节节高高中数学北师大版（2019）必修第一册第一章——章末测试A（Word版含解析）

节节高高中数学北师大版（2019）必修第一册第一章——章末测试A
未命名
一、单选题
1．下列计算正确的是
A． B．
C． D．
2．已知全集，集合，，则图中的阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
3．把分解因式为（ ）
A． B．
C． D．
4．若“”是“” 的条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
5．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三二税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何？”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和恰好重1斤，则此人总共持金（ ）
A．2斤 B．斤 C．斤 D．斤
6．已知函数在区间上既没有最大值也没有最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是________
8．，，若且为假命题，则的取值范围是__________.
9． 设，使不等式成立的的取值范围为__________.
10．如图，正方形的边长为1，点为边上一点，将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为___________.
三、解答题
11．先化简，再求值：，其中，.
12．已知函数.
（1）若 ，试求函数的最小值；
（2）对于任意的，不等式成立，试求a的取值范围.
13．中学阶段，对许多特定集合的学习常常是以定义运算（如四则运算）和研究运算律为主要内容．现设集合由全体二元有序实数组组成，在上定义一个运算，记为，对于中的任意两个元素，，规定：．
（1）计算：；
（2）请用数学符号语言表述运算满足交换律，并给出证明；
（3）若“中的元素”是“对，都有成立”的充要条件，试求出元素．
14．已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）当时，恒成立，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
利用完全平方公式及平方差公式检验选项即可.
【详解】
选项A中，，故此选项错误；选项B中，，故此选项错误；选项C中，，正确；选项D中，，故此选项错误.
故选C.
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，属于基础题.
2．D
【解析】
【分析】
阴影部分为集合的补集与集合的交集．
【详解】
由题意，
故选：D.
【点睛】
本题考查集合的运算，考查集合运算的Venn图表示，属于基础题．
3．B
【解析】
【分析】
利用平方差公式即可得到结果．
【详解】
原式＝，
故选：B.
【点睛】
此题考查了因式分解﹣平方差公式法，熟练掌握公式是解本题的关键．
4．A
【解析】
【详解】
由x2-3x+2≠0，推出x≠1且x≠2，因此前者是后者的充分不必要条件．
解答：解：由x2-3x+2≠0，得x≠1且x≠2，能够推出x≠1，
而由x≠1，不能推出x≠1且x≠2；
因此前者是后者的充分不必要条件．
故选A．
5．C
【解析】
设总共持金斤,再根据题意列式求解即可.
【详解】
设总共持金斤,再根据过5关后剩 斤列式计算即可.
由题得.
即
故选：C
【点睛】
本题主要考查了方程列式求解的方法,属于基础题型.
6．D
【解析】
【分析】
要使得函数在区间上既没有最大值也没有最小值，转化为函数在区间为单调函数，结合二次函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
由题意，函数的图象开口向上，对称轴的方程为，
要使得函数在区间上既没有最大值也没有最小值，
可得函数在区间为单调函数，则满足或，
解得或，即实数的取值范围是.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，合理转化是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
7．
【解析】
先求得函数的对称轴，要使函数在区间不是单调函数，则必有对称轴在区间内，列不等式解出即可．
【详解】
解：由已知函数的对称轴为，
又函数在区间上不是单调函数，
则必有，解得，
故答案为：．
【点睛】
本题考查二次函数的单调性，关键是要知道二次函数的单调性由对称轴和区间的位置关系确定，是基础题．
8．
【解析】
化简命题，，转化条件得，中至少有一个为假命题，即可得解.
【详解】
为真时，；为真时，.
“且”为假命题，
，中至少有一个为假命题，
或或，整理得或.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了复合命题真假性的应用，属于基础题.
9．
【解析】
【分析】
通过因式分解，解不等式．
【详解】
，
即，
即，
故的取值范围是．
【点睛】
解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
10．
【解析】
因为正方形的边长为1，所以.由折叠的性质得.连接，在中，由三角形的性质知.因为为定值，所以当，，三点共线时，的值最小，即可得答案；
【详解】
因为正方形的边长为1，所以.由折叠的性质得.
连接，
在中，由三角形的性质知.
因为为定值，所以当，，三点共线时，的值最小，
此时.
所以的最小值为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查线段距离最小问题，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
11．；
【解析】
【分析】
直接利用完全平方公式和平方差公式展开可得解.
【详解】
原式.
当，时，原式.
故答案为；
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式和平方差公式，属于基础题.
12．（1）最小值为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由．利用基本不等式即可求得函数的最小值；
（2）由题意可得不等式成立”只要“在恒成立”．不妨设，则只要在[0，2]恒成立．结合二次函数的图象列出不等式解得即可．
【详解】
解：（1）依题意得.
因为x>0，所以 .
当且仅当，即时，等号成立.
所以.
故当时，的最小值为 .
（2）因为，所以要使得“任意的，不等式成立”，只要“在上恒成立”.
不妨设，
则只要在上恒成立.
所以 即
解得.
所以a的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查了基本不等式的应用，以及恒成立问题等，考查学生的运算求解能力，属于中档题．
13．（1） （2）交换律：，证明见解析 （3）
【解析】
【分析】
（1）根据题中条件，直接计算，即可求出结果；
（2）直接得出，再证明，由题中规定，分别得到与，即可证明结论成立；
（3）根据题意，由（2）的结果，得到只需，根据题中规定，得到只需，分别讨论和两种情况，即可得出结果.
【详解】
（1）因为对于中的任意两个元素，，
规定：．
所以．
（2）交换律：，证明如下：
由题知：，
，
∴．
（3）若中的元素，对，都有成立，
由（2）知只需．
故，即．
①若，显然有成立；
②若，则，解得．
∴当对，都有成立时，得，
易验证当时，对，都有成立，
∴．
【点睛】
本题主要考查新定义下的运算，是类比推理的题型，解决此类问题的关键在于对新定义的理解，属于常考题型.
14．（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）当是，解一元二次不等式求得不等式的解集.
（2）利用判别式列不等式，解不等式求得的取值范围.
【详解】
（1）当时，不等式为，即，
该不等式解集为 .
（2）由已知得，若时，恒成立，
，
即，的取值范围为.
【点睛】
本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查一元二次不等式恒成立问题，属于中档题.
答案第1页，共2页
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