节节高高中数学北师大版（2019）必修第一册第一章——4.1一元二次函数B（Word版含解析）

节节高高中数学北师大版（2019）必修第一册第一章——4.1一元二次函数B
未命名
一、单选题
1．已知关于的方程的两根分别是，且满足，则的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数，且，是方程的两个根，则，，，的大小关系可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．设函数的定义域为，若满足：①在内是单调增函数；②存在，使得在上的值域为，那么就称是定义域为的“成功函数”.若函数（且）是定义域为的“成功函数”，则的取值范围是
A． B． C． D．
5．已知二次函数，且是偶函数，若满足，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C．由的范围决定 D．由，的范围共同决定
6．a为实数，函数在区间[0，1]上的最大值记为g（a）．当g（a）取得最小值时，（ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
7．已知函数，若对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有，则实数的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
8．若方程的两个根是1和3，则函数（ ）
A．在上单调递减
B．不等式的解集是
C．在上单调递增
D．最小值是
三、填空题
9．已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是________
10．二次函数的最大值是，则_______.
11．已知函数在区间上的最大值为5，最小值为1，则的取值范围是______.
12．已知实数满足，则的最大值为___________.
四、解答题
13．若二次函数的图象的顶点是且经过点，求此二次函数解析式.
14．已知.
（1）不等式恒成立，求实数a的取值范围；
（2）若不等式有解，求实数a的取值范围.
15．如图，直三棱柱中，，，分别为上的点，且
（1）当为的中点时，求证：；
（2）当在线段上运动时（不含端点），求三棱锥体积的最小值.
16．已知函数．
（1）当时，求函数的单调增区间（写出结论即可）；
（2）在（1）的条件下，当时，恒成立，求实数的取值范围．
（3）当，求函数在上的最小值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据韦达定理求解即可.
【详解】
因为关于的方程的两根分别是,故.
故,解得.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了韦达定理的应用,属于基础题.
2．B
【解析】
【分析】
关于的不等式在内有解，等价于在内，然后求出即可
【详解】
解：关于的不等式在内有解，等价于在内，
令，
因为抛物线的对称轴为，
所以当时，取最大值，
所以，
故选：B
3．D
【解析】
根据题意，结合二次函数解析式和零点的定义，可知，，而抛物线开口向上，可得，在两根之外，结合选项即可得出答案.
【详解】
解：由题可知，，并且是方程的两根，
即有，，
由于抛物线开口向上，可得，在两根之外，
结合选项可知A，B，C均错，D正确，如下图.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数的零点的定义以及二次函数的图象与性质，属于基础题.
4．A
【解析】
【分析】
利用成功函数的定义以及对数函数的单调性可构造,再换元利用方程有两个正根进行列式求解即可.
【详解】
因为（且）是定义域为的“成功函数”,
所以为增函数,且在上的值域为,故.
即有两个不相同的实数根.
又,即.令,
即有两个不同的正数根,由零点存在性定理列式得 .
解得
故选：A
【点睛】
不同在于考查了新定义的函数问题以及零点的分布问题,同时也考查了与二次函数相关的复合函数问题,属于中等题型.
5．B
【解析】
【分析】
由是偶函数可得，从而得到函数关于对称，所以，再写出不等式，即可得答案；
【详解】
是偶函数，
，函数关于对称，
，，
或，
故选：B.
【点睛】
本题考查二次函数的性质、一元二次不等式的求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
6．A
【解析】
【分析】
对a分类讨论，分别确定函数在每个区间内的最大值，得到g（a），然后结合函数的单调性确定最终的答案.
【详解】
当时，函数 在[0，1]单调递增，故；
当时，函数 在[0，1]单调递减，此时；
当时，此时 ，
而 ，故；
当时，，，
由解得，
则时，；当时，，
综上所述，，
而 时，的最小值为 ，当时， ，
当时，，
综合上述：当g（a）取得最小值时， ，
故选：A.
7．AD
【解析】
对于区间上的任意两个不相等的实数，，都有，分析即在区间上单调，利用二次函数的单调区间判断.
【详解】
二次函数图象的对称轴为直线，
∵任意且，都有，
即在区间上是单调函数，∴或，
∴或，即实数的取值范围为.
故选：AD
【点睛】
（1）多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．
（2）二次函数的单调性要看开口方向、对称轴与区间的关系．
8．ABD
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象与一元二次方程的根的关系得出二次函数的性质、解析式，判断各选项．
【详解】
方程的两个根是1和3，则函数图象的对称方程是，是开口向上的抛物线，A正确；C错误；
函数的两个零点是1和3，因此B正确；
又，，，即，为最小值，D正确．
故选：ABD．
9．
【解析】
先求得函数的对称轴，要使函数在区间不是单调函数，则必有对称轴在区间内，列不等式解出即可．
【详解】
解：由已知函数的对称轴为，
又函数在区间上不是单调函数，
则必有，解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查二次函数的单调性，关键是要知道二次函数的单调性由对称轴和区间的位置关系确定，是基础题．
10．
【解析】
【分析】
根据已知条件可得出关于实数的等式与不等式，由此可求得实数的值.
【详解】
根据题意，二次函数的最大值是，则，解得.
故答案为：.
11．
【解析】
【分析】
结合二次函数的性质，以及对称轴为x＝2，f（2）＝1，f（0）＝f（4）＝5，分析可得解
【详解】
函数
则对称轴为x＝2，f（2）＝1，f（0）＝f（4）＝5
又∵函数在区间[0，m]上的最大值为5，最小值为1
∴m的取值为[2，4]；
故答案为：
12．5
【解析】
【分析】
利用基本不等式求得的取值范围，注意，分类和讨论可得，然后由二次函数知识得的最大值．
【详解】
，
当时，，当时，，，
所以，时，，时，，
，所以时，．
故答案为：5．
【点睛】
关键点点睛：本题考查求函数的最大值问题，解题关键是用基本不等式确定的范围时，，需要分类讨论才能得出的范围，否则易出错：，得，当然这样做无法求得最大值．
13．
【解析】
【分析】
用待定系数法求二次函数的解析式，可设为一般式，也可设为顶点式，代入相关条件，联立解之即可.
【详解】
解法一：设二次函数解析式为，则其对称轴方程为，且过点，，即，解得
故此二次函数的解析式为：
解法二：由二次函数的图象的顶点是，可设其解析式为，又因为其图象过点，所以，解得.故此二次函数的解析式为，即.
14．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)令，求出在上的最小值即可；
(2)令，求出在上的最大值即可.
【详解】
令，当时，在上单调递减，在上单调递增，
，，
（1）因在恒成立，于是得，
所以实数a的取值范围是；
（2）因不等式在有解，于是得，
所以实数a的取值范围是.
15．（1）见解析； （2）当， 取得最小值，最小值为18.
【解析】
（1）为中点时，平行四边形为正方形，，由已知得，，由此能证明．
（2）设，则，，．到面距离即为的边所对应的，从而即可求解．
【详解】
（1）证明：因为D为的中点，，所以为的中点.
因为三棱柱为直三棱柱，，
所以四边形为正方形，所以.
因为，D为的中点，所以.
因为平面平面，
且平面平面，
所以平面，
又平面，
所以.
因为，所以平面，
又平面，所以.
（2）解：设，则，，．
由已知可得到面距离即为的边所对应的高．
当时，有最小值为18．
【点睛】
本题考查异面直线垂直的证明，考查当为何值时，三棱锥的体积最小，并求出最小体积，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．
16．（1）函数的单调递增区间为、；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）将函数解析式表示为分段函数的形式，即可写出函数的单调递增区间；
（2）由已知可得不等式对任意的恒成立，由基本不等式可求得的最小值，由此可求得实数的取值范围；
（3）对实数的取值进行分类讨论，分析函数在上的单调性，可求得关于的表达式.
【详解】
（1）当时，.
所以，函数的单调递增区间为、；
（2）当时，由可得，
可得，
由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，.
因此，实数的取值范围是；
（3）①当且时，
，
因为，故函数在区间上单调递增，
故；
②当时，，
因为，所以，函数在上单调递减，
在上单调递增，故；
③当时，由（1）可知，，
在上单调递减，此时；
④当且时，且，
所以，函数在上单调递增，在上单调递减，
，故.
综上所述，.
【点睛】
结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
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