1.4两条直线的交点 学案（Word含解析）

两条直线的交点
一、知识点
1．两条直线的交点的求法
直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
2.方程组的解与直线的位置关系
(1)若有 ＝=，则方程组有无穷多个解，此时两直线重合；
(2)若有 ＝≠，则方程组无解，此时两直线平行；
(3)若有 ≠，则方程组有唯一解，此时两直线相交，此解即两直线交点的坐标.
3.直线系方程
(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋D＝0(D≠C)．
(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋D＝0.
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ∈R)，但不包括l2.
二、典型例题
【例1】直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上，则k的值为　　
A．-24 B．24 C．6 D．
【分析】联立，由直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上，得到，由此
能求出k．
【解答】：联立，解得,
因为直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上，
所以，解得k=-24．故选：A．
三、巩固练习
1．直线3x―(k+2)y+k+5=0与直线kx+(2k―3)y+2=0相交，则实数k的值为（ ）
A．k≠1或k≠9 B．k≠1或k≠－9 C．k≠1且k≠9 D．k≠1且k≠－9
2.两直线2x－y＋k＝0和4x－2y＋1＝0的位置关系为 (　　)
A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合
3．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是(　　)
A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0 C．x－3y＋6＝0 D．x－3y＋5＝0
4．若三条直线2x+3y+8=0，x-y-1=0和x+ky=0交于一点，则k的值为(　　)
A．-2 B． C．2 D．
5．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是(　　)
A．(2，3) B．(－2，－1) C．(－4，－3) D．(0，1)
6．直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c＝(　　)
A．－2　　B．－4　　C．－6　　D．－8
7．(多选题)已知三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，则实数m的可能取值为(　　)
A．－　　B．　　C．　　D．－
8．若直线x－2y－2k＝0与直线2x－3y－k＝0的交点在直线3x－y＝0上，则k的值为________．
9．若直线l：y＝kx－与直线l1：2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．
10.已知直线l过直线l1：3x－5y－10＝0和l2：x＋y＋1＝0的交点，且平行于l3：x＋2y－5＝0，则直线l的方程是______________．
11．已知三条直线x＋y＝0，x－y＝0，x＋ay＝3构成三角形，则a的取值范围是________．
12．当0＜a＜2时，直线l1：ax－2y＝2a－4和l2：2x＋a2y＝2a2＋4与坐标轴围成一个四边形，则使四边形的面积最小时a的值为________．
13．无论m取何值，直线(m－1)x＋(m－2)y＝5都一定过第________象限．
14．在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1,2)，求点A和点C的坐标．
15．过点M(0，1)作直线，使它被两直线l1：x－3y＋10＝0，l2：2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程．
四、答案与解析
1.【解】：不平行就相交，所以，所以k≠1且k≠―9．
2. D
3．【解】：直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点为(－1，4)，与3x＋y－1＝0垂直，得斜率为，
由点斜式，得y－4＝(x＋1)，即x－3y＋13＝0．选B
4.【解】：依题意，，解得，
所以两直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点坐标为(-1,-2)．
因为直线x+ky=0，2x+3y+8=0和x-y-1=0交于一点，
所以-1-2k=0，所以k=. 故选：B．
5.【解】：由题意知，直线MN过点M(0，－1)且与直线x＋2y－3＝0垂直，其方程为2x－y－1＝0．
直线MN与直线x－y＋1＝0的交点为N，联立方程组,解得,即N点坐标为(2，3)．
选A.
6．【解】：因为直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0垂直，所以－×＝－1，所以a＝10，
所以直线ax＋4y－2＝0方程即为5x＋2y－1＝0．
将点(1，c)的坐标代入上式可得5＋2c－1＝0，解得c＝－2．将点(1，－2)的坐标代入方程2x－5y＋b＝0
得2－5×(－2)＋b＝0，解得b＝－12．所以a＋b＋c＝10－12－2＝－4．选B
7.【解】：因为三条直线2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0，mx－y－1＝0不能构成三角形，
所以直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0平行，或者直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点，直线mx－y－1＝0与2x－3y＋1＝0，4x＋3y＋5＝0分别平行时，m＝，或－，
直线mx－y－1＝0过2x－3y＋1＝0与4x＋3y＋5＝0的交点时，m＝－，
所以实数m的取值集合为，故选ACD．
8．【解】：由,得交点坐标为(－4k，－3k)，代入3x－y＝0，解得k的值为0．
9．【解】：如图，直线l1：2x＋3y－6＝0过A(3，0)，B(0，2)，而l过定点C(0，－)，
由图象可知,所以l的倾斜角α的取值范围是．
10.8x＋16y＋21＝0
11．【解】：因为x＋y＝0与x－y＝0相交于原点，所以无论a为何值，直线x＋ay＝3总不经过原点，
故只需直线x＋ay＝3与另两条直线均不平行即可，
即a≠±1．
12．【解】：如图，直线l1：a(x－2)－2(y－2)＝0，
所以l1过定点B(2，2)．直线l2：(2x－4)＋a2(y－2)＝0，
由2x－4＝0和y－2＝0得l2也过定点B(2，2)．
因为l1与y轴交于点A(0，2－a)，l2与x轴交于点C(a2＋2，0)．
所以S四边形OABC＝S△AOB＋S△BOC＝(2－a)×2＋×(a2＋2)×2＝a2－a＋4＝＋．
所以当a＝时，S取最小值．
即四边形OABC的面积最小时，a的值为．
13．【解】：直线(m－1)x＋(m－2)y＝5化简得，m(x＋y)－(x＋2y＋5)＝0，
令,解得.
即直线(m－1)x＋(m－2)y＝5一定过点(5，－5)，又点(5，－5)在第四象限，所以直线(m－1)x＋(m－2)y＝5一定过第四象限．
14．【解】：如图所示，由已知，A应是BC边上的高线所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点．
由，得，故A(－1,0)．
又∠A的角平分线为x轴，故kAC＝－kAB＝－1，所以AC所在直线方程为y＝－(x＋1)，
又kBC＝－2，所以BC所在直线方程为y－2＝－2(x－1)，
由，得，
故C点坐标为(5，－6)．
15．【解析】：法一：过点M且与x轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y＝kx＋1．
设所求直线与已知直线l1，l2分别交于A，B两点．
由,得A的横坐标xA＝．
由,得B的横坐标xB＝．
因为点M平分线段AB，所以＋＝0，解得k＝－．故所求的直线方程为x＋4y－4＝0．
法二：设所求直线与l1，l2分别交于A，B两点，且设A(3m－10，m)，B(a，8－2a)．
因为M为线段AB的中点，所以,解得,所以A(－4，2)，B(4，0)，
所以直线AB的方程为x＋4y－4＝0．