高中数学人教A版（2019）必修第一册第二章——2.2基本不等式B（Word版含解析）

高中数学人教A版（2019）必修第一册第二章——2.2基本不等式B
未命名
一、单选题
1．函数的最小值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．设，，则下列不等式中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知a>b>c，若恒成立，则m的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．9
4．已知，且，不等式恒成立，则正实数的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
5．若两个正实数，满足，且恒成立，则实数的取值范围是　　
A．， B．，
C． D．
6．关于的不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．设正实数、满足，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值为
8．已知正实数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．已知，且，则的最小值为___________.
10．已知点在线段上运动，则的最大值是____________．
11．已知，，且，若恒成立，则实数的取值范围是_______．
12． 设，，，则的最小值为__________.
四、解答题
13．已知a，，求证：．
14．已知，满足.
（1）求证：；
（2）现推广：把的分子改为另一个大于1的正整数，使对任意恒成立，试写出一个，并证明之.
15．中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体的报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元，设屋子的左右两面墙的长度均为x米.
(1)当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元（a>0）；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（报价低的工程队中标），求a的取值范围.
16．已知函数.
（1）当，解不等式；
（2）求证：
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
利用基本不等式可求函数的最小值.
【详解】
因为，所以，，利用基本不等式可得
，
当且仅当即时等号成立.
故选：D.
2．B
【解析】
【分析】
根据题中条件，由基本不等式，逐项判断，即可得出结果.
【详解】
因为，，
所以，当且仅当且，即时取等号，故A正确．
因为，所以，当且仅当时取等号，故B错误．
因为，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，所以，即，故C正确．
因为，当且仅当时取等号，故D正确；
故选：B.
【点睛】
本题主要考查由基本不等式判断所给不等式是否正确，属于常考题型.
3．D
【解析】
【分析】
由，知，，，由，得，结合基本不等式求出的最小值，得到m的最大值．
【详解】
由，知，，，
由，得，
又，
，当且仅当，
即时，取得最小值9，
，的最大值为9．
故选：．
4．D
【解析】
【分析】
根据题意，结合基本不等式计算的最小值，即可求解.
【详解】
由题意得
，
当且仅当时取等号．因此，结合，可知．
则符合条件，因此正实数的取值范围是.
故选：D．
5．D
【解析】
【分析】
由题意和基本不等式可得的最小值，再由恒成立可得的不等式，解不等式可得范围．
【详解】
正实数，满足，
，
当且仅当即且时取最小值8，
恒成立，，
解关于的不等式可得
故选：．
【点睛】
本题考查基本不等式求最值，涉及恒成立问题和不等式的解法，属中档题．
6．D
【解析】
【分析】
由题意可知，是不等式解集的一个真子集，然后对与的大小关系进行分类讨论，求得不等式的解集，利用集合的包含关系可求得实数的取值范围.
【详解】
由题可知是不等式的解集的一个真子集.
当时，不等式的解集为，此时 ；
当时，不等式的解集为，
，合乎题意；
当时，不等式的解集为，
由题意可得 ，此时.
综上所述，.
故选：D.
【点睛】
本题考查利用充分不必要条件求参数，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于中等题.
7．ABD
【解析】
【分析】
利用不等式的性质以及指数函数的性质可判断A选项的正误，利用基本不等式可判断BCD选项的正误.
【详解】
对于A选项，因为正实数、满足，则，
，故，A对；
对于B选项，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，B对；
对于C选项，由基本不等式可得，
因为，故，当且仅当时，等号成立，C错；
对于D选项，，
可得，当且仅当时，等号成立，D对.
故选：ABD.
8．ACD
【解析】
【分析】
根据特殊值判断B，利用判断A，利用换“1”法判断C，变形后利用基本不等式判断D.
【详解】
对于，当时，满足，此时，错误；
对于，，则，变形可得，当且仅当时等号成立，正确；
对于，，变形可得，则有，当且仅当时等号成立，正确；
对于，，当且仅当时等号成立，正确；
故选：ACD
9．
【解析】
【分析】
首先根据题意得到，再利用基本不等式求解即可.
【详解】
由得，
所以，
当且仅当，即，时取等号.
故答案为：
10．
【解析】
【分析】
直接利用基本不等式计算可得；
【详解】
解：由题设可得：，即，
∴，即，当且仅当时取“=”，
故答案为：．
【点睛】
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．
11．
【解析】
【分析】
由基本不等式求得的最小值，然后解相应的不等式可得的范围．
【详解】
∵，，且，
∴，
当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值为8，
由解得，
∴ 实数的取值范围是
故答案为：．
【点睛】
方法点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题第一步是利用基本不等式求得的最小值，第二步是解不等式．
12．.
【解析】
【分析】
把分子展开化为，再利用基本不等式求最值．
【详解】
由，得，得
，
等号当且仅当，即时成立．
故所求的最小值为．
【点睛】
使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立．
13．见解析
【解析】
【分析】
展开并运用基本不等式即可得证.
【详解】
，当且仅当即时等号成立.
【点睛】
本题考查基本不等式的应用，属于基础题.
14．（1）证明见解析；（2），证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）由分析法，只需证明即可, 利用基本不等式即可证明.
（2）只需，左边，进而可得结果.
【详解】
（1）由于，所以，，，
要证，
只需证明.
左边
（2）要使，只需，
左边，
所以只需即可，即，所以可以取，3代入上面过程即可.
15．(1)当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低
(2)
【解析】
【分析】
（1）设总造价为元，列出．利用基本不等式求解函数的最值即可．
（2）由题意可得，对任意的，恒成立，参变分离可得恒成立，即，利用基本不等式求解函数的最值即可．
(1)
解：设甲工程队的总造价为y元，依题意左右两面墙的长度均为米，则屋子前面新建墙体长为米，
则
因为.
当且仅当，即时等号成立.
所以当时，，
即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元.
(2)
解：由题意可得，对任意的恒成立，
即，从而，即恒成立，
又.
当且仅当，即时等号成立.
所以.
16．（1）（2）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用零点分段法，对分三种情况讨论，分别解不等式，即可得答案；
（2）当时，不等式显然成立； 当时， ， 再证明左边的最大值小于等于右边的最小值即可.
【详解】
（1）当，不等式为，
当时，，不符合题意；
当时，，解得，故此时；
当时，，符合题意，故此时，
综上，原不等式的解集为．
（2）当时，不等式显然成立；
当时，要证 即证，
因为，
当且仅当，等号成立．
而，当且仅当等号成立，
所以成立．
所以．
【点睛】
本小题以含绝对值函数为载体，考查绝对值不等式的解法、绝对值不等式的证明等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力，考查分类与整合的思想，转化与化归的思想，体现基础性与综合性，导向对发展逻辑推理、数学运算、直观想象等核心素养的关注．
答案第1页，共2页
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