高中数学人教A版（2019）必修第一册第二章——2.1等式性质与不等式性质B（Word版含解析）

高中数学人教A版（2019）必修第一册第二章——2.1等式性质与不等式性质B
未命名
一、单选题
1．在开山工程爆破时，已知导火索燃烧的速度是每秒0.5 cm，人跑开的速度为每秒4 m，为了使点燃导火索的人能够在爆破时跑到100 m以外的安全区，导火索的长度x（cm）应满足的不等式为（ ）
A． B．
C． D．
2．若，，且，，则，，，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
3．实数满足，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．小茗同学的妈妈是吉林省援鄂医疗队的队员，为了迎接凯旋归来的英雄母亲，小茗准备为妈妈献上一束鲜花．据市场调查，已知6枝玫瑰花与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰花与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰花的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是（ ）
A．3枝康乃馨价格高 B．2枝玫瑰花价格高 C．价格相同 D．不确定
5．设为实数，且，则下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知实数x，y满足，，则（ ）
A．1≤x≤3 B．2≤y≤1 C．2≤4x+y≤15 D．xy
二、多选题
7．设，，给出下列不等式恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知，，，则下列等式不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．给出如下四个命题：
①若，则；
②若，则；
③不等式的解集是；
④若，且，则．
其中正确命题的序号为___________（写出所有正确命题的序号）．
10．设，，那么的取值范围是________．
11．某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A元，购买3支康乃馨所需费用为B元，则A、B的大小关系是______________
12．如果a>b，给出下列不等式：
①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.
其中一定成立的不等式的序号是________．
四、解答题
13．（1）已知，求证：；
（2）已知，求证：；
（3）已知，求证：.
14．已知，且，，比较和的大小.
15．设函数.
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若，且存在，使成立，求实数的取值范围.
16．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点，作如下定义：，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.
（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；
（2）设、、、均为正数，且点是点的上位点，请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由；
（3）设正整数满足以下条件：对任意实数，总存在，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【解析】
【分析】
为了安全，则人跑开的路程应大于100米，路程=速度×时间，其中时间即导火索燃烧的时间.
【详解】
导火索燃烧的时间秒，人在此时间内跑的路程为m．
由题意可得．
故选：C.
2．A
【解析】
【分析】
根据不等式的性质判断．
【详解】
因为，，所以，
因为，，所以或，而，，所以．
所以．
故选：A．
3．C
【解析】
【分析】
利用不等式的性质逐一判断即可.
【详解】
A，若，则，故A错误；
B，若，则，故B错误；
C，若，则，
所以，故C正确；
D，若，则，故D错误.
故选：C
4．B
【解析】
【分析】
设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别元，由题意可得：，令，根据待定系数法求得，借助不等式性质即可证得.
【详解】
设1枝玫瑰和1枝康乃馨的价格分别元，由题意可得：，
令，
则，解得：
，
因此.
所以2枝玫瑰的价格高.
故选：B
【点睛】
本题考查不等关系与不等式性质，考查不等式比较大小的问题，属于中档题.
5．D
【解析】
【分析】
题目考察不等式的性质，A选项不等式两边同乘负数要变号；B,C选项可以通过举反例排除；D选项根据已知条件变形可得
【详解】
已知,对各选项逐一判断：
选项A：因为,由不等式的性质，两边同乘负数，不等式变号，可得,所以选项A错误.
选项B：取,,,,则,,此时,所以选项B错误.
选项C：取,,,,则,,此时,所以选项C错误.
选项D：因为,所以,所以,即,所以选项D正确.
故选：D.
6．C
【解析】
【分析】
将已知等式两式相加判断A；由题意可得，解不等式组判断B；由结合已知判断C；由结合已知判断D.
【详解】
∵，，
∴两式相加，得，即1≤x≤4，故A错误；
∵，
∴，解得，故B错误；
∵，又，
∴，故C正确；
∵，又且 ，
∴，故D错误.
故选：C.
7．ACD
【解析】
【分析】
选项A，B可用作差法比较大小；选项C，D可用基本不等式求范围.
【详解】
由可得，故A正确；
由可得，故B错误；
由，当且仅当时取等号，故C正确；
由，
当且仅当，即时取等号，故D正确.
故选：ACD.
8．ABC
【解析】
【分析】
根据题设条件，应用二次函数、不等式的性质及基本不等式判断各选项的正误即可.
【详解】
A：由，则，可得，，故错误；
B：由题设，得：，当且仅当时取等号，此时的最大值为，故错误；
C：由，当且仅当时取等号，故错误；
D：若，又，解得，显然满足条件，故正确.
故选：ABC．
9．①②④
【解析】
【分析】
直接利用不等式的性质，分式不等式的解法的应用判断①②③④的结论．
【详解】
解：对于①若，故，则；故①正确；
对于②若，则；故②正确
对于③不等式整理得：，故，得，故③错误；
对于④由，得，因为，所以，故④正确，
故答案为：①②④．
10．
【解析】
【分析】
根据不等的性质，即可求出结果.
【详解】
因为，，
所以，，
∴.
故答案为：.
【点睛】
本题主要考查不等式性质的应用，属于基础题型.
11．A>B
【解析】
【分析】
设每支支玫瑰x元，每支康乃馨y元，则，
由题意可得：，代入可得：，根据不等式性质，联立即可得解.
【详解】
设每支支玫瑰x元，每支康乃馨y元，
则，
由题意可得：，
代入可得：，
根据不等式性质可得：，
而，可得,
故，
故答案为：.
【点睛】
本题考查了利用不等式解决实际问题，考查了不等式性质，同时考查了转化思想和计算能力，属于中档题.
12．②⑥
【解析】
【分析】
对分别赋值，然后对各个不等式进行排除，对于无法排除的选项利用函数的单调性和差比较法证明成立.
【详解】
令，，排除①，，排除③选项，，排除⑤.当时，排除④.由于幂函数为上的递增函数，故，②是一定成立的.由于，故.故⑥正确.所以一定成立的是②⑥.
【点睛】
本小题主要考查实数比较大小，使用的方法较多，一个是特殊值比较法，也就是对问题中的举出一些具体的数值，然后对不等式的正确与否进行判断.第二个是用函数的单调性的方法来比较，即是如果要比较的两个数和某个函数有点接近，如本题中②，用幂函数的单调性来判断.第三个是用差比较法来判断，如本题中的⑥.
13．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据不等号左右两边同时乘以一个负数,不等号方向改变得到 ,
再用同向可加性法则即可得出结果.
（2）根据正数的倒数大于0可得,再用同向同正可乘性得出结果.
（3）因为，根据（2）的结论，得,再用同向同正可乘性得出结果.
【详解】
证明：（1）因为，所以.
则.
（2）因为，所以.
又因为，所以
，
即，因此.
（3）因为，根据（2）的结论，得
.
又因为，
则 ，
即.
【点睛】
本题考查不等式的基本性质与不等关系,是基础题.
14．只要且，都有.
【解析】
【分析】
利用作差法结合指数函数的性质比较大小即可
【详解】
.
，.
①当时，，，.
，即.
②当时，，，
仍有，即有.
综上所述，只要且，都有.
15．（1）；（2）.
【解析】
（1）由不等式的解集得相应二次方程的两根，由韦达定理可求得；
（2）由得，问题可转化为存在，使得成立.，不等式可以成立，时由二次不等式有解可得的范围．
【详解】
解：（1）由题意可知：方程的两根是，1
所以
解得
（2）由得
存在，成立，即使成立，
又因为，代入上式可得成立.
当时，显然存在使得上式成立；
当时，需使方程有两个不相等的实根
所以
即
解得或
综上可知的取值范围是．
【点睛】
关键点点睛：本题考查一元二次不等式的解集，解题关键是掌握“三个二次”的关系．对一元二次不等式的解集，一元二次方程的根，二次函数的图象与性质的问题能灵活转化，熟练应用．解题中注意不等式的解区间的端点处的值是相应二次方程的根，是二次函数图象与轴交点横坐标．
16．（1）一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为（答案不唯一，符合题意即可）；（2）是，证明见解析；（3）.
【解析】
（1）由上位点、下位点的概念即可得解；
（2）由上位点、下位点的概念结合作差法即可得证；
（3）结合（2）中结论，可得，，再证明当时不合题意即可得解.
【详解】
（1）由题意点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为；
（2）是，证明如下：
点是点的“上位点”，，，
，
，点是点的“下位点”，
，
点是点的“上位点”；
点既是点的“下位点”又是点的“上位点”；
（3）若正整数满足条件：在时恒成立，
由（2）中的结论可知，，时满足条件，
若，
由于存在的情况，
则不恒成立，
因此，的最小值为.
【点睛】
本题考查了新定义的应用及利用作差法比较两数的大小关系，解题的关键是对题中新定义的理解，考查了分析问题和解决问题的能力，属于中档题.
答案第1页，共2页
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