高中数学人教A版（2019）必修第一册第二章——2.2基本不等式A（Word版含解析）

高中数学人教A版（2019）必修第一册第二章——2.2基本不等式A
未命名
一、单选题
1．若x＞2，则函数的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．已知，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知正数a，b满足，则的最小值等于（ ）
A．4 B． C．8 D．9
4．已知，且，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5．若正数，满足，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．若，则下面结论正确的有（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．若，则有最大值
二、多选题
7．给出下列条件：①ab＞0；②ab＜0；③a＞0，b＞0；④a＜0，b＜0，其中能使成立的条件有（ ）
A．① B．②
C．③ D．④
8．下列命题成立的是（ ）
A．若，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，则
三、填空题
9．正实数 满足：，则的最小值为_____.
10．已知、，且，则的最大值是_________.
11．已知正数满足，则的最大值为____.
12．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_______．
四、解答题
13．已知，都是正数.求证：
；
14．已知，，，求证：
(1)；
(2).
15．（1）已知，求函数的值域；
（2）已知，，且，求：的最小值．
16．已知正数满足．
（1）求的最大值；
（2）求的最小值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】
直接由利用基本不等式求最值即可.
【详解】
∵x＞2，∴x﹣2＞0，
∴，当且仅当，即x＝4时取等号，
∴函数的最小值为6.
故选：D.
2．C
【解析】
【分析】
利用基本不等式即可求解.
【详解】
，
当且仅当，即时取等号.
所以的最大值为.
故选：C
3．D
【解析】
【分析】
整理得出，进而得，结合基本不等式即可.
【详解】
因为，
所以，
所以，
所以，
当且仅当，即时等式成立，
故选：D．
4．D
【解析】
【分析】
先化简，由，结合基本不等式，求得，进而求得的最大值.
【详解】
由，可得，
又由，可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以，即的最大值为.
故选：D.
5．C
【解析】
【分析】
由配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得结果.
【详解】
（当且仅当，即时取等号），
的最小值为.
故选：C.
6．B
【解析】
【分析】
对于选项ABD利用基本不等式化简整理求解即可判断，对于选项C取特值即可判断即可.
【详解】
对于选项A：若，
由基本不等式得，即，
当且仅当时取等号；所以选项A不正确；
对于选项B：若，
，
，
当且仅当且，
即时取等号，所以选项B正确；
对于选项C：由，
，
即，
如时，，所以选项C不正确；
对于选项D：，当且仅当时取等
则有最大值，所以选项D不正确；
故选：B
7．ACD
【解析】
由均值不等式的前提需“一正、二定，三相等”，能使成立，则需，同号，再逐一判断即可得解.
【详解】
解由均值不等式的前提需“一正、二定，三相等”，
即当，均为正数时，
可得，
此时只需，同号即可，
所以①③④均满足要求.
故选：ACD.
【点睛】
易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
8．ACD
【解析】
【分析】
利用不等式的性质判断A的正误，作差法比较的大小判断B的正误，由，应用均值不等式即可判断C的正误，由，结合已知条件即可判断D的正误.
【详解】
A：由题设知：，而，则有，正确；
B：，显然当时成立，当时成立，错误；
C：由，，则，当且仅当时等号成立，正确；
D：，，而，即，故，正确.
故选：ACD.
9．9
【解析】
根据题意，可得，然后再利用基本不等式，即可求解.
【详解】
，当且仅当 时取等号．
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题．
10．
【解析】
【分析】
利用基本不等式可求得的最大值.
【详解】
因为、，由基本不等式可得，得，
当且仅当，即，时，等号成立.
因此，的最大值是.
故答案为：.
11．
【解析】
【分析】
先根据条件结合基本不等式求解出，然后利用基本不等式可求的最大值.
【详解】
因为，所以，即；
因为，所以，当且仅当时，等号成立，
解得；
所以，当且仅当时，即时，
取到最大值.
故答案为：.
12．
【解析】
【分析】
由基本不等式求得的最小值，然后解相应的不等式可得的范围．
【详解】
∵，，且，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值为8，
由解得，
∴ 实数的取值范围是
故答案为：．
【点睛】
方法点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题第一步是利用基本不等式求得的最小值，第二步是解不等式．
13．证明见解析；证明见解析.
【解析】
【分析】
运用基本不等式：（当且仅当时取得等号），即可求证；
运用基本不等式和不等式的基本性质即可求证.
【详解】
解：证明：由，都是正实数，可得（当且仅当时取得等号）；
证明：由基本不等式可知
，（当且仅当时取得等号）.
【点睛】
本题考查不等式的证明，运用基本不等式，考查化简推理的能力，属于基础题.
14．(1)证明见详解；
(2)证明见详解．
【解析】
【分析】
（1）由题意，因为，利用基本不等式，求得，进而得到，即可得到证明；
（2）由，化简可得，根据，即可证明．
（1）由题意，因为，且，所以，当且仅当时，取“=”，所以，所以．
（2）由，所以，，所以，所以，所以，所以．
15．（1）；（2）18．
【解析】
【分析】
（1）设，得到，且，化简，结合基本不等式（对勾函数法），即可求解；
（2）由，得到，化简，结合基本不等式（“1”的妙用），即可求解.
【详解】
（1）设，因为，可得，且，
故，
因为，可得，当且仅当时，即时，等号成立．
所以函数的值域为．
（2）由，可得，即，
则．
当且仅当，即且时，等号成立，
所以的最小值为．
16．（1）（2）
【解析】
【分析】
（1）根据基本不等式，求的最大值；
（2）利用，展开求式子的最小值.
【详解】
（1），
，
，
当时等号成立，
的最大值是；
（2） ，
等号成立的条件是
，解得：，，
所以，当，时，的最小值是.
【点睛】
本题考查根据基本不等式乘积的最大值和求和的最小值，意在考查公式的熟练掌握，以及转化与计算能力，属于基础题型.
答案第1页，共2页
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