节节高高中数学北师大版（2019）必修第一册第一章——3.2基本不等式A（Word版含解析）

节节高高中数学北师大版（2019）必修第一册第一章——3.2基本不等式A
未命名
一、单选题
1．已知，则的最小值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝1，若不等式m2+7m恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．﹣8≤m≤1 B．m≤﹣8或m≥1 C．﹣1≤m≤8 D．m≤﹣1或m≥8
3．已知为正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．当0A．0 B．9 C．10 D．12
6．若正数、满足，若不等式的恒成立，则的最大值等于（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．在下列函数中，最小值是2的函数有（　　）
A． B．
C． D．
8．设，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小值为 B．的最小值为2
C．的最小值为 D．恒成立.
三、填空题
9．已知a，b均为正数，且，则ab的最大值是________．
10．已知数列为正项等比数列，，则的最小值为________.
11．已知，则的最小值是_______．
12．已知正数，满足，则的最大值为______．
四、解答题
13．（1）把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？
（2）把12写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？
14．某单位每年需向自来水公司缴纳水费约4万元，为节约用水，决定安装1个自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费（单位：万元）与管线、主体装置的占地面积（单位：平方米）成正比，比例系数为0.1.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水公司供水互补的用水模式.假设在此模式下，安装后该单位每年向自来水公司缴纳水费为（，k为常数），x为安装这种净水设备的占地面积（单位：平方米）记y为该单位安装这种净水设备费用与安装设备后第一年向自来水公司缴水费之和.
（1）解释的实际意义；
（2）求y的最小值.
15．已知方程的解为、.
（1）求、的值.
（2）求的最小值.
16．已知关于一元二次不等式的解集为.
(1)求函数的最小值；
(2)求关于的一元二次不等式的解集.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
利用基本不等式即可求解.
【详解】
由，则，
所以，
当且仅当时，取等号，
故选：B
【点睛】
本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题.
2．A
【解析】
【分析】
由题意可得（x+2y）（）4≥4+28，不等式m2+7m成立 m2+7m＜（）min，即可求得实数m的取值范围．
【详解】
解：∵x＞0，y＞0，x+2y＝1，
∴（x+2y）（）4≥4+28．（当，即x＝2y时取等号），
∵不等式m2+7m成立，
∴m2+7m≤8，
求得﹣8≤m≤1．
故选：A．
3．B
【解析】
【分析】
根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
由题意，可得，
则有，解得，
当且仅当，取到最小值.
故选：B.
4．D
【解析】
【分析】
先化简，由，结合基本不等式，求得，进而求得的最大值.
【详解】
由，可得，
又由，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，即的最大值为.
故选：D.
5．B
【解析】
【分析】
利用基本不等式求解.
【详解】
因为0所以，
当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为9，
故选：B.
6．A
【解析】
【分析】
由已知得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，即可得出实数的最大值.
【详解】
已知正数、满足，可得，
所以，，
当且仅当时，等号成立，所以，的最小值为，.
因此，实数的最大值为.
故选：A.
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
7．AD
【解析】
【分析】
选项A先由基本不等式可得，再判断当x＝1或时，等号成立，最后判断选项A正确；选项B先由基本不等式可得，再判断当时，等号成立，但，最后判断选项B不正确；选项C先由基本不等式可得，再判断当时，等号成立，显然不可能取到，最后判断选项C不正确；选项D先由基本不等式可得，再判断当x＝log32时，等号成立，最后判断选项D正确．
【详解】
对于选项A：∵x2＞0，∴由基本不等式可得，当且仅当，即x＝1或时，等号成立，故选项A正确；
对于选项B：∵，∴0＜＜1，由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，但是取不到1，所以等号不能成立，故选项B不正确；
对于选项C：由基本不等式可得，当且仅当，即时，等号成立，显然不可能取到，故选项C不正确；
对于选项D：∵3x＞0，∴由基本不等式可得，当且仅当，即x＝log32时，等号成立，故选项D正确．
故选：AD．
【点睛】
本题考查基本不等式，是基础题.
8．BC
【解析】
【分析】
根据已知等式，应用基本不等式“1”的代换求各选项的最小值，注意等号是否能成立，进而判断各项的正误.
【详解】
由得：，
A：，当且仅当时等号成立，错误；
B：，当且仅当时等号成立，正确；
C：，当且仅当时等号成立，正确；
D：，又，则，当且仅当时等号成立，而，显然不能恒成立，错误.
故选：BC.
9．
【解析】
【分析】
利用基本不等式求解即可.
【详解】
因为a，b均为正数，且，
所以，即，当且仅当时取等号.
故答案为：
【点睛】
本题考查基本不等式求积的最大值，属于基础题.
10．27
【解析】
利用等比数列的性质求得，结合其下标和性质和均值不等式即可容易求得.
【详解】
由等比数列的性质可知，则，
.
当且仅当时取得最小值.
故答案为：.
【点睛】
本题考查等比数列的下标和性质，涉及均值不等式求和的最小值，属综合基础题.
11．
【解析】
【分析】
根据题设条件可得，可得，利用基本不等式即可求解.
【详解】
∵
∴且
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.
12．
【解析】
【分析】
由条件得，进而得，由基本不等式可得解.
【详解】
由，得，
由，得，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，、
所以的最大值为.
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：本题的解题关键是利用等量代换实现二元换一元，进而可利于基本不等式求最值.
13．（1）当时，取得最小值14；（2）当时，取得最大值36
【解析】
（1）设，，，然后利用基本不等式求得的最小值，根据基本不等式等号成立的条件，求得的值.
（2）设，，，然后利用基本不等式求得的最大值，根据基本不等式等号成立的条件，求得的值.
【详解】
（1）设，，，由均值不等式，得，
当且仅当时，取等号．
由得，即当时，取得最小值14．
（2）设，，，由均值不等式，得．
当且仅当时，取等号．由得．即当时，取得最大值36.
【点睛】
本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.
14．（1）表示不安装设备时，每年缴交水费为4万元；（2）的最小值为3万元.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，即可知道实际意义
（2）建立关于的函数，求最值即可.
【详解】
解（1）表示不安装设备时，每年缴交水费为4万元.
（2）由 ∴
∵ ∴
∴（万元）
当且仅当即时取“=”
答：的最小值为3万元.
15．（1），；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用一元二次方程根与系数的关系求、；
（2）利用基本不等式求最小值.
【详解】
（1）由韦达定理可得，解得，；
（2）由（1）知，，
所以，
当时，由基本不等式可得，
当且仅当时，即当时，等号成立.
因此，的最小值为.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
16．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意可得，解不等式求出的取值范围，再利用基本不等式求的最小值；
（2）不等式化为，比较和的大小，即可得出不等式的解集.
(1)
因为关于一元二次不等式的解集为，
所以，化简可得：，解得：，
所以，
所以，
当且仅当即，的最小值为.
(2)
不等式，可化为，
因为，所以，
所以该不等式的解集为.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页