专题：恒过定点的直线 学案（Word含解析）

恒过定点的直线
一、两种方法：
任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解；
含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0，（其中为参数），这就说明它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得，若整理成y-y0=k(x-x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0,y0).
典型例题
【例1】设直线2x+(k-3)y-2k+6=0过定点P，则点P的坐标为( )
A．(3,0) B．(0,2) C．(0,3) D．(2,0)
【分析】对于任意实数k，直线2x+(k-3)y-2k+6=0恒过定点，则与k的取值无关，则将方程转化为(y-2)k+(2x-3y+6)=0．让k的系数和常数项为零即可．
【解答】：方程2x+(k-3)y-2k+6=0可化为(y-2)k+(2x-3y+6)=0，
因为对于任意实数k，当时，直线2x+(k-3)y-2k+6=0恒过定点，
由当，得x=0,y=2．
故定点坐标是(0,2)．
故选：B．
【例2】直线l:y-1=k(x+2)必过定点( )
A．(-2,1) B．(0,0) C．(1,-2) D．(-2,-1)
【分析】由已知可得直线l过两直线x+2=0与y-1=0的交点，联立求解得答案．
【解答】：由直线l:y-1=k(x+2)，得，解得．
所以直线l:y-1=k(x+2)必过定点(-2,1)．
故选：A．
三、巩固练习
1．直线（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4＝0过定点（　 　）
A．（1，﹣3） B．（4，3） C．（3，1） D．（2，3）
2．直线y=kx+k+1(k为常数)经过定点（　 　）
A．(1,1) B．(-1,1) C．(1,-1) D．(-1,-1)
3．已知A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交（　　）
A． B． C．k≤﹣4或 D．以上都不对
4．设m∈R，动直线l1：x+my﹣1＝0过定点A，动直线l2:过定点B，l1与l2相交于点
P（异于点A，B），则△PAB周长的最大值为（　 　）
A． B． C． D．
5.已知a∈R，若不论a为何值时，直线l:(1-2a)x+(3a+2)y-a=0总经过一个定点，则这个定点的坐标是（　　）
A．(-2,1) B．(-1,0) C． D．
5．设直线y＝k（x﹣3）+1，当k变动时　 　．
6．已知直线l：（m+1）x+（1﹣m）y+（m﹣3）=0，则原点到直线l的距离的最大值等于　 　．
7．设直线l1：（m+1）x﹣（m﹣3）y﹣8＝0（m∈R）1恒过定点　 　；若过原点作直线l2∥l1，则当
直线l1与l2的距离最大时，直线l2的方程为　 　．
直线l1：（m+2）x﹣y﹣m＝0（m∈R）过定点　 　；若l1与直线l2：3x﹣my﹣1＝0平行，则m
＝　 　．
9．已知直线l：kx﹣y+2﹣k＝0过定点M，点P（x，y）在直线2x+y﹣1＝0上，则MP的最小值为　　．
10．设a，b是正数，若两直线l1：（m﹣1）x+（3﹣2m）y+1＝0（m∈R）2：ax+by+2＝0恒过同一定点，则
的最小值为　 　．
11．已知直线l:(1+2m)x+(m-1)y+7m+2=0．
(1)求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；
(2)过定点M作一条直线l1，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．
12．设直线l的方程为（a+1）x+y﹣5﹣2a＝0（a∈R）．
（1）求证：不论a为何值，直线l必过一定点P；
（2）若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于点A（xA，0），B（0，yB），当△AOB面积最小时，求△AOB的周长；
（3）当直线l在两坐标轴上的截距均为整数时，求a的值．
四、答案与解析
1.【解】：直线方程整理得：2mx+x+my+y﹣7m﹣7＝0，即（2x+y﹣7）m+（x+y﹣4）＝0，
所以,解得：，则直线过定点（3，1），故选：C．
【解】：对于直线y=kx+k+1=k(x+1)+1，令x+1=0，可得y=1，可得它经过的定点坐标为(-1,1)，
故选：B．
3.【解】：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足 k≥kPB或 k≤kPA，
即 k≥，或 k≤，所以k≥，或k≤﹣4，故选：C．
4.【解】：直线l1：x+my﹣1＝0过定点A（1，0），
直线l2：mx﹣y﹣2m+＝4即m（x﹣2）＝y﹣，可得过定点B（2，），
由于1m+m（﹣2）＝0，得l1与l2始终垂直，又P是两条直线的交点，所以PA⊥PB，
所以|PA|2+|PB|2＝|AB|2＝4．
由a2+b2≥2ab，可得2（a2+b2）≥（a+b）2，那么2（|PA|2+|PB|2）≥（|PA|+|PB|）2，
即有|PA|+|PB|≤，当且仅当|PA|＝|PB|＝时，上式取得等号，
所以△PAB周长的最大值为2+2．故选：D．
5.【解】：由直线l:(1-2a)x+(3a+2)y-a=0，知a(3y-2x-1)+(x+2y)=0．
因为不论a为何值时，直线总经过一个定点，即a有无数个解，
所以3y-2x-1=0且x+2y=0，
所以x=，y=，所以这个定点的坐标是．故选：C．
5.【解】：直线y＝k（x﹣3）+1方程可化为：y﹣1＝k（x﹣3），
所以当时，方程恒成立，所以所有直线都经过定点（3，1）．故答案为：（3，1）．
6.【解】：根据题意，设原点到直线l的距离为d，
直线l：（m+1）x+（1﹣m）y+（m﹣3）＝0，即m（x﹣y+1）+x+y﹣3＝0，
则有，解可得，即过定点(1,2)，则d≤|OM|＝，
即原点到直线l的距离的最大值等于；故答案为：．
7.【解】：因为直线l1：（m+1）x﹣（m﹣3）y﹣8＝0（m∈R），化为：m（x﹣y）+（x+2y﹣8）＝0,，解得x＝y＝2，
则直线l1恒过定点（2，2）．
过原点作直线l2∥l2，可设l2方程为：（m+1）x﹣（m﹣4）y＝0，则经过两点（0，3）与（2．2)
则当直线l1与l3的距离最大时，l2与直线y＝x垂直．直线l2的方程为x+y＝5．
8.【解】：由（m+2）x﹣y﹣m＝0可得m（x﹣1）+2x﹣y＝0，得，解可得 (1，2），
由两直线平行的条件可得，﹣m（m+2）+3＝0，即m2+2m﹣3＝0，解可得，m＝﹣3或m＝1，
当m＝1时，l1：3x﹣y﹣1＝0，l2：3x﹣y﹣1＝0重合，不符合题意，
当m＝﹣3时，l1：﹣x﹣y+3＝0，l2：3x+3y﹣1＝0平行，符合题意，
9.【解】：直线l：kx﹣y+2﹣k＝0，即k（x﹣1）﹣y+2＝0，求得x＝1，y＝2，所以定点M（1，2），
点P（x，y）在直线2x+y﹣1＝0上，所以设P（x,1-2x）
所以，
故当x＝﹣时，|MP|取得最小值为，
10.【解】：设a，b是正数，
若两直线l1：（m﹣1）x+（3﹣2m）y+1＝0（m∈R）和l2：ax+by+2＝0恒过同一定点，
而（m﹣1）x+（3﹣2m）y+1＝0（m∈R），即 m（x﹣2y）﹣x+3y+1＝0，
所以，解得，所以定点为（-2，-1），
故ax+by+2＝,0也经过定（﹣2，﹣1），即2a+b＝2，
则,当且仅当a＝，b＝1时，有最小值4，
11.【解】：（1）证明：直线l整理得：(x-y+2)+m(2x+y+7)=0，
令,解得：，
则无论m为何实数，直线l恒过定点(-3,-1)，
（2）根据题意，设直线l1，与x轴的交点为(a,0)，与y轴的交点为(0,b)，
过定点M(-3,-1)作一条直线l1使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，即M为AB的中点，
则有，解可得a=-6，b=-2，即直线l1过(-6,0)，(0,-2)，
则直线l1的方程为2，即x+3y+6=0．
12.【解】：（1）直线l的方程为（a+1）x+y﹣5﹣2a＝0（a∈R）．
整理可得：a（x﹣2）+x+y﹣5＝0，，解得，
所以不论a为何值，直线恒过定点（2，3）；
（2）当x＝0时，y＝2a+5>0，
当a＝﹣1时，直线与x轴无交点，所以令y＝0, x＝，
因为x轴正半轴，y轴正半轴，所以y＝2a+5>0，故a+1＞0，
所以|AB|＝，
所以S△AOB＝
，当且仅当(a+1)2＝，即a+1＝时取等号，
所以这时周长为|OA|+|OB|+|AB|＝4+6+＝10+；
因为直线l在两坐标轴上的截距均为整数，即2a+5与都是整数，所以2a为整数，
设t＝2a，则a＝，而，所以t+2为6的因数，
t+2＝﹣6，﹣3，﹣2，-1，1,2，3，6，所以
进而可得a＝﹣4，﹣，﹣2，﹣，﹣，0，，2，