1.3两条直线的平行与垂直 学案（Word含解析）

两条直线的平行与垂直
一、知识点
1.两条直线平行与垂直的判定
(1)两条直线平行：
①对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 k1＝k2.
②当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
(2)两条直线垂直：
①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2 k1·k2＝－1.
②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.
2.确定两条直线位置关系的方法
直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)
l1与l2垂直的充要条件 A1A2＋B1B2＝0
l1与l2平行的充分条件 A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0或B1C2-B2C1≠0，记忆式: ＝≠
l1与l2相交的充分条件 ≠(A2B2≠0)
l1与l2重合的充分条件 ＝＝(A2B2C2≠0)
3.解题技巧
(1)与直线y=kx+b平行的直线可以设为y=kx+b1；垂直的直线可以设为.
(2)与直线Ax+By+C=0平行的直线可以设为Ax+By+D=0；垂直的直线可以设为Bx-Ay+D=0.
(3)经过点A（x0，y0），且与直线Ax+By+C=0平行的直线方程为A(x―x0)+B(y―y0)=0．
典型例题
【例1】．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是 ．
【解】：易知定点A(0，0)，B(1，3)，且无论m取何值，两直线垂直．
所以无论P与A，B重合与否，均有|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10(P在以AB为直径的圆上)．
所以|PA|·|PB|≤(|PA|2＋|PB|2)＝5.
当且仅当|PA|＝|PB|＝时等号成立．
【例2】已知△ABC的两条高所在直线的方程分别为x+y＝0，2x﹣3y+1＝0，且点A的坐标为（1，2），
（1）求△ABC的垂心坐标；（注：三角形三条高所在直线交于一点，交点叫做垂心）
（2）求BC边上的高所在直线的方程．
【解】：（1）因为三角形三条高所在直线交于一点，交点叫做垂心，
已知△ABC的两条高所在直线的方程分别为x+y＝0，2x﹣3y+1＝0，
解方程组：得：，
所以△ABC的垂心坐标（，）；
（2）因为点A的坐标为（1，2），
根据直线方程的两点式得： ，即：3x﹣2y+1＝0．
所以BC边上的高所在直线的方程3x﹣2y+1＝0．
三、巩固练习
1．已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）
A．4x+2y=5 B．4x―2y=5 C．x+2y=5 D．x―2y=5
2．直线l1的斜率为2，直线l2上有三点M(3，5)，N(x，7)，P(－1，y)，若l1∥l2，则x＋y等于(　　)
A．4　　B．－3　　C．1　　D．0
3．若直线l1，l2的倾斜角分别为，，且l1⊥l2，则（ ）
A． B． C． D．
4．若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+(a-1)y+a2-1=0垂直，则a=（ ）
A．2 B． C．1 D．―2
5．已知点P(3，1)，Q(0，t)是y轴上的动点，若在x轴上存在点M，使得MP⊥MQ，则实数t的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
6.已知b＞0，直线x﹣b2y﹣1＝0与直线（b2+1）x+ay+2＝0互相垂直，则ab的最小值等于（　　）
A．1 B．2 C． D．2
7.直线l1，l2的斜率k1，k2是关于k的方程2k2－3k－b＝0的两根，若l1⊥l2，则b＝___；若l1∥l2，则b＝______.
8．已知直线l1：(k―3)x+(4―k)y+1=0与l2：2(k―3)x―2y+3=0平行，则k的值是________．
9.已知△ABC的顶点B(2,1)，C(－6,3)，其垂心为H(－3,2)，则其顶点A的坐标为________．
10.已知直线l1：ax＋by＋6＝0，l2：3x－2y＋1＝0，l1在y轴上的截距为1，且l1∥l2，则a＋b＝________．
11.已知直线l1：ax+4y﹣2＝0与直线l2：2x﹣5y+b＝0互相垂直，垂足为（1，c），则a+b+c的值为　　．
12．过点M(－1，－2)作直线l交直线x＋2y＋1＝0于点N，当MN最短时，直线l的方程为________．
13.已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=5上，且线段AB的中点为P(0,5)，则|AB|=________．
14.已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，求点D，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．
15.直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，此时直线l1与l2平行，且l2是线段AB的垂直平分线，其中A(1，m－1)，B(m，2)，试求m的值．
四、答案与解析
1．【解】：，AB的中点为．故其垂直平分线的方程为，即4x―2y=5．
故选：B.
2．【解】：由l1∥l2及l1的斜率为2，得，解得，所以x＋y＝1．
3．【解】：如图，可得， ①
， ②
②－①，得．若l1与l2变换位置，则有．选 D
4．【解】：直线l1：ax+2y+6=0，l2：x+(a-1)y+a2-1=0，且l1⊥l2，所以a·1+2(a－1)=0；得．故选：B．
5．【解】：设M(x，0)．
①当x＝3时，PM⊥x轴，点Q在原点，此时t＝0；
②当x＝0时，kMQ不存在，kMP＝，不合题意；
③当x≠0且x≠3时，则由kMP·kMQ＝×＝－1，得t＝－x2＋3x＝－＋≤且t≠0．
综上所述，实数t的取值范围是 ．选B
6.【解】：b＞0，直线x﹣b2y﹣1＝0与直线（b2+1）x+ay+2＝0互相垂直，
所以a≠0， （）＝﹣1，化为：ab＝b2，当且仅当b＝1，a＝2时取等号．
则ab的最小值等于2．故选：B．
7．2　－
8．【解】：当(k-3)·(-2)=(4-k)·2(k-3)时两条直线平行，解得k=3或k=5
9.【解】：设A(x，y)，因为AC⊥BH，AB⊥CH，且kBH＝－，kCH＝－，
所以，解得,故答案为(－19，－62) .
10．【解】：因为l1在y轴上的截距为1，所以l1过点(0，1)，
所以a×0＋b×1＋6＝0，即b＝－6．
又l1∥l2，所以k1＝k2，即＝，所以a＝9，所以a＋b＝3．
11.【解】：因为直线l1与直线l2互相垂直，所以2a+4×（﹣5）＝0，解得a＝10，
所以l1：10x+4y﹣2＝0，
因为垂足（1，c）在l1上，所以10+4c﹣2＝0，解得c＝﹣2，
再由垂足（1，﹣2）在l2上可得2+10+b＝0，解得b＝﹣12，
所以a+b+c＝10﹣12﹣2＝﹣4。故答案为：﹣4
12.【解】：由题意知MN最短时，直线l与直线x＋2y＋1＝0垂直，
又直线l过M(－1，－2)，故直线l的方程为2x－y＝0．
13.【解】：由已知两直线互相垂直可得：，解得a=2，
因为线段AB中点为P(0,5)，且AB为直角三角形AOB的斜边，
联立，得O(1,2)，
所以，
直角三角形斜边的中线PO的长为斜边AB的一半，且，
所以，
故答案为：．
13．【解】：设D(x，y)，则kCD＝，kAB＝3，kCB＝－2，kAD＝．
因为kCD·kAB＝－1，kCB＝kAD，所以×3＝－1，＝－2，
所以x＝0，y＝1，即D(0，1)．
14．【解】：如图，直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，所以直线l1的斜率k1＝tan 60°＝．
当m＝1时，直线AB的斜率不存在，此时l2的斜率为0，不满足l1∥l2．
当m＝3时，直线AB的斜率为0，此时l2的斜率不存在，不满足l1∥l2．
当m≠1且m≠3时，直线AB的斜率kAB＝，
所以线段AB的垂直平分线l2的斜率为k2＝．
因为l1与l2平行，所以k1＝k2，即＝，解得m＝4＋．