2021-2022学年甘肃省定西市临洮县高二（下）开学数学试卷（理科）（Word解析版）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校
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姓名：
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班级：
___________
考号：
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绝密★启用前
2021-2022学年甘肃省定西市临洮县高二（下）开学数学试卷（理科）
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
下列有关命题的叙述错误的是( )
A. 对于命题 ：，，则为：，
B. 命题“若，则 ”的逆否命题为“若 ，则”
C. 若 为假命题，则 ， 均为假命题
D. “”是“”的充分不必要条件
已知两定点，，动点满足，则当和时，点的轨迹为( )
A. 双曲线和一条直线 B. 双曲线和一条射线
C. 双曲线的一支和一条直线 D. 双曲线的一支和一条射线
下列求导运算正确的是( )
A. B.
C. D.
顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是( )
A. B.
C. 或 D. 或
若，则直线与平面的位置关系是( )
A. 相交 B. 平行 C. 在平面内 D. 平行或在平面内
记数列的前项和为，且，则( )
A. B. C. D.
在中，，，，则角的值为( )
A. B. C. D.
在长方体中，下列关于的表达中错误的一个是( )
A. B.
C. D.
若函数在上是增函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
如果椭圆的离心率为，则( )
A. B. 或 C. D. 或
若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
空间四边形中，，，则，的值是( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
设实数，满足，则的最小值是______．
若函数在处取极值，则______．
若点为双曲线上的一点，且，为其焦点，且，则______．
若，且，则的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
已知：，不等式恒成立，：椭圆的焦点在轴上．若命题为真命题，求实数的取值范围．
已知数列是一个等差数列，且，．
求的通项；
求前项和的最大值．
已知、、为的三内角，且其对边分别为、、，若．
求；
若，，求的面积．
已知函数，
求在处的切线方程
若存在时，使恒成立，求的取值范围．
已知椭圆的两焦点为、，离心率为
求椭圆的标准方程；
设点在椭圆上，且，求．
如图在底面是直角梯形的四棱锥中，，面，，，求面与面所成二面角的正切值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：命题 ：，的否命题为：，，故A正确；
命题“若，则 ”的逆否命题为“若 ，则”，故B正确；
若 为假命题，则 ，中至少有一个为假命题，故C不正确；
由，得或，所以由能推出，反之不成立，所以是的充分不必要条件，故命题D正确．
故选C．
选项A考查特称命题的否定，特称命题的否定为全称命题；
选项B考查命题的逆否命题，一个命题的逆否命题，是把原命题的结论否定当条件，条件否定当结论；
选项C是复合命题的真假判断，两命题中只要有一个为假，则为假；
选项D看由能否推出，反之，看能否成立．
本题考查了复合命题的真假判断、特称命题的否定、命题的逆否命题、充分必要条件等知识，解答此题的关键是牢记有关概念及格式，属常规题型，也是基础题型．
2.【答案】
【解析】解：当时，点满足，依照双曲线的定义，点的轨迹是双曲线的一支，当时，点满足，故点的轨迹是一条射线，
综上，点的轨迹是双曲线一支和一条射线．
故选：．
当时，由题中条件及双曲线的定义知，点的轨迹是双曲线的一支，当时，点的轨迹是一条射线．
本题主要考查了双曲线的定义，轨迹方程问题．考查了学生对基础知识的综合运用．
3.【答案】
【解析】解：对于，，故A错误，
对于，
对于，，故C错误，
对于，，故D错误．
故选：．
根据已知条件，结合导数求导的公式，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查抛物线的标准方程，得到所求抛物线标准方程的类型是关键，考查待定系数法，属于中档题．
依题意，设抛物线的标准方程为或，将点的坐标代入抛物线的标准方程，求得即可．
【解答】
解：抛物线的顶点在原点，且过点，
设抛物线的标准方程为或，
将点的坐标代入抛物线的标准方程得：，
，
此时抛物线的标准方程为；
将点的坐标代入抛物线的标准方程，同理可得，
此时抛物线的标准方程为．
综上可知，顶点在原点，且过点的抛物线的标准方程是或．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：在平面中，
由于和为平面内任一向量的基底，所以当，
所以在平面内．
当和共线，则和平面平行．
故选：．
直接利用向量的基本定理的应用和线面平行的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：向量的共线的应用，线面平行的判定的应用，主要考查学生的空间想象能力，属于基础题型．
6.【答案】
【解析】解：，
，
故选A
先根据题设中递推式求得，进而根据求得答案．
本题主要考查了数列求和问题．属基础题．
7.【答案】
【解析】解：根据正弦定理得：，又，，，
所以，由，得到，即为锐角，
则角的值为：．
故选：．
由，及的值，利用正弦定理即可求出的值，然后由为钝角，得到角为锐角，利用特殊角的三角函数值和的值即可求出角的值．
此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，牢记特殊角的三角函数值，是一道基础题．学生做题时注意判断角的范围．
8.【答案】
【解析】解：，A正确；
，B错误；
，C正确；
，D正确．
故选B．
根据向量的加法运算和相等向量即可找到正确选项．
考查向量的加法运算，和向量的相等．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二次函数的图象和性质，考查了导函数在求解含有参数问题中的应用，是中档题．
求出函数的导函数，由导函数在大于等于恒成立解答案．
【解答】
解：由，得，
令，
要使函数在是增函数，
则在大于等于恒成立，
，
当时，，在上为增函数，则有，解得，舍；
当时，在上为增函数，则，解得，；
当时，同理分析可知，满足函数在是增函数的的取值范围是舍．
故选：．

10.【答案】
【解析】解：椭圆的离心率为，
可得，或，解得或．
故选：．
利用椭圆的离心率，列出方程求解即可．
本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为，，，
椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等比数列，
，，成等比数列，
，
，
两边同除以得：，
解得，，
故选：．
设出椭圆的焦距、短轴长、长轴长分别为，，，通过椭圆的，，是等比数列建立关于，，的等式，求出椭圆的离心率即可．
本题考查椭圆的基本性质，等比数列性质的应用，考查计算能力，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：，
，
，，
故选：．
利用，以及两个向量的数量积的定义化简，的值，
本题考查两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用．
13.【答案】
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
由，得，由图可知，当直线与直线重合时，
直线在轴上的截距最大，有最小值为，
故答案为．
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，结合题意得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：，，
，
若函数在处取极值，
则，解得：，
经检验，符合题意，
故答案为：．
求出函数的导数，得到，得到关于的方程，解出即可．
本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用，是一道基础题．
15.【答案】或
【解析】解：双曲线中，
，在双曲线的左或右支上
由双曲线的定义可得
或
故答案为：或．
确定在双曲线的左或右支上，由双曲线的定义可得结论．
本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的定义，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：
当且仅当，即，时，取等号．
故答案为：．
先将乘以展开，然后利用基本不等式求出最小值，注意等号成立的条件．
本题主要考查了利用基本不等式求最值，要注意：一正、二定、三相等，属于基础题．
17.【答案】解：：，不等式恒成立，
，
即，
解得：；
：椭圆的焦点在轴上，
，
解得：，
由为真知，，皆为真，
解得．
【解析】通过不等式恒成立求出中的范围；椭圆的焦点在轴上求出的范围，利用命题为真命题，求出的交集即可．
本题考查不等式恒成立问题，椭圆的简单性质，命题的真假的判断，是综合性比较高的问题，考查转化思想以及计算能力．
18.【答案】解：由题意可得公差，
所以
；
，，
当时，前项和取得最大值，最大值为．
【解析】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，考查运算能力，属于基础题．
由题可得公差，再由通项公式，即可得到所求；
根据等差数列前项和公式可得，根据二次函数图象及性质可得答案．
19.【答案】解：，
，
又，
，
，
．
由余弦定理，
可得：，
可得：，
解得：，
．
【解析】利用两角和的余弦函数公式可得，结合范围，可得，根据三角形内角和定理可求的值．
由余弦定理结合已知可得，利用三角形面积公式即可计算得解．
本题主要考查了两角和的余弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
20.【答案】解：由，可得，
所以，．
所以在处的切线方程为，即；
令，
则，
令，，
，
在上单调递增，
，
．
【解析】求出函数的导函数，确定切线的斜率，即可求在处的切线方程
先把不等式成立转化为成立，设，，利用导函数求出在上的最大值即可求实数的取值范围．
本题主要研究利用导数求闭区间上函数的最值以及函数恒成立问题．当恒成立时，只需要求的最大值；当恒成立时，只需要求的最小值．
21.【答案】解：设椭圆方程为----分
由题设知，，分
所求椭圆方程为分
由知由椭圆定义知，
，
又分
，分
由余弦定理分
，分
【解析】利用待定系数法，求椭圆的标准方程；
设点在椭圆上，且，由知由椭圆定义知，利用余弦定理求．
本题考查椭圆的方程与性质，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，
延长交轴于点，则，
作于点，连接，则
由于且，得，
，
，
，
故面与面所成二面角的正切值为．
【解析】建立空间直角坐标系，延长交轴于点，作于点，连接，利用向量的夹角公式，即可求得结论、
本题考查面面角，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
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