2021-2022学年福建省福州市四校联盟高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校
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姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
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绝密★启用前
2021-2022学年福建省福州市四校联盟高二（下）期末数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
若复数满足，则复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
“”是的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
函数的定义域是( )
A. B. C. D.
函数的单调递增区间是( )
A. B. C. D.
我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象的特征，如函数的图象大致是( )
A. B.
C. D.
已知，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
下列选项中，与的值相等的是( )
A. B.
C. D.
有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶次，每次命中的环数如下：
甲
乙
在这次射击中，下列说法正确的是( )
A. 甲成绩的极差比乙成绩的极差大 B. 甲成绩的众数比乙成绩的众数大
C. 甲的成绩没有乙的成绩稳定 D. 甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大
已知四边形为正方形，平面，四边形与四边形也都为正方形，连接，，，点为的中点，下列结论正确的是( )
A. B. 与所成角为
C. 平面 D. 与平面所成角为．
在某社区兴办的“环保我参与”有奖问答比赛活动中，甲、乙、丙个家庭同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答对这道题的概率是，甲、丙个家庭都回答错的溉率是，乙、丙个家庭都回答对的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响，则下列说法正确的是( )
A. 乙家庭回答对这道题的概率为 B. 丙家庭回答对这道题的概摔为
C. 有个家庭回答对的概率为 D. 有个家庭回答对的概率为
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
函数，则______．
已知向量，满足，，则向量在上的投影向量为______．
已知函数部分图象如图所示，______．
函数的零点所在的区间是则______．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
月日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取名中学生进行调查，统计他们每日课外阅读的时长，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值，并估计名学生每日的平均阅读时间同一组中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值；
若采用分层抽样的方法，从样本在，内的学生中共抽取人来进一步了解阅读情况，再从中选取人进行跟踪分析，求抽取的这名学生来自不同组的概率．
本小题分
已知函数的最小值为．
求实数的值；
在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，求的长．
本小题分
已知向量，，函数．
求的最小正周期及图像的对称轴方程；
先将的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度得到函数的图像，若函数在区间内有两个零点，求的取值范围．
本小题分
如图，在正四棱柱中，已知，，
E、分别为D、上的点，且．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求点到平面的距离．
本小题分
已知函数，函数
若的定义域为，求实数的取值范围；
当时，函数的最小值为，求实数的值．
本小题分
党的十九大报告明确指出要坚决打赢脱贫攻坚战，让贫困人口和贫困地区同全国一道进入全面小康社会，要动员全党全国全社会力量，坚持精准扶贫、精准脱贫，确保到年我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作．经摸底排查，该村现有贫困农户户，他们均从事水果种植，年底该村平均每户年纯收入为万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其户数必须小于种植的户数．从年初开始，若该村抽出户从事水果包装、销售．经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为万元．
参考数据：，，，．
至年底，该村每户年均纯收入能否达到万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由；
至年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫即每户水果种植农户年均纯收入不低于万元，至少要抽出多少户从事包装、销售工作？
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，
．
故选：．
可以求出集合，然后进行交集的运算即可．
本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：，
在复平面内所对应的点位于第四象限．
故选：．
利用复数的运算法则、几何意义、共轭复数的定义即可得出．
本题考查了复数运算法则、几何意义、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，可以推出，但，如：，，，不能推出，
故“”是的充分不必要条件．
故选：．
根据充要条件的定义，一一分析即可．
本题考查充要条件的判断，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：，且，
解得，
故选：．
根据偶次根号下的被开方数大于等于零，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解再用集合或区间的形式表示出来．
本题考查了函数定义域的求法，即根据函数解析式列出使它有意义的不等式组，最后注意要用集合或区间的形式表示出来，这是易错的地方．
5.【答案】
【解析】解：函数，令，求得，
的单调递增区间，．
结合，可得函数的增区间为，
故选：．
利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的增区间，求得函数的单调递增区间．
本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的增区间，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，故函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除；
又，故排除．
故选：．
利用函数的奇偶性及特殊点的值，运用排除法得解．
本题考查函数图象的确定，考查函数性质的运用，考查数形结合思想，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由可得，
．
当且仅当时，等号成立，即．
所以的最小值为，
故选：．
将代入中，利用基本不等式求解即可．
本题考查了基本不等式及其应用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间直线与平面的位置关系，属于基础题．
运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，判断，；运用线面垂直的性质，结合线线垂直，判断，．
【解答】
解：若，，则，相交或平行或异面，故A错误；
若，，则，故B正确；
若，，则或，故C错误；
若，，则或或或与相交，故D错误．
故选：．

9.【答案】
【解析】解：因为，
，符合题意；
，符合题意；
，符合题意；
，不符合题意．
故选：．
结合诱导公式及和差角，二倍角公式分别进行化简，即可求解．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于选项A：甲成绩的极差为，乙成绩的极差为，所以甲成绩的极差比乙成绩的极差大，故选项A正确，
对于选项B：甲成绩的众数为，乙成绩的众数为，所以甲成绩的众数与乙成绩的众数相等，故选项B错误，
对于选项C：甲成绩的平均数为，方差为，
乙成绩的平均数为，方差为，
所以甲成绩的方差大于乙成绩的方差，所以甲的成绩没有乙的成绩稳定，故选项C正确，
对于选项D：甲成绩的中位数为，乙成绩的中位数为，故选项D错误，
故选：．
根据极差、众数、平均数和中位数的定义，逐个分析各个选项即可．
本题主要考查了数据的极差、众数、平均数和中位数，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题意将所得几何体补成一个正方体，如图，
以为坐标原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，，
对于，，，
，，故A正确；
对于，，，设，所成角为，
，解得，故B正确；
对于，，，，
设是平面的一个法向量，
，令，则，
，，平面，故C正确；
对于，由题意，平面，则，
由题意得，，
则平面，则是平面的一个法向量，
设与平面所成角为，，
，，
解得，故D错误．
故选：．
根据题意，将几何体补形为正方体，进而建立空间直角坐标系，通过空间向量的运算能求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.【答案】
【解析】解：设甲家庭对这道题为事件，乙家庭答对这道题为事件，丙家庭对这道题为事件，
则，且，即，
解得，，故A正确，B错误；
有个家庭回答对的概率为：
，故C正确；
有个家庭回答对的概率为：
，故D错误．
故选：．
设事件，列出方程组，解出，，计算有个家庭回答对的概率和有个家庭回答对的概率，逐一判断各选项能求出结果．
本题考查概率的运算，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
13.【答案】
【解析】解：，
则．
故答案为：．
结合分段函数的解析式，分别求出与即可．
本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：，，，，，
，
向量在上的投影向量为．
故答案为：．
根据向量在上的投影向量为，计算即可．
本题考查投影向量，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由图象可得，
所以，所以，
所以．
故答案为：．
由图象可求得函数的最小正周期，从而可求得．
本题主要考查由的部分图象确定其解析式，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：，，
根据零点存在定理，可得函数的零点所在的大致区间是
故．
故答案为：．
确定，，根据零点存在定理，可得结论．
本题考查零点存在定理，考查学生的计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：由频率分布直方图可得，，即，
这名学生每日的平均阅读时间分钟．
由频率分布直方图，可知样本在，内的学生频率分布为，，
样本在，采用分层抽样的比例为：，
抽取了人，，，抽取了人，，
则再从人中抽取人共有种不同的抽取方法，
抽取的人来自不同组共有种，
抽取的人来自不同组的概率．
【解析】由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为，即可求的值，再将各区间的中点乘以对应的频率，并求和，即可求解．
样本在，内的学生频率分布为，，即样本在，采用分层抽样的比例为：，再结合古典概型，即可求解．
本题考查了频率分布直方图的应用问题，频率、频数与样本容量的应用问题，以及古典概率的问题，属于基础题．
18.【答案】解：．
的最小值为，，解得．
由得，
，，
，解得，
，，
．
．
由正弦定理，得，得，即．
【解析】先结合二倍角及辅助角公式先对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的性质可求．
结合已知可求，结合和差角求出，再由正弦定理可求即．
本题主要考查了利用二倍角及辅助角公式化简三角函数解析式及正弦定理和和差角公式在求解三角形中的应用，属于基础试题．
19.【答案】解：向量，，函数，
，
故最小正周期为，
令，则，，故的对称轴方程为，，
根据题意将的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再向左平移个单位长度得到函数的图像，得，
又当时，在单调递增，在单调递减，故，
故的零点转化为与的交点问题，函数在区间内有两个零点，即与有两个交点，
则的取值为
【解析】利用诱导公式和辅助角公式可得，可解．
根据函数图象变换可得，将的零点转化为与的交点问题，利用三角函数性质可解．
本题考查三角函数图象变换以及三角函数最值问题，属于较难题．
20.【答案】解：Ⅰ如图，以为原点，、、所在直线分别为、、轴
建立空间直角坐标系，则，，，
，，，
，，
，
，，且
平面
Ⅱ由Ⅰ知，为平面的一个法向量
向量在上的射影长即为到平面的距离，设为
于是
故点到平面的距离
【解析】以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，写出要用的点的坐标，要证明线与面垂直，只要证明这条直线与平面上的两条直线垂直．
为平面的一个法向量，向量在上的射影长即为到平面的距离，根据点到面的距离公式得到结果．
本题是一个立体几何的综合题目，题目的第一问，用空间向量来证明，实际上若不是为了后一问应用方便，可以采用几何法来证明．
21.【答案】解：，
的定义域为，
恒成立，
当时，不符合，
，解得．
实数的取值范围为；
由题意，令，．
则函数化为，．
当时，
可得当时取最小值，且，
由，解得舍；
当时，
可得当时取最小值，且，
由，得舍或；
时，
可得当时取最小值，且，
由，得舍．
综上，．
【解析】由恒成立，得关于的不等式组，求解得答案；
令，，可得，，根据二次函数的定义域和对称轴的关系分类讨论求最小值，进一步求得实数的值．
本题主要考查函数的定义域及其求法，训练了利用换元法求二次函数的最值，考查分类讨论的数学思想方法，是中档题．
22.【答案】解：假设至年底每户年均纯收入能达到万元，由已知可得：
每户的平均收入为：，
令，
化简，得，解得：，
因为，，且，可得：，
所以，当从事包装、销售的户数为，，，，，户时能达到每户平均纯收入万元．
由已知可得：至年底，种植户每户平均收入为，
令，得：，
由题所给数据，知：，所以，，
所以，的最小值为，，
即至少抽出户从事包装、销售工作．
【解析】假设至年底每户年均纯收入能达到万元，由已知可得每户的平均收入为：，由此能求出当从事包装、销售的户数为，，，，，户时能达到每户平均纯收入万元．
由已知可得：至年底，种植户每户平均收入为，由题意得：，由此能示出至少抽出户从事包装、销售工作．
本题考查从事包装、销售的户数的求法，考查函数在生产生活中的应用等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
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