高中数学人教A版（2019）必修第一册第二章——2.3二次函数与一元二次方程、不等式A（Word版含解析）

高中数学人教A版（2019）必修第一册第二章——2.3二次函数与一元二次不等式、方程A
未命名
一、单选题
1．一元二次方程的解集为（ ）．
A．
B．
C．
D．
2．如图在同一个坐标系中函数和（）的图象可能的是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
5．若不等式组的解集非空，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．若“”是“”的充分不必要条件，则实数k不可以是（ ）
A． B． C．1 D．4
二、多选题
7．关于不等式的解集，下列判断正确的是（ ）
A．不等式的解集为 B．不等式的解集为
C．不等式的解集为 D．不等式的解集为
8．已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．已知写出解集为的一个一元二次不等式______.
10．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_______.
11．若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是________.
12．已知，，若对任意，不等式恒成立，则的最小值为___________．
四、解答题
13．关于x的不等式的解集是，求实数a的值．
14．已知关于x的不等式．
（1）当时，解关于x的不等式；
（2）当时，不等式恒成立，求x的取值范围．
15．已知函数.
（1）解关于的方程；
（2）设函数，若在上的最小值为，求的值.
16．在①，
②，
③
这三个条件中任选一个补充到下面的问题中，求实数a的取值范围.
已知，_________，且p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
求出方程的根，再用列举法表示即可
【详解】
原式化为，∴或，解得或，
∴方程的解集为，
故选：A
2．D
【解析】
【分析】
根据题意，分与两种情况讨论，结合一次函数、二次函数的图像和系数关系，分析选项可得答案.
【详解】
解：由题意得：
当时，函数开口向上，顶点在原点，而的图像过一、三、四象限；
当时，函数开口向下，顶点在原点，而的图像过二、三、四象限；
故选：D
3．C
【解析】
【分析】
根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求出b、c与a的关系，代入所求不等式，求出解集即可．
【详解】
一元二次不等式的解集为，
所以，是方程的两个根，
所以，，
即，，则，
可知其解集为，
故选：C．
4．B
【解析】
将不等式化简，参变分离，利用换元法构造新函数并求出值域，可得实数a的取值范围．
【详解】
，即
当时，不等式恒成立，；
当时，，则
令，则
即，解得
故选：B
5．A
【解析】
【分析】
分别解出两个不等式的解，再根据集合交集的概念求解．
【详解】
由题意，∴，即，解得．
故选：A．
【点睛】
本题考查不等式组的解，考查集合的交集运算，属于基础题．
6．B
【解析】
【分析】
分别解一元二次不等式并根据充分不必要条件的集合关系得是的真子集，进而得或，再依次讨论各选项即可.
【详解】
解：解不等式，得 ．
解不等式得 或．
“”是“”的充分不必要条件，
∴ 是的真子集，
∴ 或，解得：或，
则实数可以是ACD.
故选：B
7．BCD
【解析】
解一元一次不等式、一元二次不等式和分式不等式求得解集即可判断各选项正误.
【详解】
对于A，由得：，即解集为，A错误；
对于B，解不等式得：，即解集为，B正确；
对于C，由知：无解，即解集为，C正确；
对于D，由得：，即解集为，D正确.
故选：BCD.
8．BCD
【解析】
【分析】
对A，根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断；对B，C，利用韦达定理即可判断；对D，根据韦达定理以及，即可求解.
【详解】
解：对A，不等式的解集为，
故相应的二次函数的图象开口向下，
即，故A错误；
对B，C，由题意知： 和是关于的方程的两个根，
则有，，
又，故，故B，C正确；
对D，，
，
又，
，故D正确.
故选：BCD.
9．x2-2x-2<0（答案不唯一）
【解析】
【分析】
由二次不等式的解与二次方程根的关系即可得解.
【详解】
对于不等式 而言，若解集为
则一元二次方程的两个根为和，
那么，
设a=1，则b=-2，c=-2，所以不等式为x2-2x-2<0.
故答案为：x2-2x-2<0（答案不唯一）
10．
【解析】
【分析】
由一元一次不等式的解集可确定且，将所求不等式转化为，解一元二次不等式可求得结果
【详解】
的解集是，且，
由得：，
，解得：，
不等式的解集为.
故答案为：.
11．或
【解析】
【分析】
分别讨论和，利用不等式的解集不是空集，解出的取值范围.
【详解】
解：若，则原不等式等价为，此时不等式的解集为空集，所以不成立，即.
若，要使不等式的解集不是空集，
则①若，有，解得.
②若，则满足条件.
综上所述，满足条件的的取值范围是或.
故答案为：或.
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的基本解法，属于基础题.
12．
【解析】
【分析】
考虑两个函数，，由此确定，时，，有相同的零点，得出的关系，检验此时也满足题意，然后计算出（用表示），然后由基本不等式得最小值．
【详解】
设，，
图象是开口向上的抛物线，因此由时，恒成立得，
时，，时，，时，，
因此时，，时，，，
所以①，②，
由①得，代入②得，因为，此式显然成立．
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是．
故答案为：．
【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式求最值．解题关键是引入两个函数和，把三次函数转化为二次函数与一次函数，降低了难度．由两个函数的关系得出参数的关系，从而可求得的最小值．
13．．
【解析】
【分析】
易知，则原不等式等价于．由于原不等式的解集是，由此可知 ，求解方程，即可求出结果.
【详解】
显然，不符合条件，则原不等式等价于．由于原不等式的解集是，
因此设关于x的方程，
可知且，，
故，得．
14．（1）答案见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）不等式可化为，然后分，，，，五种情况求解不等式；
（2）不等式对恒成立，把看成自变量，构造函数，则可得，解不等式组可求出x的取值范围
【详解】
解：（1）不等式可化为，
当时，不等式化为，解得，
当时，不等式化为，
解得，或；
当时，不等式化为；
①时，，解不等式得，
②时，，解不等式得，
③时，，解不等式得．
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为或，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为，
时，不等式的解集为．
（2）由题意不等式对恒成立，
可设，，
则是关于a的一次函数，要使题意成立只需：
，
解得：，
所以x的取值范围是．
15．（1）；（2）或．
【解析】
【分析】
（1）利用平方差公式，方程等价于，再解对数方程即可；
（2）对解析式化简，可得，令，则，，转化为关于的二次函数，再根据函数的定义域，讨论对称轴和定义域的关系，求函数的最小值，即可求得的值．
【详解】
解：（1）∵．
∴由方程可得，
∴，∴，
∴方程的解集为；
（2）∵，
∴函数
，
令，则，
所以，，
①当时，在上的最小值为，即，解答或（舍）；
②当时，在上的最小值为，即，解答或（舍）；
③当时，在上的最小值为，
综上，的值为或．
【点睛】
关键点点睛：在解决第二问时对原函数化简，然后再在采用换元法将原问题转化为关于的二次函数在特定区间上的最值问题，这是解决该问题的关键点和突破点.
16．答案见解析.
【解析】
【分析】
先解出p对应的x的范围即为集合A,把q对应的x的范围即为集合B.根据题意分析只需BA.分别在选条件①②③时，根据BA列不等式组，求出a的取值范围.
【详解】
由命题，得到，规定集合.设q对应的x的范围即为集合B.
因为p是q的必要不充分条件，所以BA.
选条件①.
由可解得：.
因为BA，只需解得：，
当时，，有BA；
当时，，有BA；
即实数a的取值范围为.
选条件②，
由可解得：.
因为BA，只需解得：，
当时，，有BA；
当时，，有BA；
即实数a的取值范围为.
选条件③.
由可解得：.
因为BA，只需解得：，
当时，，有BA；
即实数a的取值范围为.
答案第1页，共2页
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