节节高高中数学北师大版（2019）必修第一册第一章——4.3一元二次不等式的应用A（Word版含解析）

节节高高中数学北师大版（2019）必修第一册第一章——4.2一元二次不等式的应用A
未命名
一、单选题
1．若不等式ax2+ax﹣1≤0的解集为实数集R，则实数a的取值范围为（　　）
A．0≤a≤4 B．﹣4＜a＜0 C．﹣4≤a＜0 D．﹣4≤a≤0
2．若不等式对任意均成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，） C．[0，] D．[0，）
4．定义，若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知a，b，，若关于x不等式的解集为，则（ ）
A．不存在有序数组，使得
B．存在唯一有序数组，使得
C．有且只有两组有序数组，使得
D．存在无穷多组有序数组，使得
二、多选题
7．下列不等式的解集为R的有（ ）
A．x2＋x＋1≥0 B．x2－2x＋>0
C．x2＋6x＋10>0 D．2x2－3x＋4<1
8．已知，不等式恒成立，则实数的可能取值有（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．不等式的解集为______________．
10．不等式的解集为__________.
11．命题，若“非p”为真命题，则m的取值范围是_________．
12．已知当时，不等式恒成立，则的取值范围为___________.
四、解答题
13．对于,不等式恒成立,求实数m的取值范围.
14．已知关于x的不等式．
（1）当时，解关于x的不等式；
（2）当时，不等式恒成立，求x的取值范围．
15．为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化．如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（阴影部分）均种植宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为300平方米．
(1)若矩形草坪的长比宽至少多5米，求草坪宽的最大值；
(2)若草坪四周的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值．
16．已知关于的不等式.
（1）若不等式的解集是或，求的值；
（2）若不等式的解集是，求的取值范围；
（3）若不等式的解集为，求的取值范围．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
讨论和时，求出不等式的解集为时实数的取值范围．
【详解】
时，不等式化为，解集为实数集；
时，应满足，
所以，
解得；
综上，实数的取值范围是．
故选．
【点睛】
本题考查了含有字母系数的不等式恒成立问题和二次不等式的恒成立问题，是基础题．
2．A
【解析】
【分析】
等价于，再对分类讨论得解.
【详解】
解：原不等式等价于，
①当时，对任意的不等式都成立；
②当时，，所以；
③当时，显然不能成立.
综合①②③，得的取值范围是.
故选：A
3．D
【解析】
【分析】
根据题意将问题转化为二次型不等式恒成立问题，结合对参数的讨论，根据即可求得结果.
【详解】
要满足题意，只需在上恒成立即可.
当时，显然满足题意.
当时，只需，
解得.
综上所述，
故选：.
【点睛】
本题考查二次型不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.
4．D
【解析】
【分析】
首先根据新定义得，再参变分离，转化为求函数的最值.
【详解】
等价于，即，
记，，．
故选：D．
5．B
【解析】
将不等式化简，参变分离，利用换元法构造新函数并求出值域，可得实数a的取值范围．
【详解】
，即
当时，不等式恒成立，；
当时，，则
令，则
即，解得
故选：B
6．D
【解析】
【分析】
根据，不等式转化为一元二次不等式的解的问题，利用两个一元二次不等式解集有交集的结论，得出两个不等式解集的形式，从而再结合一元二次方程的根与系数关系确定结论．
【详解】
由题意不等式的解集为，
即的解集是，
则不等式的解是或，不等式的解集是，
设，，，
所以，，
和是方程的两根，
则，，
又，
所以是的一根，
所以存在无数对，使得．
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：本题考查分式不等式的解集问题，解题关键是转化一元二次不等式的解集，从而结合一元二次方程根与系数关系得出结论．
7．AC
【解析】
【分析】
利用判别式的正负，即可判断选项.
【详解】
A中.满足条件；
B中，解集不为R；
C中，满足条件；
D中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．
故选：AC
8．CD
【解析】
根据，不等式恒成立，分，两种情况利用判别式法求解.
【详解】
因为，不等式恒成立，
所以当时，若不等式恒成立，若无意义；
当时，即或，则 ，
解得 ，
综上： 实数的可能取值有或，
故选：CD
9．或
【解析】
【分析】
由题可得，进而即得.
【详解】
由，得，
所以或，
故不等式得解集为或．
故答案为：或．
10．
【解析】
【分析】
对和讨论，转化为整式不等式即可解得.
【详解】
不等式可化为：
或，
解得：或无解，
所以原不等式的解集为.
故答案为：.
11．．
【解析】
【分析】
写出命题的否定，由命题的否定全称命题且为真命题，结合一元二次不等式恒成立可得．
【详解】
由题意知，命题为假，即恒成立，
所以，所以，所以．
故答案为：．
12．
【解析】
【分析】
将问题转化成关于的函数，则对任意恒成立，只要区间端点的函数值均小于0即可；
【详解】
由题意，因为当时，不等式恒成立，
可转化为关于的函数，
则对任意恒成立，则满足
解得，即的取值范围为.
故答案为：.
13．
【解析】
直接计算函数的得到答案.
【详解】
不妨设,其函数图像是开口向上的抛物线,为了使恒成立,只需对应方程的,即,解得.
故实数m的取值范围为.
【点睛】
本题考查了二次不等式恒成立问题，属于简单题.
14．（1）答案见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）不等式可化为，然后分，，，，五种情况求解不等式；
（2）不等式对恒成立，把看成自变量，构造函数，则可得，解不等式组可求出x的取值范围
【详解】
解：（1）不等式可化为，
当时，不等式化为，解得，
当时，不等式化为，
解得，或；
当时，不等式化为；
①时，，解不等式得，
②时，，解不等式得，
③时，，解不等式得．
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为．
（2）由题意不等式对恒成立，
可设，，
则是关于a的一次函数，要使题意成立只需：
，
解得：，
所以x的取值范围是．
15．(1)15米
(2)864平方米
【解析】
【分析】
（1）根据“矩形草坪的长比宽至少多5米”列不等式，解不等式来求得草坪宽的最大值.
（2）求得绿化面积的表达式，利用基本不等式求得最小值.
(1)
设草坪的宽为x米，长为y米，由面积为300平方米，得，
∵矩形草坪的长比宽至少多5米，∴，
∴，解得，
又，∴，
草坪宽的最大值为15米．
(2)
记整个绿化面积为S平方米，由题意可得
，
当且仅当时，等号成立，
∴整个绿化面积的最小值为864平方米．
16．（1）；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）由题意可知不等式的两根分别为、，利用韦达定理可求得实数的值；
（2）由题意得出，由此可解得实数的取值范围；
（3）由题意得出，由此可解得实数的取值范围.
【详解】
（1）因为不等式的解集是或，
所以，和是方程的两个实数根，且，
由韦达定理得，所以；
（2）由于不等式的解集是，
所以，解得，
因此，实数的取值范围是；
（3）由于不等式的解集为，
则不等式对任意的恒成立，
所以，解得.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查利用一元二次不等式的解求参数，同时也考查了一元二次不等式恒成立，考查计算能力，属于中等题.
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