节节高高中数学北师大版（2019）必修第一册第一章——3.2基本不等式B（Word版含解析）

节节高高中数学北师大版（2019）必修第一册第一章——3.2基本不等式B
未命名
一、单选题
1．若实数，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知当x=a时，代数式取得最小值b，则a+b= （ ）
A．-3 B．2 C．3 D．8
3．已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．16 D．9
4．已知，，则y的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．已知，，，，且，则下列不等式中，成立的个数有①，②，③，④（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知，，且，则下列结论中正确的是（ ）
A．有最小值4 B．有最小值
C．有最大值 D．有最大值2
二、多选题
7．已知正数a，b满足，若a+b∈Z，则a+b的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
8．若x，y满足，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．已知，则的最小值是______．
10．若正数满足，则的最小值为______.
11．已知，则的最小值为________.
12．已知，那么当代数式取最小值时，点的坐标为______
四、解答题
13．（1）已知，求的最小值；
（2）已知x，y是正实数，且，求的最小值．
14．某建筑队在一块长的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如下图中矩形ABCD的学生公寓，要求定点在地块的对角线MN上，B，分别在边AM，AN上.
(1)若m，宽m，求长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形学生公寓ABCD的面积最大？最大值是多少m？
(2)若矩形AMPN的面积为m，问学生公寓ABCD的面积是否有最大值？若有，求出最大值？若没有，请说明理由.
15．某地政府指导本地建扶贫车间 搭建就业平台，帮助贫困群众实现精准脱贫，实现困难群众就地就近就业.已知扶贫车间生产某种产品的年固定成本为8万元，每生产()万件，该产品需另投入流动成本万元.在年产量不足6万件时，；在年产量不小于6万件时，.每件产品的售价为6元.由于该扶货车间利用了扶贫政策及企业产业链优势，因此该种产品能在当年全部售完.
（1）写出年利润(万元)关于年产量(万件)的函数解析式；
（2）当年产量为多少时，该扶贫车间的年利润最大？并求出最大年利润.
16．已知实数，.
（1）若，求2xy的最大值与的最小值；
（2）若，求的最小值.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
将原式变形为，然后利用基本不等式求解出的最小值.
【详解】
因为，
取等号时且，即，所以的最小值为，
故选：B.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
2．C
【解析】
【分析】
由基本不等式求得最小值得及取最小值成立的条件得即可得结果．
【详解】
令，由，得x+1>0，>0，
所以由基本不等式得，
当且仅当x+1=，即(x+1)2=9，即x+1=3，即x=2时取等号，所以a=2，b=1，a+b=3.．
故选：C
3．D
【解析】
【分析】
利用参变分离的方法将不等式变形为恒成立，再由基本不等式得出代数式的最值，可得选项.
【详解】
由已知，，若不等式恒成立，
所以恒成立，
转化成求的最小值，
，
当且仅当时取等
所以．
故选：D．
4．D
【解析】
【分析】
由，得到，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】
因为，所以，
则，
当且仅当，即时取等号，
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了利用基本不等式求最值问题，其中解答中熟记基本不等式的“一正、二定、三相等”的条件，合理运算是解得的关键，着重考查推理与运算能力.
5．C
【解析】
【分析】
分别利用二元、三元均值不等式可判断①和②的正确性；举特例可判断③是否正确；利用“1”的妙用可判断④的正确性.
【详解】
因，，，，且，于是有：
，当且仅当时取“=”，①正确；
，当且仅当时取“=”，②正确；
时成立，而，③不正确；
，当且仅当时取“=”，而，④正确，
综上得：①②④共三个正确.
故选：C
【点睛】
易错点睛：在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
6．A
【解析】
【分析】
根据已知，结合基本不等式分别判断选项即可，但需注意取最值时的条件.
【详解】
对于选项A，，
当且仅当时取等号，故A正确；
对于选项B，，当且仅当时取等号，故B错误；
对于选项C，，
当且仅当时取等号，故C错误；
对于选项D，，所以，
当且仅当时取等号，故D错误.
故选：A.
【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，
就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，
若忽略了某个条件，就会出现错误．
7．BC
【解析】
【分析】
利用基本不等式构造关于的一元二次不等式，即可求解.
【详解】
解：（当且仅当时，取等号），
即，解得：，又a+b=2时，ab=0，不合题意，
故选：BC
8．BC
【解析】
【分析】
根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假．
【详解】
因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确；
由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；
因为变形可得，设，所以，因此
，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误．
故选：BC．
9．6
【解析】
【分析】
根据给定条件，利用均值不等式计算作答.
【详解】
，则，当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值是6.
故答案为：6
10．16
【解析】
【分析】
利用基本不等式求得的最小值.
【详解】
依题意，
当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查基本不等式求最值，属于基础题.
11．
【解析】
【分析】
首先利用“1”的等价变形，，再利用基本不等式求最小值.
【详解】
，
，
当且仅当，即，解得是等号成立，
所以的最小值是
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是利用“1”的妙用变形：，从而为下面用基本不等式创造条件.
12．
【解析】
【分析】
根据题意有，当且仅当，即时取等号，所以，结合以及两个不等式等号成立的条件可求出的值，从而可求得答案
【详解】
解：由，得，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，其中第一个不等式等号成立的条件为，第二个不等式等号成立的条件为，
所以当取最小值时，，解得
所以点的坐标为，
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：此题考查基本不等式的应用，解题的关键是多次使用基本不等式，但不要忽视每次取等号的条件，考查计算能力，属于中档题
13．（1）7；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题设知，利用基本不等式求最小值，注意等号成立的条件；
（2）利用基本不等式“1”的代换即可求最小值，注意等号成立条件.
【详解】
（1）∵，即，
，
当且仅当，即时取等号，
∴的最小值为7．
，，．
当且仅当，即，时取等号．
∴的最小值为.
14．(1)，时，学生公寓的面积最大，最大值是．
(2)有，最大值为；
【解析】
【分析】
（1）通过，求出．得到矩形的面积为．利用基本不等式求解学生公寓的面积的最大值．
（2）由三角形相似可得，设，，即可得到，再利用基本不等式得到，由矩形的面积为，即可得到学生公寓的面积最大值；
(1)
解：设，依题意知，所以，
即，则．
故矩形的面积为．
，
当且仅当，即时，等号成立．
此时．
故，时，学生公寓的面积最大，最大值是．
(2)
解：由（1）可得，即，同理可得，
设，，所以，即，所以，即，因为的面积为，即，所以，当且仅当，即，时取等号，所以学生公寓的面积有最大值为；
15．（1）；（2）当年产量为9万件时，该扶贫车间的年利润最大，最大年利润为14万元.
【解析】
【分析】
（1）根据题意结合分段函数即可求解；
（2）结合二次函数在固定区间上的最值以及均值不等式即可求出函数的最值.
【详解】
解：（1）每件产品的售价为6元，则万件产品的销售收入为万元.
依题意得，当时，.
当时，.
所以.
（2）当时，，
故当时，取得最大值4.5万元.
当时，，
当且仅当，即时，取得最大值14万元.
所以当年产量为9万件时，该扶贫车间的年利润最大，最大年利润为14万元.
16．（1）最小值为2；（2）最小值为4.
【解析】
【分析】
（1）由已知结合基本不等式，及不等式的性质即可求解；
（2）先进行换元，，然后把代入所求式子，进行合理的变形后结合基本不等式可求．
【详解】
解：（1）因为，
又因为，
所以，
解得，
因为，
所以，
所以，
所以，当且仅当时等号成立，
所以2xy最大值为2；
因为，
所以，当且仅当时等号成立，
所以，
所以最小值为2；
（2），
令，，
所以，
当且仅当，且，
即时等号成立，
所以最小值为4.
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