE＝AB，
∴＝＝，
∵＝＝，
∴DF＝AE＝×AB＝AB，
∵CD＝AB，
∴DF＝CD，
∴＝．
20．证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠ADB＝∠C+∠CAD＝∠BDE+∠ADE，∠BDE＝∠CAD，
∴∠ADE＝∠C，
∴∠B＝∠ADE，
∵∠DAE＝∠BAD，
∴△ADE∽△ABD．
21．解：设t秒后，则BP＝6﹣t，BQ＝2t，
（1）△PBQ是等腰三角形，则BP＝BQ即6﹣t＝2t，解得t＝2；
（2）△PQB的面积为BP BQ＝（6﹣t）（2t）＝5，即（t﹣1）（t﹣5）＝0，解得t＝1或5．
（3）①△BPQ∽△BAC，则＝，即2t＝2（6﹣t），解得t＝3．
②△BPQ∽△BCA，则有BP：BC＝BQ：AB，∴6﹣t：12＝2t：6，解得t＝1.2
∴当t＝3秒或t＝1.2秒时以P、B、Q为顶点的三角形和△ABC相似．
22．解：∵∠A＝∠A，
∴当∠ACP＝∠B，或∠APC＝∠ACB；
或，即AC2＝AP AB时，△ACP∽△ABC；
故答案为：∠ACP＝∠B（或∠APC＝∠ACB），或AC2＝AP AB；
（1）王华补充的条件是：∠ACP＝∠B（或∠APC＝∠ACB）；或AC2＝AP AB；理由如下：
∵∠A＝∠A，
∴当∠ACP＝∠B，或∠APC＝∠ACB；
或，即AC2＝AP AB时，△ACP∽△ABC；
故答案为：∠ACP＝∠B（或∠APC＝∠ACB），或AC2＝AP AB；
（2）延长AB到点D，使BD＝BC，连接CD，如图所示：
∵AC2＝AB2+AB BC＝AB（AB+BC）＝AB（AB+BD）＝AB AD，
∴，
又∵∠A＝∠A，∴△ACB∽△ADC，
∴∠ACB＝∠D，
∵BC＝BD，
∴∠BCD＝∠D，
在△ACD中，∠ACB+∠BCD+∠D+∠A＝180°，
∴3∠ACB+30°＝180°，
∴∠ACB＝50°．
23．解：（1）∵点A（1，3），点B（﹣3，0），点C（1，0），
∴∠ACB＝90°，OC＝1，AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5，
若△BDA与△BAC相似（不包含全等），
则∠BAD＝90°，
由射影定理得：AC2＝BC CD，
∴CD＝，
∴OD＝OC+CD＝1+＝
∴点D的坐标为（，0）；
（2）存在，m＝或；理由如下：
∵∠PBQ＝∠ABD，
∴分两种情况：
①当时，△BPQ∽△BAD，
即，
解得：m＝；
②当时，△BPQ∽△ABD，
即，
解得：m＝．
综上所述：存在这样的m，使得△BPQ与△BDA相似，m＝或．