2022-2023学年人教版七年级上册数学3.4 实际问题与一元一次方程 同步训练（word、含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年人教版七年级上册数学3.4 实际问题与一元一次方程 同步训练（word、含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 179.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-13 07:55:35 | ||
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文档简介
《实际问题与一元一次方程》同步训练
一、选择题
1．若关于x的方程mx+2＝2（m﹣x）的解满足方程，则m的值是（ ）
A．10 B． C．10 或 D．﹣10 或
2．方程|x|＝ax+1有一负根而无正根，则a的取值范围（ ）
A．a＞﹣1 B．a＞1 C．a≥﹣1 D．a≥1
3．某商人一次卖出两件衣服，一件赚了20%，一件亏了20%，售价都是60元，在这次生意中，该商人（ ）
A．不赚不赔 B．赚了5元 C．亏了5元 D．亏了10元
4．在国道107工程施工现场，调来72名司机师傅参加挖土和运土工作，已知3名司机师傅挖出的土1名司机师傅恰好能开车全部运走，怎样分配这72名司机师傅才能使挖出的土能及时运走？解决此问题，可设：派x名司机师傅挖土，其他的人运土，列方程①＝；②72﹣x＝；③x+3x＝72；④＝3上述所列方程，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．王涵同学在某月的日历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为45，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（ ）
A． B． C． D．
6．某小组有m人，计划做n个“中国结”，若每人做5个，则可比计划多做9个；若每人做4个，则将比计划少做15个，现有下列四个方程：①5m+9＝4m﹣15；②＝③＝；④5m﹣9＝4m+15．其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
7．将一个周长为42cm的长方形的长减少3cm，宽增加2cm，能得到一个正方形．若设长方形的长为xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．x+2＝（21﹣x）﹣3 B．x﹣3＝（21﹣x）﹣2
C．x﹣2＝（21﹣x）+3 D．x﹣3＝（21﹣x）+2
8．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“有100个和尚分100只馒头正好分完．如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大、小和尚各有几人？”设小和尚有x人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点…若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后100s内，两人相遇的次数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行用3h，从乙码头返回甲码头用了5h，已知轮船在静水中的平均速度为32km/h，求水流的速度，若设水流的速度为xkm/h，则可列方程为（ ）
A．3（32+x）＝5×32 B．3×32＝5×（32﹣x）
C．3（32+x）＝5×（32﹣x） D．＝
二、填空题
11．设a、b为实数，且a≠0，方程||x+a|+2b|＝4，恰有三个不相等的解，则b＝ ．
12．如图，x所表示的点在数轴上的位置如图，则关于x的方程|x﹣3|+|6﹣x|＝|5x|的解为 ．
13．随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价a元后，再次降价20%，现售价为b元，则原售价为 ．
14．问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是100km/h，卡车的行驶速度是90km/h，客车比卡车早0.5h经过B地，A，B两地间的路程是多少？我们可以用算术方法解决这个问题，列算式为 ；也可列方程解决这个问题，设A，B两地相距xkm，列出来的方程为 ；无论哪种方法都能求得A，B两地间的路程是 千米．
15．一个长方体水箱从里面量得长、宽、高分别是50cm、40cm和30cm，此时箱中水面高8cm，放进一个棱长为20cm的正方体实心铁块后，此时水箱中的水面仍然低于铁块的顶面，则水箱中露在水面外的铁块体积是 cm3．
三、解答题
16．已知关于x的方程mx+2＝2（m﹣x）的解满足|x﹣|﹣1＝0，则m的值．
17．阅读以下例题：
解方程|3x|＝1
解：①当3x≥0时，原方程可化为一元一次方程
3x＝1解得x＝
②当3x＜0时，原方程可化为一元一次方程
﹣3x＝1解得x＝﹣
所以原方程的解是x1＝，x2＝﹣
仿照以上方法解下列方程：
（1）|x﹣3|＝2
（2）|1﹣2x|＝3﹣x．
18．周末，小明和爸爸在400米的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话：
（1）请根据他们的对话内容，求小明和爸爸的骑行速度．
（2）爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸相距50m？
19．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）一个水瓶与一个水杯分别是多少元？
（2）甲、乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售．若某单位想在一家商场买5个水瓶和20个水杯，请问选择哪家商场更合算？请说明理由．
20．已知数轴上有A、B、C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，AC＝36，数轴上有一动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）点A表示的有理数是 ，点B表示的有理数是 ，点C表示的有理数是 ．
（2）当点P运动到点B时，点Q从点O出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴在点O和点C之间往复运动．
①求t为何值时，点Q第一次与点P重合？
②当点P运动到点C时，点Q的运动停止，求此时点Q一共运动了多少个单位长度，并求出此时点Q在数轴上所表示的有理数．
《实际问题与一元一次方程》同步训练
参考答案与试题解析
一、选择题
1．若关于x的方程mx+2＝2（m﹣x）的解满足方程，则m的值是（ ）
A．10 B． C．10 或 D．﹣10 或
【分析】本题中有2个方程，且是同解方程，一般思路是：先求出不含字母系数的方程的解，再把解代入到含有字母系数的方程中，求字母系数的值．
【解答】解：由|x﹣|＝1，
可得：x＝或x＝﹣，
①当x＝时，m+2＝2（m﹣），解得m＝10，
②当x＝﹣时，﹣m+2＝2（m+），解得m＝，
故m的值为10或．
故选：C．
【点评】考查了含绝对值符号的一元一次方程，此类题型的特点是，有2个方程，一个含有字母系数，一个是不含字母系数的方程，2方程同解，求字母系数的值．一般方法是：先求出不含字母系数的方程的解，再把解代入到含有字母系数的方程中，求字母系数的值．
2．方程|x|＝ax+1有一负根而无正根，则a的取值范围（ ）
A．a＞﹣1 B．a＞1 C．a≥﹣1 D．a≥1
【分析】根据负数的绝对值等于他的相反数，可化简方程，根据解一元一次方程，可得方程的解，根据方程有一负根和无正根，可得a的取值范围．
【解答】解：∵方程|x|＝ax+1有一负根而无正根，
∴﹣x＝ax+1．
x＝﹣，
x＜0，
﹣＜0
a+1＞0
a＞﹣1，
设方程有正根x，则x＝ax+1，
即x＝＞0，
解得a＜1，
由于方程无正根，所以a≥1．
综上所述，a≥1．
故选：D．
【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，先根据方程有一负根，化简方程，求出方程的解，再根据解是负数，得出答案．
3．某商人一次卖出两件衣服，一件赚了20%，一件亏了20%，售价都是60元，在这次生意中，该商人（ ）
A．不赚不赔 B．赚了5元 C．亏了5元 D．亏了10元
【分析】首先计算出两种商品的进价，然后再根据售价，比较是亏是赚，亏多少，赚多少．还应注意亏赚都是在原价的基础上．
【解答】解：设赚了20%的衣服是x元，
则：（1+20%）x＝60，
解得：x＝50，
设赔了20%的衣服是y元，
则（1﹣20%）y＝60，
解得：y＝75，
进总价：50+75＝125（元），
总售价：60×2＝120（元）
125﹣120＝5（元），
所以亏了5元，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是计算出两件商品的进价，再根据售价和进价的关系得到答案．
4．在国道107工程施工现场，调来72名司机师傅参加挖土和运土工作，已知3名司机师傅挖出的土1名司机师傅恰好能开车全部运走，怎样分配这72名司机师傅才能使挖出的土能及时运走？解决此问题，可设：派x名司机师傅挖土，其他的人运土，列方程①＝；②72﹣x＝；③x+3x＝72；④＝3上述所列方程，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】关键描述语是：“3人挖出的土1人恰好能全部运走”．等量关系为：挖土的工作量＝运土的工作量，找到一个关系式，看变形有几个即可．
【解答】解：设挖土的人的工作量为1．
∵3人挖出的土1人恰好能全部运走，
∴运土的人工作量为3，
∴可列方程为：①＝；②72﹣x＝；④＝3，故①②④正确，故正确的有3个，
故选：C．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元一次方程．解决本题的关键是根据工作量得到相应的等量关系，难点是得到挖土的人的工作量和运土的人的工作量之间的关系．
5．王涵同学在某月的日历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为45，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．根据题意可列方程求解．
【解答】解：A、设最小的数是x．x+x+7+x+14＝45，解得x＝8，故本选项不合题意；
B、设最小的数是x．x+x+1+x+8＝45，解得：x＝12，故本选项不符合题意；
C、设最小的数是x．x+x+6+x+12＝45，解得：x＝9，故本选项不合题意；
D、设最小的数是x．x+x+6+x+14＝45，解得：x＝，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查的是一元一次方程的应用，关键是根据题意对每个选项列出方程求解论证．锻炼了学生理解题意能力，关键知道日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．
6．某小组有m人，计划做n个“中国结”，若每人做5个，则可比计划多做9个；若每人做4个，则将比计划少做15个，现有下列四个方程：①5m+9＝4m﹣15；②＝③＝；④5m﹣9＝4m+15．其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【分析】根据题意可以列出相应的方程，然后变形即可判断哪个小题中的方程正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
5m＝n+9，4m＝n﹣15，
∴＝，5m﹣9＝4m+15．
故③④正确，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
7．将一个周长为42cm的长方形的长减少3cm，宽增加2cm，能得到一个正方形．若设长方形的长为xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．x+2＝（21﹣x）﹣3 B．x﹣3＝（21﹣x）﹣2
C．x﹣2＝（21﹣x）+3 D．x﹣3＝（21﹣x）+2
【分析】先理解题意找出题中存在的等量关系：长方形的长﹣3cm＝长方形的宽+2cm，根据此列方程即可．
【解答】解：设长方形的长为xcm，则宽是（21﹣x）cm，
根据等量关系：长方形的长﹣3cm＝长方形的宽+2cm，列出方程得：
x﹣3＝（21﹣x）+2．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐藏，要注意仔细审题，耐心寻找．
8．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“有100个和尚分100只馒头正好分完．如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大、小和尚各有几人？”设小和尚有x人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设大和尚有x人，则小和尚有（100﹣x）人，根据“有100个和尚分100个馒头正好分完，大和尚一人分3个小和尚3人分一个”列出方程．
【解答】解：设小和尚有x人，则大和尚有（100﹣x）人，根据题意得
x+3（100﹣x）＝100，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．
9．甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点…若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后100s内，两人相遇的次数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】可设两人相遇的次数为x，根据每次相遇的时间，总共时间为100s，列出方程求解即可．
【解答】解：设两人相遇的次数为x，依题意有
x＝100，
解得x＝4.5，
∵x为整数，
∴x取4．
故选：B．
【点评】考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
10．一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行用3h，从乙码头返回甲码头用了5h，已知轮船在静水中的平均速度为32km/h，求水流的速度，若设水流的速度为xkm/h，则可列方程为（ ）
A．3（32+x）＝5×32 B．3×32＝5×（32﹣x）
C．3（32+x）＝5×（32﹣x） D．＝
【分析】首先求出船的顺流速度＝静水速度+水速＝32+x，逆流速度＝静水速度﹣水速＝32﹣x，从甲码头到乙码顺流行驶用了3h，从乙码头返回甲码头流行驶用了5h，根据速度×时间＝路程，求出甲、乙两个码头之间的距离联立方程即可．
【解答】解：设水流速度为xkm/h，则顺流速度为（32+x）km/h，逆流速度为（32﹣x）km/h，
3（32+x）＝5（32﹣x）．
故选：C．
【点评】此题考查利用一元一次方程解决是问题，注意题目中蕴含的数量关系：顺流速度＝静水速度+水速，逆流速度＝静水速度﹣水速．
二、填空题
11．设a、b为实数，且a≠0，方程||x+a|+2b|＝4，恰有三个不相等的解，则b＝ ﹣2 ．
【分析】先去掉绝对值符号，再根据已知条件求解．
【解答】解：∵方程||x+a|+2b|＝4，
∴|x+a|＝±4﹣2b＝±4﹣2b，
∵有三个不相等的解，
∴4﹣2b与﹣4﹣2b，其中一个为0，
则得3个解，
如果都不是零，则得4个解，
故b＝2或﹣2．
经检验，b＝2不合题意舍弃，
∴b＝﹣2
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，属于基础题，关键是先去掉绝对值符号再求解．
12．如图，x所表示的点在数轴上的位置如图，则关于x的方程|x﹣3|+|6﹣x|＝|5x|的解为 x＝ ．
【分析】根据绝对值的性质，可化简方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：由图示，得
1＜x＜2．
原方程等价于3﹣x+6﹣x＝5x．
解得x＝，
故答案为：x＝．
【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题关键．
13．随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价a元后，再次降价20%，现售价为b元，则原售价为 （b+a）元 ．
【分析】可设原售价是x元，根据降价a元后，再次下调了20%后是b元为相等关系列出方程，用含a，b的代数式表示x即可求解．
【解答】解：设原售价是x元，则
（x﹣a）（1﹣20%）＝b，
解得x＝b+a，
故答案是：（b+a）元．
【点评】考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
14．问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是100km/h，卡车的行驶速度是90km/h，客车比卡车早0.5h经过B地，A，B两地间的路程是多少？我们可以用算术方法解决这个问题，列算式为 （90×0.5）÷（100﹣90）×100 ；也可列方程解决这个问题，设A，B两地相距xkm，列出来的方程为 ＝﹣0.5 ；无论哪种方法都能求得A，B两地间的路程是 450 千米．
【分析】根据题意分别利用行驶的时间差得出等式求出答案．
【解答】解：用算术方法解决这个问题，列算式为：（90×0.5）÷（100﹣90）×100；
也可列方程解决这个问题，设A，B两地相距xkm，列出来的方程为：＝﹣0.5；
无论哪种方法都能求得A，B两地间的路程是：450千米．
故答案为：（90×0.5）÷（100﹣90）×100，＝﹣0.5，450．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键．
15．一个长方体水箱从里面量得长、宽、高分别是50cm、40cm和30cm，此时箱中水面高8cm，放进一个棱长为20cm的正方体实心铁块后，此时水箱中的水面仍然低于铁块的顶面，则水箱中露在水面外的铁块体积是 4000 cm3．
【分析】设铁块沉入水底后水面高hcm，根据铁块放入水中前后水的体积不变列出方程并解答．
【解答】解：设放入正方体铁块后水面高为hcm，由题意得：
50×40×8+20×20×h＝50×40×h，
解得：h＝10．
则水箱中露在水面外的铁块的高度为：20﹣10＝10（cm），
所以水箱中露在水面外的铁块体积是：20×20×10＝4000（cm3）．
故答案是：4000．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握长方体的体积计算公式是解决问题的关键．
三、解答题
16．已知关于x的方程mx+2＝2（m﹣x）的解满足|x﹣|﹣1＝0，则m的值．
【分析】求出|x﹣|﹣1＝0的解，然后把求出的解代入方程mx+2＝2（m﹣x），把未知数转化成已知数，方程也同时转化为关于未知系数的方程，解方程即可．
【解答】解：先由|x﹣|﹣1＝0，
得出x＝或﹣；
当x＝﹣时，原方程为﹣m+2＝2（m+），解得m＝；
当x＝时，原方程为m+2＝2（m﹣），解得m＝10，
综上m的值为或10．
【点评】解答本题时要格外注意，|x﹣|﹣1＝0的解有两个．解出x的值后，则可把已知解代入方程的未知数中，使未知数转化为已知数，从而建立起未知系数的方程，通过未知系数的方程求出未知数系数，这种解题方法叫做待定系数法，是数学中的一个重要方法，以后在函数的学习中将大量用到这种方法．
17．阅读以下例题：
解方程|3x|＝1
解：①当3x≥0时，原方程可化为一元一次方程
3x＝1解得x＝
②当3x＜0时，原方程可化为一元一次方程
﹣3x＝1解得x＝﹣
所以原方程的解是x1＝，x2＝﹣
仿照以上方法解下列方程：
（1）|x﹣3|＝2
（2）|1﹣2x|＝3﹣x．
【分析】（1）分类讨论：x﹣3≥0，x﹣3＜0，根据绝对值都是非负数，可得方程，根据解方程，可得答案；
（2）分类讨论：1﹣2x≥0，1﹣2x＜0，根据绝对值都是非负数，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：（1）|x﹣3|＝2
①当x﹣3≥0时，原方程可化为一元一次方程，
x﹣3＝2
解得：x＝5，
②当x﹣3＜0时，原方程可化为一元一次方程
x﹣3＝﹣2，
解得：x＝1；
所以原方程的解是：x1＝5，x2＝1；
（2）|1﹣2x|＝3﹣x
①当1﹣2x≥0时，原方程可化为一元一次方程，
1﹣2x＝3﹣x
解得：x＝﹣2，
②当1﹣2x＜0时，原方程可化为一元一次方程
1﹣2x＝﹣（3﹣x），
解得：x＝；
所以原方程的解是：x1＝﹣2，x2＝．
【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类化简方程是解题关键．
18．周末，小明和爸爸在400米的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话：
（1）请根据他们的对话内容，求小明和爸爸的骑行速度．
（2）爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸相距50m？
【分析】（1）设小明的骑行速度为x米/分钟，则爸爸的骑行速度为2x米/分钟，根据距离＝速度差×时间即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过y分钟，小明和爸爸跑道上相距50m．根据距离＝速度差×时间即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设小明的骑行速度为x米/分钟，则爸爸的骑行速度为2x米/分钟，
根据题意得：2（2x﹣x）＝400，
解得：x＝200，
∴2x＝400．
答：小明的骑行速度为200米/分钟，爸爸的骑行速度为400米/分钟．
（2）解：设爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过y分钟，小明和爸爸相距50m．
400y﹣200y＝50
y＝
或者60×y+50﹣60×y＝400，
解得y＝．
答：爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过或分钟，小明和爸爸相距50m．
【点评】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，由路程差找出合适的等量关系列出方程，再求解．
19．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）一个水瓶与一个水杯分别是多少元？
（2）甲、乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售．若某单位想在一家商场买5个水瓶和20个水杯，请问选择哪家商场更合算？请说明理由．
【分析】（1）设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48﹣x）元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）计算出两商场得费用，比较即可得到结果．
【解答】解：（1）设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48﹣x）元，
根据题意得：3x+4（48﹣x）＝152，
解得：x＝40，
则一个水瓶40元，一个水杯是8元；
（2）甲商场所需费用为（40×5+8×20）×80%＝288（元）；
乙商场所需费用为5×40+（20﹣5×2）×8＝280（元），
∵288＞280，
∴选择乙商场购买更合算．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
20．已知数轴上有A、B、C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，AC＝36，数轴上有一动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）点A表示的有理数是 ﹣10 ，点B表示的有理数是 10 ，点C表示的有理数是 26 ．
（2）当点P运动到点B时，点Q从点O出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴在点O和点C之间往复运动．
①求t为何值时，点Q第一次与点P重合？
②当点P运动到点C时，点Q的运动停止，求此时点Q一共运动了多少个单位长度，并求出此时点Q在数轴上所表示的有理数．
【分析】（1）结合相反数的定义和两点间的距离公式解答；
（2）①点Q第一次与点P重合时，AP＝OQ+10，据此列出方程并解答；
②求得运动时间，然后由运动路程＝时间×速度解答．
【解答】解：（1）设点A表示的有理数是﹣a，则由题意得：﹣2a＝20，
解得a＝﹣10，
所以点A表示的有理数是﹣10，点B表示的有理数是10．
因为AC＝36，
所以点C表示的有理数是26．
故答案是：﹣10；10；26；
（2）①由题意得，次数BP＝t﹣20，OQ＝6（t﹣20）
6（t﹣20）﹣10＝t﹣20，
解得t＝22．
20＜22＜36．
所以当t＝22时，点Q第一次与点P重合；
②BC＝16，16÷1＝16（秒）
16×6＝96
96÷26＝3余18，26﹣18＝8
所以，点Q一共运动了96个单位长度，此时点Q所表示的有理数是8．
【点评】考查了一元一次方程的应用，相反数和数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
一、选择题
1．若关于x的方程mx+2＝2（m﹣x）的解满足方程，则m的值是（ ）
A．10 B． C．10 或 D．﹣10 或
2．方程|x|＝ax+1有一负根而无正根，则a的取值范围（ ）
A．a＞﹣1 B．a＞1 C．a≥﹣1 D．a≥1
3．某商人一次卖出两件衣服，一件赚了20%，一件亏了20%，售价都是60元，在这次生意中，该商人（ ）
A．不赚不赔 B．赚了5元 C．亏了5元 D．亏了10元
4．在国道107工程施工现场，调来72名司机师傅参加挖土和运土工作，已知3名司机师傅挖出的土1名司机师傅恰好能开车全部运走，怎样分配这72名司机师傅才能使挖出的土能及时运走？解决此问题，可设：派x名司机师傅挖土，其他的人运土，列方程①＝；②72﹣x＝；③x+3x＝72；④＝3上述所列方程，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
5．王涵同学在某月的日历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为45，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（ ）
A． B． C． D．
6．某小组有m人，计划做n个“中国结”，若每人做5个，则可比计划多做9个；若每人做4个，则将比计划少做15个，现有下列四个方程：①5m+9＝4m﹣15；②＝③＝；④5m﹣9＝4m+15．其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
7．将一个周长为42cm的长方形的长减少3cm，宽增加2cm，能得到一个正方形．若设长方形的长为xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．x+2＝（21﹣x）﹣3 B．x﹣3＝（21﹣x）﹣2
C．x﹣2＝（21﹣x）+3 D．x﹣3＝（21﹣x）+2
8．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“有100个和尚分100只馒头正好分完．如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大、小和尚各有几人？”设小和尚有x人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点…若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后100s内，两人相遇的次数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行用3h，从乙码头返回甲码头用了5h，已知轮船在静水中的平均速度为32km/h，求水流的速度，若设水流的速度为xkm/h，则可列方程为（ ）
A．3（32+x）＝5×32 B．3×32＝5×（32﹣x）
C．3（32+x）＝5×（32﹣x） D．＝
二、填空题
11．设a、b为实数，且a≠0，方程||x+a|+2b|＝4，恰有三个不相等的解，则b＝ ．
12．如图，x所表示的点在数轴上的位置如图，则关于x的方程|x﹣3|+|6﹣x|＝|5x|的解为 ．
13．随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价a元后，再次降价20%，现售价为b元，则原售价为 ．
14．问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是100km/h，卡车的行驶速度是90km/h，客车比卡车早0.5h经过B地，A，B两地间的路程是多少？我们可以用算术方法解决这个问题，列算式为 ；也可列方程解决这个问题，设A，B两地相距xkm，列出来的方程为 ；无论哪种方法都能求得A，B两地间的路程是 千米．
15．一个长方体水箱从里面量得长、宽、高分别是50cm、40cm和30cm，此时箱中水面高8cm，放进一个棱长为20cm的正方体实心铁块后，此时水箱中的水面仍然低于铁块的顶面，则水箱中露在水面外的铁块体积是 cm3．
三、解答题
16．已知关于x的方程mx+2＝2（m﹣x）的解满足|x﹣|﹣1＝0，则m的值．
17．阅读以下例题：
解方程|3x|＝1
解：①当3x≥0时，原方程可化为一元一次方程
3x＝1解得x＝
②当3x＜0时，原方程可化为一元一次方程
﹣3x＝1解得x＝﹣
所以原方程的解是x1＝，x2＝﹣
仿照以上方法解下列方程：
（1）|x﹣3|＝2
（2）|1﹣2x|＝3﹣x．
18．周末，小明和爸爸在400米的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话：
（1）请根据他们的对话内容，求小明和爸爸的骑行速度．
（2）爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸相距50m？
19．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）一个水瓶与一个水杯分别是多少元？
（2）甲、乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售．若某单位想在一家商场买5个水瓶和20个水杯，请问选择哪家商场更合算？请说明理由．
20．已知数轴上有A、B、C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，AC＝36，数轴上有一动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）点A表示的有理数是 ，点B表示的有理数是 ，点C表示的有理数是 ．
（2）当点P运动到点B时，点Q从点O出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴在点O和点C之间往复运动．
①求t为何值时，点Q第一次与点P重合？
②当点P运动到点C时，点Q的运动停止，求此时点Q一共运动了多少个单位长度，并求出此时点Q在数轴上所表示的有理数．
《实际问题与一元一次方程》同步训练
参考答案与试题解析
一、选择题
1．若关于x的方程mx+2＝2（m﹣x）的解满足方程，则m的值是（ ）
A．10 B． C．10 或 D．﹣10 或
【分析】本题中有2个方程，且是同解方程，一般思路是：先求出不含字母系数的方程的解，再把解代入到含有字母系数的方程中，求字母系数的值．
【解答】解：由|x﹣|＝1，
可得：x＝或x＝﹣，
①当x＝时，m+2＝2（m﹣），解得m＝10，
②当x＝﹣时，﹣m+2＝2（m+），解得m＝，
故m的值为10或．
故选：C．
【点评】考查了含绝对值符号的一元一次方程，此类题型的特点是，有2个方程，一个含有字母系数，一个是不含字母系数的方程，2方程同解，求字母系数的值．一般方法是：先求出不含字母系数的方程的解，再把解代入到含有字母系数的方程中，求字母系数的值．
2．方程|x|＝ax+1有一负根而无正根，则a的取值范围（ ）
A．a＞﹣1 B．a＞1 C．a≥﹣1 D．a≥1
【分析】根据负数的绝对值等于他的相反数，可化简方程，根据解一元一次方程，可得方程的解，根据方程有一负根和无正根，可得a的取值范围．
【解答】解：∵方程|x|＝ax+1有一负根而无正根，
∴﹣x＝ax+1．
x＝﹣，
x＜0，
﹣＜0
a+1＞0
a＞﹣1，
设方程有正根x，则x＝ax+1，
即x＝＞0，
解得a＜1，
由于方程无正根，所以a≥1．
综上所述，a≥1．
故选：D．
【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，先根据方程有一负根，化简方程，求出方程的解，再根据解是负数，得出答案．
3．某商人一次卖出两件衣服，一件赚了20%，一件亏了20%，售价都是60元，在这次生意中，该商人（ ）
A．不赚不赔 B．赚了5元 C．亏了5元 D．亏了10元
【分析】首先计算出两种商品的进价，然后再根据售价，比较是亏是赚，亏多少，赚多少．还应注意亏赚都是在原价的基础上．
【解答】解：设赚了20%的衣服是x元，
则：（1+20%）x＝60，
解得：x＝50，
设赔了20%的衣服是y元，
则（1﹣20%）y＝60，
解得：y＝75，
进总价：50+75＝125（元），
总售价：60×2＝120（元）
125﹣120＝5（元），
所以亏了5元，
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是计算出两件商品的进价，再根据售价和进价的关系得到答案．
4．在国道107工程施工现场，调来72名司机师傅参加挖土和运土工作，已知3名司机师傅挖出的土1名司机师傅恰好能开车全部运走，怎样分配这72名司机师傅才能使挖出的土能及时运走？解决此问题，可设：派x名司机师傅挖土，其他的人运土，列方程①＝；②72﹣x＝；③x+3x＝72；④＝3上述所列方程，正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】关键描述语是：“3人挖出的土1人恰好能全部运走”．等量关系为：挖土的工作量＝运土的工作量，找到一个关系式，看变形有几个即可．
【解答】解：设挖土的人的工作量为1．
∵3人挖出的土1人恰好能全部运走，
∴运土的人工作量为3，
∴可列方程为：①＝；②72﹣x＝；④＝3，故①②④正确，故正确的有3个，
故选：C．
【点评】考查了由实际问题抽象出一元一次方程．解决本题的关键是根据工作量得到相应的等量关系，难点是得到挖土的人的工作量和运土的人的工作量之间的关系．
5．王涵同学在某月的日历上圈出了三个数a，b，c，并求出了它们的和为45，则这三个数在日历中的排位位置不可能的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．根据题意可列方程求解．
【解答】解：A、设最小的数是x．x+x+7+x+14＝45，解得x＝8，故本选项不合题意；
B、设最小的数是x．x+x+1+x+8＝45，解得：x＝12，故本选项不符合题意；
C、设最小的数是x．x+x+6+x+12＝45，解得：x＝9，故本选项不合题意；
D、设最小的数是x．x+x+6+x+14＝45，解得：x＝，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】此题考查的是一元一次方程的应用，关键是根据题意对每个选项列出方程求解论证．锻炼了学生理解题意能力，关键知道日历中的每个数都是整数且上下相邻是7，左右相邻相差是1．
6．某小组有m人，计划做n个“中国结”，若每人做5个，则可比计划多做9个；若每人做4个，则将比计划少做15个，现有下列四个方程：①5m+9＝4m﹣15；②＝③＝；④5m﹣9＝4m+15．其中正确的是（ ）
A．①② B．②④ C．②③ D．③④
【分析】根据题意可以列出相应的方程，然后变形即可判断哪个小题中的方程正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由题意可得，
5m＝n+9，4m＝n﹣15，
∴＝，5m﹣9＝4m+15．
故③④正确，
故选：D．
【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．
7．将一个周长为42cm的长方形的长减少3cm，宽增加2cm，能得到一个正方形．若设长方形的长为xcm，根据题意可列方程为（ ）
A．x+2＝（21﹣x）﹣3 B．x﹣3＝（21﹣x）﹣2
C．x﹣2＝（21﹣x）+3 D．x﹣3＝（21﹣x）+2
【分析】先理解题意找出题中存在的等量关系：长方形的长﹣3cm＝长方形的宽+2cm，根据此列方程即可．
【解答】解：设长方形的长为xcm，则宽是（21﹣x）cm，
根据等量关系：长方形的长﹣3cm＝长方形的宽+2cm，列出方程得：
x﹣3＝（21﹣x）+2．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，列方程解应用题的关键是找出题目中的相等关系，有的题目所含的等量关系比较隐藏，要注意仔细审题，耐心寻找．
8．我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名算题：“有100个和尚分100只馒头正好分完．如果大和尚一人分3只，小和尚3人分一只，试问大、小和尚各有几人？”设小和尚有x人，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】设大和尚有x人，则小和尚有（100﹣x）人，根据“有100个和尚分100个馒头正好分完，大和尚一人分3个小和尚3人分一个”列出方程．
【解答】解：设小和尚有x人，则大和尚有（100﹣x）人，根据题意得
x+3（100﹣x）＝100，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程．
9．甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点…若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后100s内，两人相遇的次数为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】可设两人相遇的次数为x，根据每次相遇的时间，总共时间为100s，列出方程求解即可．
【解答】解：设两人相遇的次数为x，依题意有
x＝100，
解得x＝4.5，
∵x为整数，
∴x取4．
故选：B．
【点评】考查了一元一次方程的应用，利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答．
10．一艘轮船从甲码头到乙码头顺流而行用3h，从乙码头返回甲码头用了5h，已知轮船在静水中的平均速度为32km/h，求水流的速度，若设水流的速度为xkm/h，则可列方程为（ ）
A．3（32+x）＝5×32 B．3×32＝5×（32﹣x）
C．3（32+x）＝5×（32﹣x） D．＝
【分析】首先求出船的顺流速度＝静水速度+水速＝32+x，逆流速度＝静水速度﹣水速＝32﹣x，从甲码头到乙码顺流行驶用了3h，从乙码头返回甲码头流行驶用了5h，根据速度×时间＝路程，求出甲、乙两个码头之间的距离联立方程即可．
【解答】解：设水流速度为xkm/h，则顺流速度为（32+x）km/h，逆流速度为（32﹣x）km/h，
3（32+x）＝5（32﹣x）．
故选：C．
【点评】此题考查利用一元一次方程解决是问题，注意题目中蕴含的数量关系：顺流速度＝静水速度+水速，逆流速度＝静水速度﹣水速．
二、填空题
11．设a、b为实数，且a≠0，方程||x+a|+2b|＝4，恰有三个不相等的解，则b＝ ﹣2 ．
【分析】先去掉绝对值符号，再根据已知条件求解．
【解答】解：∵方程||x+a|+2b|＝4，
∴|x+a|＝±4﹣2b＝±4﹣2b，
∵有三个不相等的解，
∴4﹣2b与﹣4﹣2b，其中一个为0，
则得3个解，
如果都不是零，则得4个解，
故b＝2或﹣2．
经检验，b＝2不合题意舍弃，
∴b＝﹣2
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，属于基础题，关键是先去掉绝对值符号再求解．
12．如图，x所表示的点在数轴上的位置如图，则关于x的方程|x﹣3|+|6﹣x|＝|5x|的解为 x＝ ．
【分析】根据绝对值的性质，可化简方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：由图示，得
1＜x＜2．
原方程等价于3﹣x+6﹣x＝5x．
解得x＝，
故答案为：x＝．
【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，利用绝对值的性质化简方程是解题关键．
13．随着服装市场竞争日益激烈，某品牌服装专卖店一款服装按原售价降价a元后，再次降价20%，现售价为b元，则原售价为 （b+a）元 ．
【分析】可设原售价是x元，根据降价a元后，再次下调了20%后是b元为相等关系列出方程，用含a，b的代数式表示x即可求解．
【解答】解：设原售价是x元，则
（x﹣a）（1﹣20%）＝b，
解得x＝b+a，
故答案是：（b+a）元．
【点评】考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
14．问题：一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，客车的行驶速度是100km/h，卡车的行驶速度是90km/h，客车比卡车早0.5h经过B地，A，B两地间的路程是多少？我们可以用算术方法解决这个问题，列算式为 （90×0.5）÷（100﹣90）×100 ；也可列方程解决这个问题，设A，B两地相距xkm，列出来的方程为 ＝﹣0.5 ；无论哪种方法都能求得A，B两地间的路程是 450 千米．
【分析】根据题意分别利用行驶的时间差得出等式求出答案．
【解答】解：用算术方法解决这个问题，列算式为：（90×0.5）÷（100﹣90）×100；
也可列方程解决这个问题，设A，B两地相距xkm，列出来的方程为：＝﹣0.5；
无论哪种方法都能求得A，B两地间的路程是：450千米．
故答案为：（90×0.5）÷（100﹣90）×100，＝﹣0.5，450．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确找出等量关系是解题关键．
15．一个长方体水箱从里面量得长、宽、高分别是50cm、40cm和30cm，此时箱中水面高8cm，放进一个棱长为20cm的正方体实心铁块后，此时水箱中的水面仍然低于铁块的顶面，则水箱中露在水面外的铁块体积是 4000 cm3．
【分析】设铁块沉入水底后水面高hcm，根据铁块放入水中前后水的体积不变列出方程并解答．
【解答】解：设放入正方体铁块后水面高为hcm，由题意得：
50×40×8+20×20×h＝50×40×h，
解得：h＝10．
则水箱中露在水面外的铁块的高度为：20﹣10＝10（cm），
所以水箱中露在水面外的铁块体积是：20×20×10＝4000（cm3）．
故答案是：4000．
【点评】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握长方体的体积计算公式是解决问题的关键．
三、解答题
16．已知关于x的方程mx+2＝2（m﹣x）的解满足|x﹣|﹣1＝0，则m的值．
【分析】求出|x﹣|﹣1＝0的解，然后把求出的解代入方程mx+2＝2（m﹣x），把未知数转化成已知数，方程也同时转化为关于未知系数的方程，解方程即可．
【解答】解：先由|x﹣|﹣1＝0，
得出x＝或﹣；
当x＝﹣时，原方程为﹣m+2＝2（m+），解得m＝；
当x＝时，原方程为m+2＝2（m﹣），解得m＝10，
综上m的值为或10．
【点评】解答本题时要格外注意，|x﹣|﹣1＝0的解有两个．解出x的值后，则可把已知解代入方程的未知数中，使未知数转化为已知数，从而建立起未知系数的方程，通过未知系数的方程求出未知数系数，这种解题方法叫做待定系数法，是数学中的一个重要方法，以后在函数的学习中将大量用到这种方法．
17．阅读以下例题：
解方程|3x|＝1
解：①当3x≥0时，原方程可化为一元一次方程
3x＝1解得x＝
②当3x＜0时，原方程可化为一元一次方程
﹣3x＝1解得x＝﹣
所以原方程的解是x1＝，x2＝﹣
仿照以上方法解下列方程：
（1）|x﹣3|＝2
（2）|1﹣2x|＝3﹣x．
【分析】（1）分类讨论：x﹣3≥0，x﹣3＜0，根据绝对值都是非负数，可得方程，根据解方程，可得答案；
（2）分类讨论：1﹣2x≥0，1﹣2x＜0，根据绝对值都是非负数，可得方程，根据解方程，可得答案．
【解答】解：（1）|x﹣3|＝2
①当x﹣3≥0时，原方程可化为一元一次方程，
x﹣3＝2
解得：x＝5，
②当x﹣3＜0时，原方程可化为一元一次方程
x﹣3＝﹣2，
解得：x＝1；
所以原方程的解是：x1＝5，x2＝1；
（2）|1﹣2x|＝3﹣x
①当1﹣2x≥0时，原方程可化为一元一次方程，
1﹣2x＝3﹣x
解得：x＝﹣2，
②当1﹣2x＜0时，原方程可化为一元一次方程
1﹣2x＝﹣（3﹣x），
解得：x＝；
所以原方程的解是：x1＝﹣2，x2＝．
【点评】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程，分类化简方程是解题关键．
18．周末，小明和爸爸在400米的环形跑道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如下对话：
（1）请根据他们的对话内容，求小明和爸爸的骑行速度．
（2）爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸相距50m？
【分析】（1）设小明的骑行速度为x米/分钟，则爸爸的骑行速度为2x米/分钟，根据距离＝速度差×时间即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过y分钟，小明和爸爸跑道上相距50m．根据距离＝速度差×时间即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）设小明的骑行速度为x米/分钟，则爸爸的骑行速度为2x米/分钟，
根据题意得：2（2x﹣x）＝400，
解得：x＝200，
∴2x＝400．
答：小明的骑行速度为200米/分钟，爸爸的骑行速度为400米/分钟．
（2）解：设爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过y分钟，小明和爸爸相距50m．
400y﹣200y＝50
y＝
或者60×y+50﹣60×y＝400，
解得y＝．
答：爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过或分钟，小明和爸爸相距50m．
【点评】考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，由路程差找出合适的等量关系列出方程，再求解．
19．请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）一个水瓶与一个水杯分别是多少元？
（2）甲、乙两家商场都销售该水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，单独购买的水杯仍按原价销售．若某单位想在一家商场买5个水瓶和20个水杯，请问选择哪家商场更合算？请说明理由．
【分析】（1）设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48﹣x）元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；
（2）计算出两商场得费用，比较即可得到结果．
【解答】解：（1）设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48﹣x）元，
根据题意得：3x+4（48﹣x）＝152，
解得：x＝40，
则一个水瓶40元，一个水杯是8元；
（2）甲商场所需费用为（40×5+8×20）×80%＝288（元）；
乙商场所需费用为5×40+（20﹣5×2）×8＝280（元），
∵288＞280，
∴选择乙商场购买更合算．
【点评】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意得出正确等量关系是解题关键．
20．已知数轴上有A、B、C三点，点A和点B间距20个单位长度且点A、B表示的有理数互为相反数，AC＝36，数轴上有一动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向终点C移动，设移动时间为t秒．
（1）点A表示的有理数是 ﹣10 ，点B表示的有理数是 10 ，点C表示的有理数是 26 ．
（2）当点P运动到点B时，点Q从点O出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴在点O和点C之间往复运动．
①求t为何值时，点Q第一次与点P重合？
②当点P运动到点C时，点Q的运动停止，求此时点Q一共运动了多少个单位长度，并求出此时点Q在数轴上所表示的有理数．
【分析】（1）结合相反数的定义和两点间的距离公式解答；
（2）①点Q第一次与点P重合时，AP＝OQ+10，据此列出方程并解答；
②求得运动时间，然后由运动路程＝时间×速度解答．
【解答】解：（1）设点A表示的有理数是﹣a，则由题意得：﹣2a＝20，
解得a＝﹣10，
所以点A表示的有理数是﹣10，点B表示的有理数是10．
因为AC＝36，
所以点C表示的有理数是26．
故答案是：﹣10；10；26；
（2）①由题意得，次数BP＝t﹣20，OQ＝6（t﹣20）
6（t﹣20）﹣10＝t﹣20，
解得t＝22．
20＜22＜36．
所以当t＝22时，点Q第一次与点P重合；
②BC＝16，16÷1＝16（秒）
16×6＝96
96÷26＝3余18，26﹣18＝8
所以，点Q一共运动了96个单位长度，此时点Q所表示的有理数是8．
【点评】考查了一元一次方程的应用，相反数和数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．