2021-2022学年福建省泉州市鲤城区北大培文学校高二（下）期末数学试卷（Word解析版）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
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绝密★启用前
2021-2022学年福建省泉州市鲤城区北大培文学校高二（下）期末数学试卷
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
已知正数，满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
集合中的角所表示的范围阴影部分是( )
A. B.
C. D.
函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
曲线在点处的切线方程为( )
A. B.
C. D.
名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
在明代程大位所著的算法统宗中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食斗升，三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
下列函数在定义域内是增函数的有( )
A. B.
C. D.
若圆：与圆：的公共弦的长为，则下列结论正确的有( )
A.
B. 直线的方程为
C. 中点的轨迹方程为
D. 圆与圆公共部分的面积为
已知三个正态分布密度函数的图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
如图，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点且三组对边分别平行，点，是“六芒星”如图的两个顶点，动点在“六芒星”上内部以及边界，若，则的取值可能是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
是虚数单位，复数 ．
已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为 ．
函数的最小正周期是______．
已知点和抛物线：，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知公差不为的等差数列中，，是和的等比中项．
求数列的通项；
令，求数列的前项和．
本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，．
求角的大小；
若，求的面积．
本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，为上一点，且．
证明：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
本小题分
年月，江苏省发布了高考综合改革实施方案，试行“”高考新模式为调研新高考模式下，某校学生选择物理或历史与性别是否有关，统计了该校高三年级名学生的选科情况，部分数据如表：
性别
科目 男生 女生 合计
物理
历史
合计
根据所给数据完成上述表格，并判断是否有的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；
该校为了提高选择历史科目学生的数学学习兴趣，用分层抽样的方法从该类学生中抽取人，组成数学学习小组一段时间后，从该小组中抽取人汇报数学学习心得记人中男生人数为，求的分布列和数学期望．
附：．
本小题分
已知函数．
Ⅰ求的极值；
Ⅱ若在时有解，求实数的取值范围．
本小题分
椭圆的左右焦点分别为，，其中，为原点．椭圆上任意一点到，距离之和为．
求椭圆的标准方程及离心率；
过点的斜率为的直线交椭圆于、两点．求的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查交集和并集的求法，考查指数不等式的解法，属于基础题．
先求出集合，再求出和，由此能求出结果．
【解答】
解：集合，
，
，所以A正确，D错误，
，所以和都错误，
故选A．

2.【答案】
【解析】解：，
，
当且仅当即时等号成立，
的最小值为．
故选：．
先把转化成展开后利用均值不等式即可求得答案，注意等号成立的条件．
本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．基本不等式一定要把握好“一正，二定，三相等”的原则．属于中档题．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查象限角、轴线角的表示方法，体现了数形结合、分类讨论的数学思想．
先看当取偶数时，角的终边所在的象限，再看当取奇数时，角的终边所在的象限，把二者的范围取并集．
【解答】
解：当取偶数时，比如时，，故角的终边在第一象限．
当取奇数时，比如时，，故角的终边在第三象限．
综上，角的终边在第一、或第三象限．
故选 C．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的性质和赋值法的应用，属于基础题．
直接利用函数的奇偶性和特殊值求出结果．
【解答】
解：根据函数的解析式，，
得到函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除和．
当时，函数的值为，故排除．
故选D．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，熟记基本初等函数的导函数是关键，属于基础题．
求出原函数的导函数，得到导函数在时的函数值，即切线斜率，再由点斜式直线方程得答案．
【解答】
解：由，得，
，
曲线在点处的切线方程为，
即．
故选：．

6.【答案】
【解析】解：因为每名同学只去个场馆，甲场馆安排名，乙场馆安排名，丙场馆安排名，
甲场馆从人中挑一人有：种结果；
乙场馆从余下的人中挑人有：种结果；
余下的人去丙场馆；
故共有：种安排方法；
故选：．
让场馆去挑人，甲场馆从人中挑一人有：种结果；乙场馆从余下的人中挑人有：种结果；余下的人去丙场馆；相乘即可求解结论．
本题考查排列组合知识的应用，考查运算求解能力，是基础题．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二项式定理，以及二项展开式的特定项系数，属于基础题．
利用二项展开式的通项直接求解即可．
【解答】
解：的展开式的通项为，
则的展开式中的系数为：
．
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等比数列的前项的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
设羊、马、牛吃的青苗分别为，，，则是公比为的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食．
【解答】
解：设羊、马、牛吃的青苗分别为，，，
则是公比为的等比数列，
，
解得，
羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿升，升，升粮食．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：因为，所以单调递增，又因为为奇函数，所以在上单调递增，故选项A正确，
当时，，在单调递增，
当时，在单调递增，但，
所以在上不是单调递增函数，故选项B不正确，
在上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故选项C正确，
恒成立，所以在单调递增，故选项 D正确，
故选：．
由题意逐一考查所给的函数是否在定义域内具有单调性即可．
本题主要考查了由函数的性质，或利用导数判断函数的单调性，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：两圆方程相减可得直线的方程为，即，
因为圆的圆心为，半径为，且公共弦的长为，则到直线的距离为，
所以，解得，
所以直线的方程为，故A错误，B正确；
由圆的性质可知直线垂直平分线段所以到直线的距离即为中点与点的距离，
设中点坐标为，因此，即，故C正确；
因为，所以，即圆中弧所对的圆心角为，所以扇形的面积为，
三角形的面积为，
所以圆与圆公共部分的面积为，故D错误．
故选：．
两圆方程相减求出直线的方程，进而根据弦长求得，即可判断选项；然后由圆的性质可知直线垂直平分线段进而可得到直线的距离即为中点与点的距离，从而可求出中点的轨迹方程，因此可判断选项；对应扇形的面积减去三角形的面积乘以即可求出圆与圆公共部分的面积，即可判断选项．
本题考查圆与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，因为是对称轴，观察图象可知：，
而与的图象可以相互平移得到，且的图象显得更“矮胖”，
故．
故选：．
根据正态分布曲线的性质，即对称轴为；表示的是标准差，反映在图象的“高瘦”或“矮胖”，由此分析选项，即可得答案．
本题考查正态分布曲线的性质，注意正态曲线的含义，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：如图，
设，，求的最大值，只需考虑图中个顶点的向量即可，讨论如下：
若点在点处，，；
若点在点处，，；
若点在点处，，；
若点在点处，，；
若点在点处，，；
若点在点处，，．
的最大值为．
根据其对称性，可知的最小值为．
故的取值范围是，
观察选项，选项B、均符合题意．
故选：．
根据题意，画出图形，结合图形，得出求的最大值时，只需考虑图中个顶点的向量即可，分别求出即得结论．根据其对称性，可知的最小值．
本题考查了平面向量的加法运算及其几何意义问题，解题时应根据题意，画出图形，结合图形解答问题．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算，属于基础题．
利用复数的四则运算法则，直接计算即可得出答案．
【解答】
解：
，
故答案为：．

14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了扇形的面积计算公式，属于基础题．
利用即可得出．
【解答】
解：．
故答案为．

15.【答案】
【解析】解：，
最小正周期．
故答案为：．
根据已知条件，结合三角函数的二倍角公式，以及周期公式，即可求解．
本题考查了三角函数的二倍角公式，以及周期公式，属于基础题．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的应用，解题的难点是本题具有较大的计算量．
由已知可求过，两点的直线方程为，然后联立直线与抛物线方程组可得，，可表示出，，，，由，再由，代入整理可求．
【解答】
解：抛物线：的焦点为，
过，两点的直线方程为，
联立可得，，
，
设，，
则，，
，
，
，
，，
，
，
整理可得，，
，
即，
，
故答案为．

17.【答案】解：设等差数列的公差为．
由于，
所以，
解得．
所以．
由得，
所以．
【解析】直接利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；
利用裂项相消法在数列求和中的应用求出数列的和．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，裂项相消法的求和，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
18.【答案】解：因为所以由正弦定理可得，
又所以，
因为，所以所以，
所以；
由余弦定理，得，
又，所以，
由三角形面积公式得三角形的面积为．
【解析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据不为求出的值，即可确定的度数；
利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形后，将与的值代入求出的值，再由的值，利用三角形的面积公式即可求出三角形面积即可．
本题考查了正弦、余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
19.【答案】证明：在四棱锥中，
平面，平面，
，
在直角梯形中，，，
，，
，
，
，
又，平面，平面，
平面，
平面，
平面平面；
解：建立如图空间直角坐标系：
平面，平面，
，
，，
，
为上一点，且，
，
易知，，，，
则，，，
设是平面的法向量，
则，即，所以可取，
，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】根据线面垂直的定义可证，利用勾股定理可证，进而说明平面；
利用空间向量求线面夹角．
本题考查了面面垂直的证明和线面角的计算，属于中档题．
20.【答案】解：根据所给数据完成列联表：
性别
科目 男生 女生 合计
物理
历史
合计
，
有的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关．
按照分层抽样的方法，抽取男生人，女生人，
随机变量的所有可能取值为，，，
，
，
，
的分布列为：


．
【解析】本题考查独立性检验的应用、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
根据所给数据完成列联表，求出，从而有的把握认为该校学生选择物理或历史与性别有关；
按照分层抽样的方法，抽取男生人，女生人，随机变量的所有可能取值为，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和．
21.【答案】解：Ⅰ对函数求导，，令，解得，
故函数在单调递增，单调递减，
故在处取得极小值，无极大值；
Ⅱ，
即在上有解，
在上有解，
令，
则，
由Ⅰ可知，当时，，即
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以当时，取得最小值，
所以，
故实数的取值范围为．
【解析】Ⅰ对函数求导，令其导函数大于，找出函数单调区间，求出函数极值即可；
Ⅱ首先将原不等式转化为，再构造函数，求出的最大值即可．
本题考查了导数的综合应用，利用导数求解函数的极值以及最值的应用，利用导数研究不等式恒成立问题或有解问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于难题．
22.【答案】由题意可得，，
所以椭圆的标准方程为，离心率为．
直线的方程为，代入椭圆方程得，设，，
则，
，
又点到直线的距离，
，
即的面积为．
【解析】根据题意和椭圆的定义可知，，再根据，即可求出，由此即可求出椭圆的方程和离心率；
求出直线的方程，将其与椭圆方程联立，设，，求出，，根据弦长公式求出的长度，再根据点到直线的距离公式求出点到直线的距离，再根据面积公式即可求出结果．
本题主要考查椭圆方程的求解，椭圆离心率的求解，椭圆中的面积问题，直线与椭圆的位置关系等知识，属于中等题．
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