1.5.1两点间的距离与中点坐标公式 学案（Word含解析）
文档属性
| 名称 | 1.5.1两点间的距离与中点坐标公式 学案（Word含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 111.2KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏教版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-08-12 13:33:17 | ||
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文档简介
两点间的距离及中点坐标公式
一、知识点
1.两点间的距离公式
两点间的距离公式为.
2.中点坐标公式
若两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，且线段的中点坐标为．
3.三角形的重心坐标公式
已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)，B（x2,y2）,C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为
二、典型例题
【例1】已知△ABC的顶点坐标为A(7,8)，B(10,4)，C(2,-4)，则BC边上的中线AM的长为
A．8 B．13 C． D．
【解】：由B(10,4)，C(2,-4)，得，，
即M坐标为(6,0)．
又A(7,8)，所以．
故选：D．
【例2】过点P（3，0）作一直线，使它夹在两直线l1：2x﹣y﹣2＝0与l2：x+y+3＝0之间的线段AB恰被
点P平分，则此直线的方程为 ．
【解答】：设点A（x，y）在l1上，
由题意知：线段AB的中点为P（3，0），所以点B（6﹣x，﹣y），
解方程组，得，
所以k8．
所以所求的直线方程为y＝8（x﹣3），即8x﹣y﹣24＝0．
故答案是：8x﹣y﹣24＝0．
三、巩固练习
1．已知线段AB的中点坐标是(－2，3)，点A的坐标是(2，－1)，则点B的坐标是( )
A．(－6，7) B．(6，7) C．(6，－7) D．(－6，－7)
2．已知点M(m,-1)，N(5,m)，且|MN|＝2，则实数m等于( )
A．1 B．3 C．1或3 D．－1或3
3．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
4．(多选题)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是( )
A．(－4，5) B．(－3，4) C． (－1，2) D． (0，1)
5．已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当AB取最小值时，实数a的值是( )
A．－ B．－ C． D．
6.已知点A(1,2)，B(3,1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是 ( )
A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5 C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5
7.已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是( )
A．(－1,0) B．(1,0) C. D.
8.两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为( )
A. B. C. D.
9．已知A，B两点都在直线y＝2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为________．
10．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且PA＝PB，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为________．
11．已知函数y＝2x的图象与y轴交于点A，函数y＝lg x的图象与x轴交于点B，点P在直线AB上移动，点Q(0，－2)，则PQ的最小值为________．
12．直线l过点P(1，4)，且分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点．
(1)当|0A|+|0B|最小时，l的方程为________；
(2)若|PA|·|PB|最小，求l的方程为________．
13．已知平行四边形的三个顶点A（―2，1），B（―1，3），C（3，4），求第四个顶点D的坐标．
14．有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB＝AC＝13 km，BC＝10 km，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处．(建立坐标系如图)
(1)若希望点P到三镇距离的平方和最小，点P应位于何处？
(2)若希望点P到三镇的最远距离最小，点P应位于何处？
已知函数，求f(x)的最小值，并求取得最小值时x的值．
四、答案与解析
1．【解】：设点B的坐标是(x，y)，则,解得,选A
2．【解】：因为|MN|＝＝，
所以＝2，即m2－4m＋3＝0，解得m＝1或m＝3，故选C．
3．【解】：|AB|＝＝，＝＝，
|BC|＝＝，
故|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，所以△ABC为直角三角形且以A为直角顶点．故选C．
4．【解】：设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，且 ＝，
两式联立解得或,故选BC．
5．【解】：AB＝＝，
所以当a＝时，AB取得最小值．故选C．
6.B
7.B
8.【解】：直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B，由两点间的距离公式，得|AB|＝.故选C
9．【解】：设点A(a，2a－1)，点B(b，2b－1)，
因为|a－b|＝，所以AB＝＝|a－b|＝．
10．【解】：由已知，得A(－1，0)，P(2，3)，
由PA＝PB，得B(5，0)，由两点式得直线PB的方程为x＋y－5＝0．
11．【解】：易知A(0，1)，B(1，0)，所以直线AB：y＝1－x．设P(x0，y0)，
又y0＝1－x0，所以PQ＝＝＝，
当x0＝时，PQ取得最小值．所以PQ的最小值为．
12．【解】：(1)依题意，l的斜率存在，且斜率为负，
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－4＝k（x-1)(k<0)．
令y＝0，可得A；令x＝0，可得B(0,4-k)．
|OA|+|OB|＝＋(4－k)＝5－＝5＋≥5＋4＝9．
所以当且仅当且k<0，即k＝－2时，
|OA|+|OB|取最小值，这时l的方程为2x＋y－6＝0．
(2)|PA|·|PB|＝＝≥8(k<0)，当且仅当且k<0，即k＝－1时，
|PA|·|PB|取最小值，这时l的方程为x＋y－5＝0．]
13．【解】：若构成的平行四边形为ABCD1，则AC为一条对角线，
设D1(x,y)，则由AC中点也是BD1中点，
可得，解得，所以D1(2,2)．
同理可得，若构成以AB为对角线的平行四边形ACBD2，则D2(-6,0)；以BC为对角线的平行四边形ACD3B，则D3(4,6)，
所以第四个顶点D的坐标为：（2，2），或（－6，0），或（4，6）．
14．【解】：(1)设P的坐标为(0，y)，则P至三镇距离的平方和为f(y)＝2(25＋y2)＋(12－y)2＝3(y－4)2＋146，
所以，当y＝4时，函数f(y)取得最小值，点P的坐标是(0，4)．
(2)设P至三镇的最远距离为g(y)＝
由≥|12－y|计算得出y≥，记y*＝，
于是g(y)＝
因为g(y)＝在[y*，＋∞)上是增函数，
而g(y)＝|12－y|在(－∞，y*]上是减函数，
所以y＝y*时，函数g(y)取得最小值．
点P的坐标是．
15.【解】：将函数表达式变形为：，
可以看作P（x，0）到点A（1，1）与到点B（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点P，使|PA|+|PB|最小．
因为．
它表示点P（x，0）到点A（1，1）的距离加上点P（x，0）到点B（2，2）的距离之和，
即在x轴上求一点P（x，0）与点A（1，1）、B（2，2）的距离之和的最小值．
由下图可知，可转化为求两点A＇（1，―1）和B（2，2）间的距离，其距离为函数f(x)的最小值．
所以f(x)的最小值为．
再由直线方程的两点式得A’B的方程为3x―y―4=0．令y=0，得．所以当时，f(x)的最小值为．
一、知识点
1.两点间的距离公式
两点间的距离公式为.
2.中点坐标公式
若两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，且线段的中点坐标为．
3.三角形的重心坐标公式
已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)，B（x2,y2）,C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为
二、典型例题
【例1】已知△ABC的顶点坐标为A(7,8)，B(10,4)，C(2,-4)，则BC边上的中线AM的长为
A．8 B．13 C． D．
【解】：由B(10,4)，C(2,-4)，得，，
即M坐标为(6,0)．
又A(7,8)，所以．
故选：D．
【例2】过点P（3，0）作一直线，使它夹在两直线l1：2x﹣y﹣2＝0与l2：x+y+3＝0之间的线段AB恰被
点P平分，则此直线的方程为 ．
【解答】：设点A（x，y）在l1上，
由题意知：线段AB的中点为P（3，0），所以点B（6﹣x，﹣y），
解方程组，得，
所以k8．
所以所求的直线方程为y＝8（x﹣3），即8x﹣y﹣24＝0．
故答案是：8x﹣y﹣24＝0．
三、巩固练习
1．已知线段AB的中点坐标是(－2，3)，点A的坐标是(2，－1)，则点B的坐标是( )
A．(－6，7) B．(6，7) C．(6，－7) D．(－6，－7)
2．已知点M(m,-1)，N(5,m)，且|MN|＝2，则实数m等于( )
A．1 B．3 C．1或3 D．－1或3
3．以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是( )
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．以A点为直角顶点的直角三角形
D．以B点为直角顶点的直角三角形
4．(多选题)直线x＋y－1＝0上与点P(－2，3)的距离等于的点的坐标是( )
A．(－4，5) B．(－3，4) C． (－1，2) D． (0，1)
5．已知A(5，2a－1)，B(a＋1，a－4)，当AB取最小值时，实数a的值是( )
A．－ B．－ C． D．
6.已知点A(1,2)，B(3,1)，则到A，B两点距离相等的点的坐标满足的条件是 ( )
A．4x＋2y＝5 B．4x－2y＝5 C．x＋2y＝5 D．x－2y＝5
7.已知A(－3,8)，B(2,2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是( )
A．(－1,0) B．(1,0) C. D.
8.两直线3ax－y－2＝0和(2a－1)x＋5ay－1＝0分别过定点A，B，则|AB|的值为( )
A. B. C. D.
9．已知A，B两点都在直线y＝2x－1上，且A，B两点的横坐标之差的绝对值为，则A，B两点间的距离为________．
10．设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且PA＝PB，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程为________．
11．已知函数y＝2x的图象与y轴交于点A，函数y＝lg x的图象与x轴交于点B，点P在直线AB上移动，点Q(0，－2)，则PQ的最小值为________．
12．直线l过点P(1，4)，且分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点．
(1)当|0A|+|0B|最小时，l的方程为________；
(2)若|PA|·|PB|最小，求l的方程为________．
13．已知平行四边形的三个顶点A（―2，1），B（―1，3），C（3，4），求第四个顶点D的坐标．
14．有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB＝AC＝13 km，BC＝10 km，今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处．(建立坐标系如图)
(1)若希望点P到三镇距离的平方和最小，点P应位于何处？
(2)若希望点P到三镇的最远距离最小，点P应位于何处？
已知函数，求f(x)的最小值，并求取得最小值时x的值．
四、答案与解析
1．【解】：设点B的坐标是(x，y)，则,解得,选A
2．【解】：因为|MN|＝＝，
所以＝2，即m2－4m＋3＝0，解得m＝1或m＝3，故选C．
3．【解】：|AB|＝＝，＝＝，
|BC|＝＝，
故|BC|2＝|AB|2＋|AC|2，所以△ABC为直角三角形且以A为直角顶点．故选C．
4．【解】：设所求点的坐标为(x0，y0)，有x0＋y0－1＝0，且 ＝，
两式联立解得或,故选BC．
5．【解】：AB＝＝，
所以当a＝时，AB取得最小值．故选C．
6.B
7.B
8.【解】：直线3ax－y－2＝0过定点A(0，－2)，直线(2a－1)x＋5ay－1＝0过定点B，由两点间的距离公式，得|AB|＝.故选C
9．【解】：设点A(a，2a－1)，点B(b，2b－1)，
因为|a－b|＝，所以AB＝＝|a－b|＝．
10．【解】：由已知，得A(－1，0)，P(2，3)，
由PA＝PB，得B(5，0)，由两点式得直线PB的方程为x＋y－5＝0．
11．【解】：易知A(0，1)，B(1，0)，所以直线AB：y＝1－x．设P(x0，y0)，
又y0＝1－x0，所以PQ＝＝＝，
当x0＝时，PQ取得最小值．所以PQ的最小值为．
12．【解】：(1)依题意，l的斜率存在，且斜率为负，
设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－4＝k（x-1)(k<0)．
令y＝0，可得A；令x＝0，可得B(0,4-k)．
|OA|+|OB|＝＋(4－k)＝5－＝5＋≥5＋4＝9．
所以当且仅当且k<0，即k＝－2时，
|OA|+|OB|取最小值，这时l的方程为2x＋y－6＝0．
(2)|PA|·|PB|＝＝≥8(k<0)，当且仅当且k<0，即k＝－1时，
|PA|·|PB|取最小值，这时l的方程为x＋y－5＝0．]
13．【解】：若构成的平行四边形为ABCD1，则AC为一条对角线，
设D1(x,y)，则由AC中点也是BD1中点，
可得，解得，所以D1(2,2)．
同理可得，若构成以AB为对角线的平行四边形ACBD2，则D2(-6,0)；以BC为对角线的平行四边形ACD3B，则D3(4,6)，
所以第四个顶点D的坐标为：（2，2），或（－6，0），或（4，6）．
14．【解】：(1)设P的坐标为(0，y)，则P至三镇距离的平方和为f(y)＝2(25＋y2)＋(12－y)2＝3(y－4)2＋146，
所以，当y＝4时，函数f(y)取得最小值，点P的坐标是(0，4)．
(2)设P至三镇的最远距离为g(y)＝
由≥|12－y|计算得出y≥，记y*＝，
于是g(y)＝
因为g(y)＝在[y*，＋∞)上是增函数，
而g(y)＝|12－y|在(－∞，y*]上是减函数，
所以y＝y*时，函数g(y)取得最小值．
点P的坐标是．
15.【解】：将函数表达式变形为：，
可以看作P（x，0）到点A（1，1）与到点B（2，2）的距离之和，即在x轴上求一点P，使|PA|+|PB|最小．
因为．
它表示点P（x，0）到点A（1，1）的距离加上点P（x，0）到点B（2，2）的距离之和，
即在x轴上求一点P（x，0）与点A（1，1）、B（2，2）的距离之和的最小值．
由下图可知，可转化为求两点A＇（1，―1）和B（2，2）间的距离，其距离为函数f(x)的最小值．
所以f(x)的最小值为．
再由直线方程的两点式得A’B的方程为3x―y―4=0．令y=0，得．所以当时，f(x)的最小值为．