专题：直线对称性问题 学案(word含解析）
文档属性
| 名称 | 专题：直线对称性问题 学案(word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 247.3KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-12 12:32:57 | ||
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文档简介
直线对称性问题
一、知识点
点关于点成中心对称
若点M(x1,y1)关于点P(a,b)的对称点为N，则由中点坐标公式得N(2a-x1,2b－y1)；
点关于直线对称(抓住“垂直”和“平分”)
若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则①线段P1P2的中点在直线l上，②直线P1P2⊥直线l，即由方程组可得P2的坐标(x2,y2)(其中B≠0，x1≠x2)；
直线关于点对称
若已知直线l,求直线l关于点M(m,n)对称的直线方程l’：
(1)转移法：可设l’上任一点N(x,y)关于M(m,n)对称点T’,则N’(2m-x,2n-y)必在直线l上，代入得A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.
(2)特殊点法：可在已知直线上任取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的点的坐标，再由两点式求出所求直线方程；
(3)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程 .
直线关于直线成轴对称
设直线l1关于直线l的对称直线l2.
(1)直线l1，l2，l三条直线交于一点，设交点为A，再在直线l1上任取一点P1(异于点A)，求出点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点P2即可求出直线l2的方程；
(2)当l1//l2//l时，借助两直线平行所满足的条件设出对称直线l2的方程，再利用两平行直线间的距离公式列出方程，解得直线l2方程中的常数项，从得l2的方程.
5．六种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点P(a,b)的对称点为(2a-x1,2b－y1).
(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
典型例题
(一)、常见对称问题
【例1】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．
(1)求点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
(3)求直线l关于点A(－1，－2) 对称的直线l′的方程．
【解】:(1)设A′(x，y)，由已知得,解得,所以A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在m′上．
设对称点为M′(a，b)，则,解得M′.
设m与l的交点为N，则由,得N(4,3)．
又因为m′经过点N(4,3)，所以由两点式得直线m′方程为9x－46y＋102＝0.
(3)解：设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，
因为P′在直线l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
、光的反射问题
【例2】一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程．
【解】：如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，
由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得,解得,
所以A的坐标为(4,3)．
因为反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，A，P两点纵坐标相等，故反射光线所在直线的方程为y＝3.
联立,解得,
由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y＝3.
由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，
由A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
(三)、有关最值问题
【例3】在直线l：3x―y―1=0上求一点P，使得：
(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；
(2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小．
【解】：设B关于l的对称点为B’，AB’与l的交点P满足(1)；设C关于l的对称点为C’，AC’与l的交点P满足(2)．
事实上，对(1)，若P’是l上异于P的点，则
|P’A|-|P’B|=|P’A|-|P’B’|<|AB’|=|PA|-|PB’|=|PA|-|PB|；
对于(2)，若P’是l上异于P的点，则|P’A|+|P’C|=|P’A|+|P’C’|>|AC’|=|PA|+|PC|．
(1)如图1所示，设点B关于l的对称点B’的坐标为（a，b），
=-1，即，所以a+3b－12=0． ①
又由于BB＇的中点坐标为，且在直线l上，
所以，即3a―b―6=0． ②
解①②得a=3，b=3，所以B＇（3，3）．
于是直线AB’的方程为，即2x+y－9=0．
解由l的直线方程与AB’的直线方程组成的方程组得x=2，y=5，即l与AB’的交点坐标为(2，5)，
所以P(2，5)．
如图2所示，设C关于l的对称点为C’，求出C’的坐标为．
所以AC’所在直线的方程为19x+17y―93=0．AC’和l交点坐标为P．
故P点坐标为．
【总结】
由平面几何知识（三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边）可知，要在直线l上求一点，使这点到两定点A、B的距离之差最大的问题，若这两点A、B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A、B两点位于直线l的异侧，则先求A、B两点中某一点（如A）关于直线l的对称点A＇，再求直线A＇B的方程，再求它们与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A、B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．
三、巩固练习
1．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
A．4 B. C. D.
点P(―1，1)关于直线ax―y+b=0的对称点是Q(3，―1)，则a、b的值依次是( )
A．―2，2 B．2，―2 C．， D．，
3．若点A(2，4)与点B关于直线l：x-y+3＝0对称，则点B的坐标为( )
A．(5，1) B．(1，5) C．(﹣7，﹣5) D．(﹣5，﹣7)
4．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为( )
A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0 C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0
5．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
A．2x＋3y＋7＝0 B．3x－2y＋2＝0 C．2x＋3y＋8＝0 D．3x－2y－12＝0
6．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为( )
A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0 C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
7．与直线4x―3y+5=0关于x轴对称的直线方程为( )
A．4x+3y+5=0 B．4x―3y+5=0 C．4x+3y―5=0 D．4x―3y―5=0
8．与直线l：2x﹣3y+1＝0关于y轴对称的直线的方程为( )
A．2x+3y+1＝0 B．2x+3y﹣1＝0 C．3x﹣2y+1＝0 D．3x+2y+1＝0
9．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为( )
A． B． C．4 D．8
10．已知从点A（6，1）射出的光线经直线x+y+1＝0上的点M反射后经过点B(3，2)，则|AM|+|BM|＝( )
A． B． C． D．
11.一束光线从点P(2，9)射向y轴上一点A，又从点A以y轴为镜面反射到x轴上一点B，该光线经过点Q(3，3)，则该光线从P点运行到Q点的距离为( )
A． B．13 C． D．12
12．已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为( )
A．6 B．3 C. D.
13．如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A． B．6 C． D．2
14.在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3,4)，则|MA|＋|AB|＋|BM|的最小值是( )
A．10 B．11 C．12 D．13
15．直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是________．
16．直线3x﹣4y+5＝0关于直线x+y＝0对称的直线方程为 ．
17．直线l1：2x﹣y﹣1＝0关于直线l：x﹣y+1＝0对称的直线l2的方程是 ．
18．一条光线从点A(3,2)发出，到x轴上的M点后，经x轴反射通过点B(－1,6)，则反射光线所在直线的斜率为________．
19.若光线从点P(﹣3，3)射到y轴上，经y轴反射后经过点Q(﹣1，﹣5),则光线从点P到点Q走过的路程为________.
20．已知直线通过点M（―3，4），被直线l：x―y+3=0反射，反射光线通过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程是________．
21.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(﹣2，0)重合，且点(2007，2008)与点(m，n)重合，则m﹣n的值为_______.
22．已知三角形的一个顶点A(4,-1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：x－y－1=0和l2：x－1=0，则BC边所在直线的方程为________．
23.已知点A(1,3)，B(5，－2)，点P在x轴上，则使|AP|－|BP|取最大值的点P的坐标是______
24．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|取最小值，则点M的坐标为________．
25.一条光线从点A(－4，－2)射出，到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1，6)．求BC所在直线的方程．
26．已知点A(﹣1，0)和点B关于直线l：x+y﹣1＝0对称．
（1）若直线l1过点B，且使得点A到直线l1的距离最大，求直线l1的方程；
（2）若直线l2过点A且与直线l交于点C，△ABC的面积为2，求直线l2的方程．
27．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．
四、答案与解析
1.【解】：根据中点坐标公式得,解得.
所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离.故选:D
2.【解】：点P(―1，1)，关于直线ax―y+b=0的对称点是Q(3，―1)，
所以PQ的中点为(1，0)，．所以 ，解得：a=2，b=－2．故选：B．
3.【解】：设B(a，b)，因为点A(2，4)与点B关于直线l：x-y+3＝0对称，
所以，解得a＝1，b=5,所以点B的坐标为(1，5)．故选：B．
4.【解】：设A(a，b)，则，解得,所以A(－1,1)．
设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，
又，所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.故选：B
5.【解】：因为直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线斜率不变，
所以设对称后的直线方程l′为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，
又点(1，－1)到两直线的距离相等，
所以＝，化简得|c－1|＝7，解得c＝－6(舍去)或c＝8，
所以l′的方程为2x＋3y＋8＝0，故选：C.
6.【解】：由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋y－1＝0.
令,可得,所以M(－3,1)．
设所求对称直线上任意一点为P(x，y)，则点P关于点M的对称点为N(－6－x,2－y)，
由题意点N在直线2x＋3y－6＝0上，所以2(－6－x)＋3(2－y)－6＝0，即2x＋3y＋12＝0，故选:D.
7.【解】:直线4x―3y+5=0的斜率为，与x轴的交点为，
故与直线4x―3y+5=0关于x轴对称的直线的斜率为，且经过点，
故要求的直线方程为，化简可得4x+3y+5=0，故选：A．
另解：点(x,y)关于x轴对称点为(x,-y)，故以-y代y可得4x+3y+5=0.
8.【解】：点(x,y)关于x轴对称点为(-x,y)，以-x代x可得：2x+3y﹣1＝0，故选：B．
9.【解】：因为f(x)＝＋＝+，
所以f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和，
设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′，
则A′(－2，－4)．要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|＋|MB|的最小值，
利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝，
即f(x)＝＋的最小值为.答案：B
10.【解】：设点A（6，1）关于直线x+y+7＝0的对称点A'（a，b),
则，解得a＝﹣2，b=-7,所以A'(﹣2，﹣7)，
因为反射光线经过点B(3，2)，所以|AM|+|BM|＝|A'B|＝．故选：B．
11.【解】：如图，点P(2,9)关于y轴对称的点为p’(-2,9)，点Q(3,3)关于x轴对称的点为Q′(3，-3),
则该光线从P点运行到Q点的距离为．故选：B．
12.【解】：结合图形可知，直线l1∥l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离
即为l1与l3之间的距离，由题意知，l1与l2关于x轴对称，
故l2的方程为y＝－2x＋3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y＝2x＋3，
即2x－y＋3＝0，又直线l1的方程为：2x－y－3＝0，
由两平行线间的距离公式得l1与l3间的距离d＝，
即点P到直线l3的距离为，故选C.
13.【解】：直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝.
14.【解】：如图，设点M(3,4)关于y轴的对称点为P(－3,4)，关于x轴的对称点为Q(3，－4)，
则|MB|＝|PB|，|MA|＝|AQ|.
当A与B重合于坐标原点O时，|MA|＋|AB|＋|BM|＝|PO|＋|OQ|＝|PQ|＝＝10；
当A与B不重合时，|MA|＋|AB|＋|BM|＝|AQ|＋|AB|＋|PB|>|PQ|＝10.
综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，|MA|＋|AB|＋|BM|取得最小值，
最小值为10.答案 A
15.【解】:法一：设P(x，y)为所求直线上的点，该点关于直线x＝1的对称点为(2－x，y)，且该对称点在直线x－2y＋2＝0上，代入可得x＋2y－4＝0.
法二：直线x－2y＋2＝0与直线x＝1的交点为P，则所求直线过点P.因为直线x－2y＋2＝0的斜率为，所以所求直线的斜率为－，故所求直线的方程为y－＝－(x－1)，即x＋2y－4＝0.
16.【解】：点(x，y)，关于y=-x对称点为(-y,-x),在直线l：3x﹣4y+5＝0上，
所以3(﹣y)-4(﹣x)+5＝0，即4x﹣3y+5＝0，故答案为：4x﹣3y+5＝0．
17.【解】：设直线l2上任意一点P(x，y)关于直线l：x﹣y+1＝0对称的点Q(x'，y’),
则有且，解得x′＝y﹣1，y'＝x+1，
因为点Q(y﹣1，x+1)在直线l1：2x﹣y﹣1＝0上，故2(y﹣1)﹣(x+1)﹣1＝0，即x﹣2y+4＝0，
所以直线l2的方程是x﹣2y+4＝0．
故答案为：x﹣2y+4＝0．
18.【解】：如图所示，作点A关于x轴的对称点A′，所以点A′在直线MB上．
由对称性可知A′(3，－2)，所以光线MB所在直线的斜率为kA′B＝＝－2.
故反射光线所在直线的斜率为－2.故答案为：-2
19.【解】：光线从点P(-3，3)射到y轴上，经y轴反射后经过点Q(-1,-5)，(-1,-5)关于y轴的对称点的坐标为M(1，-5)
所以光线从点P到点Q走过的路程为|MP|＝.故答案为：
20.【解】:光线通过点M（―3，4），直线l：x―y+3=0的对称点(x，y)，
所以，即，K(1，0)，
因为N(2，6)，所以MK的斜率为6，所以反射光线所在直线的方程是y=6x―6，
故答案为：y=6x―6．
21.【解】：因为点(0，2)与点(﹣2，0)重合，所以对称轴为直线y=-x，
又点(2007，2008)与点(m，n)重合，
所以m＝﹣2008，n＝﹣2007．
因此m﹣n＝﹣1．故答案为：-1
22.【解】：点A不在这两条角平分线上，因此l1，l2是另两个角的角平分线所在直线．
点A关于直线l1的对称点A1，点A关于直线l2的对称点A2均在边BC所在直线l上．
设A1(x1，y1)，则有,解得,所以A1(0,3)．
同理设A2(x2，y2)，易求得A2(－2，－1)．
所以BC边所在直线方程为2x－y＋3＝0.
23.【解】：点A(1,3)关于x轴的对称点为A′(1，－3)，连接A′B并延长交x轴于点P，即为所求．
直线A′B的方程是y＋3＝·(x－1)，
即y＝x－.令y＝0，得x＝13.
即点P坐标为(13,0)．
24.【解】：如图，作点A关于x轴的对称点A′(－3，－8)，连接A′B，
则A′B与x轴的交点即为M，连接AM.
因为B(2，2)，所以直线A′B的方程为，
即2x－y－2＝0.令y＝0，得x＝1，
所以点M的坐标为(1,0)．
25.【解】:如图，A(－4，－2)，D(－1，6)，
由对称性求得A(－4，－2)关于直线y=x的对称点A＇(－2，－4)，
D关于y轴的对称点D＇(1，6)，
则由入射光线和反射光线的性质可得：过A＇D＇的直线方程即为BC所在直线的方程．
由直线方程的两点式得，即10x-3y+8=0.
26.【解答】：（1）由题意设B(m，n),，解得：m＝1，即B(1，2)，
当直线l1⊥AB时，A到直线l1的距离最大，所以，
所以直线l1的方程为：y﹣2＝﹣(x﹣1)，即：x+y﹣3＝0．
（2）因为AB⊥l，设线段AB的中点为D，则D(0，1)，,
由题意设C(x0，﹣x0+1)，所以S△ABC＝|AB| |CD|＝2，所以|CD|＝，
而|CD|＝
所以x02＝1，所以x0＝±1，即C(1，0)或(-1，-2)
所以直线l2的方程为：x＝﹣1或y＝0．
27.【解】：(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则,得,故A′(－2,8)．
因为P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
则,得.
故所求的点P的坐标为(－2,3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，
当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，则,得
故所求的点P的坐标为(12,10)．
一、知识点
点关于点成中心对称
若点M(x1,y1)关于点P(a,b)的对称点为N，则由中点坐标公式得N(2a-x1,2b－y1)；
点关于直线对称(抓住“垂直”和“平分”)
若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,则①线段P1P2的中点在直线l上，②直线P1P2⊥直线l，即由方程组可得P2的坐标(x2,y2)(其中B≠0，x1≠x2)；
直线关于点对称
若已知直线l,求直线l关于点M(m,n)对称的直线方程l’：
(1)转移法：可设l’上任一点N(x,y)关于M(m,n)对称点T’,则N’(2m-x,2n-y)必在直线l上，代入得A(2x0－x)＋B(2y0－y)＋C＝0.
(2)特殊点法：可在已知直线上任取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的点的坐标，再由两点式求出所求直线方程；
(3)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程 .
直线关于直线成轴对称
设直线l1关于直线l的对称直线l2.
(1)直线l1，l2，l三条直线交于一点，设交点为A，再在直线l1上任取一点P1(异于点A)，求出点P1关于对称轴l对称的点P2，那么经过交点及点P2即可求出直线l2的方程；
(2)当l1//l2//l时，借助两直线平行所满足的条件设出对称直线l2的方程，再利用两平行直线间的距离公式列出方程，解得直线l2方程中的常数项，从得l2的方程.
5．六种常用对称关系
(1)点(x，y)关于原点(0，0)的对称点为(－x，－y)．
(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)．
(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)．
(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x，2b－y)．
(5)点(x，y)关于点P(a,b)的对称点为(2a-x1,2b－y1).
(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．
典型例题
(一)、常见对称问题
【例1】已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．
(1)求点A关于直线l的对称点A′的坐标；
(2)求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程．
(3)求直线l关于点A(－1，－2) 对称的直线l′的方程．
【解】:(1)设A′(x，y)，由已知得,解得,所以A′.
(2)在直线m上取一点，如M(2,0)，则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在m′上．
设对称点为M′(a，b)，则,解得M′.
设m与l的交点为N，则由,得N(4,3)．
又因为m′经过点N(4,3)，所以由两点式得直线m′方程为9x－46y＋102＝0.
(3)解：设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，
因为P′在直线l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，
即2x－3y－9＝0.
、光的反射问题
【例2】一束光线从原点O(0,0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4,3)，求反射光线的方程及光线从O点到达P点所走过的路程．
【解】：如图，设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，
由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得,解得,
所以A的坐标为(4,3)．
因为反射光线的反向延长线过A(4,3)，
又由反射光线过P(－4,3)，A，P两点纵坐标相等，故反射光线所在直线的方程为y＝3.
联立,解得,
由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y＝3.
由光的性质可知，光线从O到P的路程即为AP的长度|AP|，
由A(4,3)，P(－4,3)知，|AP|＝4－(－4)＝8，
即光线从O经直线l反射后到达P点所走过的路程为8.
(三)、有关最值问题
【例3】在直线l：3x―y―1=0上求一点P，使得：
(1)P到A(4，1)和B(0，4)的距离之差最大；
(2)P到A(4，1)和C(3，4)的距离之和最小．
【解】：设B关于l的对称点为B’，AB’与l的交点P满足(1)；设C关于l的对称点为C’，AC’与l的交点P满足(2)．
事实上，对(1)，若P’是l上异于P的点，则
|P’A|-|P’B|=|P’A|-|P’B’|<|AB’|=|PA|-|PB’|=|PA|-|PB|；
对于(2)，若P’是l上异于P的点，则|P’A|+|P’C|=|P’A|+|P’C’|>|AC’|=|PA|+|PC|．
(1)如图1所示，设点B关于l的对称点B’的坐标为（a，b），
=-1，即，所以a+3b－12=0． ①
又由于BB＇的中点坐标为，且在直线l上，
所以，即3a―b―6=0． ②
解①②得a=3，b=3，所以B＇（3，3）．
于是直线AB’的方程为，即2x+y－9=0．
解由l的直线方程与AB’的直线方程组成的方程组得x=2，y=5，即l与AB’的交点坐标为(2，5)，
所以P(2，5)．
如图2所示，设C关于l的对称点为C’，求出C’的坐标为．
所以AC’所在直线的方程为19x+17y―93=0．AC’和l交点坐标为P．
故P点坐标为．
【总结】
由平面几何知识（三角形任两边之和大于第三边，任两边之差的绝对值小于第三边）可知，要在直线l上求一点，使这点到两定点A、B的距离之差最大的问题，若这两点A、B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标；若A、B两点位于直线l的异侧，则先求A、B两点中某一点（如A）关于直线l的对称点A＇，再求直线A＇B的方程，再求它们与直线l的交点即可．对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A、B的距离之和最小的问题可用类似方法求解．
三、巩固练习
1．已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是( )
A．4 B. C. D.
点P(―1，1)关于直线ax―y+b=0的对称点是Q(3，―1)，则a、b的值依次是( )
A．―2，2 B．2，―2 C．， D．，
3．若点A(2，4)与点B关于直线l：x-y+3＝0对称，则点B的坐标为( )
A．(5，1) B．(1，5) C．(﹣7，﹣5) D．(﹣5，﹣7)
4．已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，设直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为( )
A．2x＋3y＋5＝0 B．3x－2y＋5＝0 C．3x＋2y＋5＝0 D．2x－3y＋5＝0
5．直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( )
A．2x＋3y＋7＝0 B．3x－2y＋2＝0 C．2x＋3y＋8＝0 D．3x－2y－12＝0
6．直线ax＋y＋3a－1＝0恒过点M，则直线2x＋3y－6＝0关于M点对称的直线方程为( )
A．2x＋3y－12＝0 B．2x－3y－12＝0 C．2x－3y＋12＝0 D．2x＋3y＋12＝0
7．与直线4x―3y+5=0关于x轴对称的直线方程为( )
A．4x+3y+5=0 B．4x―3y+5=0 C．4x+3y―5=0 D．4x―3y―5=0
8．与直线l：2x﹣3y+1＝0关于y轴对称的直线的方程为( )
A．2x+3y+1＝0 B．2x+3y﹣1＝0 C．3x﹣2y+1＝0 D．3x+2y+1＝0
9．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得f(x)＝＋的最小值为( )
A． B． C．4 D．8
10．已知从点A（6，1）射出的光线经直线x+y+1＝0上的点M反射后经过点B(3，2)，则|AM|+|BM|＝( )
A． B． C． D．
11.一束光线从点P(2，9)射向y轴上一点A，又从点A以y轴为镜面反射到x轴上一点B，该光线经过点Q(3，3)，则该光线从P点运行到Q点的距离为( )
A． B．13 C． D．12
12．已知入射光线在直线l1：2x－y＝3上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上．若点P是直线l1上某一点，则点P到直线l3的距离为( )
A．6 B．3 C. D.
13．如图，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( )
A． B．6 C． D．2
14.在平面直角坐标系中，点A，B分别是x轴、y轴上两个动点，又有一定点M(3,4)，则|MA|＋|AB|＋|BM|的最小值是( )
A．10 B．11 C．12 D．13
15．直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是________．
16．直线3x﹣4y+5＝0关于直线x+y＝0对称的直线方程为 ．
17．直线l1：2x﹣y﹣1＝0关于直线l：x﹣y+1＝0对称的直线l2的方程是 ．
18．一条光线从点A(3,2)发出，到x轴上的M点后，经x轴反射通过点B(－1,6)，则反射光线所在直线的斜率为________．
19.若光线从点P(﹣3，3)射到y轴上，经y轴反射后经过点Q(﹣1，﹣5),则光线从点P到点Q走过的路程为________.
20．已知直线通过点M（―3，4），被直线l：x―y+3=0反射，反射光线通过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程是________．
21.将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(﹣2，0)重合，且点(2007，2008)与点(m，n)重合，则m﹣n的值为_______.
22．已知三角形的一个顶点A(4,-1)，它的两条角平分线所在直线的方程分别为l1：x－y－1=0和l2：x－1=0，则BC边所在直线的方程为________．
23.已知点A(1,3)，B(5，－2)，点P在x轴上，则使|AP|－|BP|取最大值的点P的坐标是______
24．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|取最小值，则点M的坐标为________．
25.一条光线从点A(－4，－2)射出，到直线y=x上的B点后被直线y=x反射到y轴上的C点，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1，6)．求BC所在直线的方程．
26．已知点A(﹣1，0)和点B关于直线l：x+y﹣1＝0对称．
（1）若直线l1过点B，且使得点A到直线l1的距离最大，求直线l1的方程；
（2）若直线l2过点A且与直线l交于点C，△ABC的面积为2，求直线l2的方程．
27．已知直线l：x－2y＋8＝0和两点A(2,0)，B(－2，－4)．
(1)在直线l上求一点P，使|PA|＋|PB|最小；
(2)在直线l上求一点P，使||PB|－|PA||最大．
四、答案与解析
1.【解】：根据中点坐标公式得,解得.
所以点P的坐标为(4,1)，则点P(x，y)到原点的距离.故选:D
2.【解】：点P(―1，1)，关于直线ax―y+b=0的对称点是Q(3，―1)，
所以PQ的中点为(1，0)，．所以 ，解得：a=2，b=－2．故选：B．
3.【解】：设B(a，b)，因为点A(2，4)与点B关于直线l：x-y+3＝0对称，
所以，解得a＝1，b=5,所以点B的坐标为(1，5)．故选：B．
4.【解】：设A(a，b)，则，解得,所以A(－1,1)．
设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，
又，所以直线l2的方程为y－1＝(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.故选：B
5.【解】：因为直线2x＋3y－6＝0关于点(1，－1)对称的直线斜率不变，
所以设对称后的直线方程l′为2x＋3y＋c＝0(c≠－6)，
又点(1，－1)到两直线的距离相等，
所以＝，化简得|c－1|＝7，解得c＝－6(舍去)或c＝8，
所以l′的方程为2x＋3y＋8＝0，故选：C.
6.【解】：由ax＋y＋3a－1＝0，可得a(x＋3)＋y－1＝0.
令,可得,所以M(－3,1)．
设所求对称直线上任意一点为P(x，y)，则点P关于点M的对称点为N(－6－x,2－y)，
由题意点N在直线2x＋3y－6＝0上，所以2(－6－x)＋3(2－y)－6＝0，即2x＋3y＋12＝0，故选:D.
7.【解】:直线4x―3y+5=0的斜率为，与x轴的交点为，
故与直线4x―3y+5=0关于x轴对称的直线的斜率为，且经过点，
故要求的直线方程为，化简可得4x+3y+5=0，故选：A．
另解：点(x,y)关于x轴对称点为(x,-y)，故以-y代y可得4x+3y+5=0.
8.【解】：点(x,y)关于x轴对称点为(-x,y)，以-x代x可得：2x+3y﹣1＝0，故选：B．
9.【解】：因为f(x)＝＋＝+，
所以f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(－2,4)与B(－1,3)的距离之和，
设点A(－2,4)关于x轴的对称点为A′，
则A′(－2，－4)．要求f(x)的最小值，可转化为求|MA|＋|MB|的最小值，
利用对称思想可知|MA|＋|MB|≥|A′B|＝＝，
即f(x)＝＋的最小值为.答案：B
10.【解】：设点A（6，1）关于直线x+y+7＝0的对称点A'（a，b),
则，解得a＝﹣2，b=-7,所以A'(﹣2，﹣7)，
因为反射光线经过点B(3，2)，所以|AM|+|BM|＝|A'B|＝．故选：B．
11.【解】：如图，点P(2,9)关于y轴对称的点为p’(-2,9)，点Q(3,3)关于x轴对称的点为Q′(3，-3),
则该光线从P点运行到Q点的距离为．故选：B．
12.【解】：结合图形可知，直线l1∥l3，则直线l1上一点P到直线l3的距离
即为l1与l3之间的距离，由题意知，l1与l2关于x轴对称，
故l2的方程为y＝－2x＋3，l2与l3关于y轴对称，故l3的方程为y＝2x＋3，
即2x－y＋3＝0，又直线l1的方程为：2x－y－3＝0，
由两平行线间的距离公式得l1与l3间的距离d＝，
即点P到直线l3的距离为，故选C.
13.【解】：直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2,0)关于直线AB的对称点为D(4,2)，关于y轴的对称点为C(－2,0)，则光线经过的路程为|CD|＝＝.
14.【解】：如图，设点M(3,4)关于y轴的对称点为P(－3,4)，关于x轴的对称点为Q(3，－4)，
则|MB|＝|PB|，|MA|＝|AQ|.
当A与B重合于坐标原点O时，|MA|＋|AB|＋|BM|＝|PO|＋|OQ|＝|PQ|＝＝10；
当A与B不重合时，|MA|＋|AB|＋|BM|＝|AQ|＋|AB|＋|PB|>|PQ|＝10.
综上可知，当A与B重合于坐标原点O时，|MA|＋|AB|＋|BM|取得最小值，
最小值为10.答案 A
15.【解】:法一：设P(x，y)为所求直线上的点，该点关于直线x＝1的对称点为(2－x，y)，且该对称点在直线x－2y＋2＝0上，代入可得x＋2y－4＝0.
法二：直线x－2y＋2＝0与直线x＝1的交点为P，则所求直线过点P.因为直线x－2y＋2＝0的斜率为，所以所求直线的斜率为－，故所求直线的方程为y－＝－(x－1)，即x＋2y－4＝0.
16.【解】：点(x，y)，关于y=-x对称点为(-y,-x),在直线l：3x﹣4y+5＝0上，
所以3(﹣y)-4(﹣x)+5＝0，即4x﹣3y+5＝0，故答案为：4x﹣3y+5＝0．
17.【解】：设直线l2上任意一点P(x，y)关于直线l：x﹣y+1＝0对称的点Q(x'，y’),
则有且，解得x′＝y﹣1，y'＝x+1，
因为点Q(y﹣1，x+1)在直线l1：2x﹣y﹣1＝0上，故2(y﹣1)﹣(x+1)﹣1＝0，即x﹣2y+4＝0，
所以直线l2的方程是x﹣2y+4＝0．
故答案为：x﹣2y+4＝0．
18.【解】：如图所示，作点A关于x轴的对称点A′，所以点A′在直线MB上．
由对称性可知A′(3，－2)，所以光线MB所在直线的斜率为kA′B＝＝－2.
故反射光线所在直线的斜率为－2.故答案为：-2
19.【解】：光线从点P(-3，3)射到y轴上，经y轴反射后经过点Q(-1,-5)，(-1,-5)关于y轴的对称点的坐标为M(1，-5)
所以光线从点P到点Q走过的路程为|MP|＝.故答案为：
20.【解】:光线通过点M（―3，4），直线l：x―y+3=0的对称点(x，y)，
所以，即，K(1，0)，
因为N(2，6)，所以MK的斜率为6，所以反射光线所在直线的方程是y=6x―6，
故答案为：y=6x―6．
21.【解】：因为点(0，2)与点(﹣2，0)重合，所以对称轴为直线y=-x，
又点(2007，2008)与点(m，n)重合，
所以m＝﹣2008，n＝﹣2007．
因此m﹣n＝﹣1．故答案为：-1
22.【解】：点A不在这两条角平分线上，因此l1，l2是另两个角的角平分线所在直线．
点A关于直线l1的对称点A1，点A关于直线l2的对称点A2均在边BC所在直线l上．
设A1(x1，y1)，则有,解得,所以A1(0,3)．
同理设A2(x2，y2)，易求得A2(－2，－1)．
所以BC边所在直线方程为2x－y＋3＝0.
23.【解】：点A(1,3)关于x轴的对称点为A′(1，－3)，连接A′B并延长交x轴于点P，即为所求．
直线A′B的方程是y＋3＝·(x－1)，
即y＝x－.令y＝0，得x＝13.
即点P坐标为(13,0)．
24.【解】：如图，作点A关于x轴的对称点A′(－3，－8)，连接A′B，
则A′B与x轴的交点即为M，连接AM.
因为B(2，2)，所以直线A′B的方程为，
即2x－y－2＝0.令y＝0，得x＝1，
所以点M的坐标为(1,0)．
25.【解】:如图，A(－4，－2)，D(－1，6)，
由对称性求得A(－4，－2)关于直线y=x的对称点A＇(－2，－4)，
D关于y轴的对称点D＇(1，6)，
则由入射光线和反射光线的性质可得：过A＇D＇的直线方程即为BC所在直线的方程．
由直线方程的两点式得，即10x-3y+8=0.
26.【解答】：（1）由题意设B(m，n),，解得：m＝1，即B(1，2)，
当直线l1⊥AB时，A到直线l1的距离最大，所以，
所以直线l1的方程为：y﹣2＝﹣(x﹣1)，即：x+y﹣3＝0．
（2）因为AB⊥l，设线段AB的中点为D，则D(0，1)，,
由题意设C(x0，﹣x0+1)，所以S△ABC＝|AB| |CD|＝2，所以|CD|＝，
而|CD|＝
所以x02＝1，所以x0＝±1，即C(1，0)或(-1，-2)
所以直线l2的方程为：x＝﹣1或y＝0．
27.【解】：(1)设A关于直线l的对称点为A′(m，n)，
则,得,故A′(－2,8)．
因为P为直线l上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，
当且仅当B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点P即是直线A′B与直线l的交点，
则,得.
故所求的点P的坐标为(－2,3)．
(2)A，B两点在直线l的同侧，P是直线l上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，
当且仅当A，B，P三点共线时，||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点P即是直线AB与直线l的交点，又直线AB的方程为y＝x－2，则,得
故所求的点P的坐标为(12,10)．