2021-2022学年陕西省西安市雁塔二中渭北中学高二（下）期末数学试卷（理科）（Word解析版）

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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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学校
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姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
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绝密★启用前
2021-2022学年陕西省西安市雁塔二中渭北中学高二（下）期末数学试卷（理科）
第I卷（选择题）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知，则函数的定义域是( )
A. B. C. D.
函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
已知三个函数，，，则( )
A. 对任意的，三个函数定义域都为
B. 存在，三个函数值域都为
C. 对任意的，三个函数都是奇函数
D. 存在，三个函数在其定义域上都是增函数
在下列结论中，正确的是( )
A. “”是“”的必要不充分条件
B. 若为真命题，则，均为真命题
C. 命题“若，则”的否命题为“若，则”
D. 已知命题：，都有，则：，使
若函数是上的减函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
函数是上的偶函数，若对任意，都有，当时，，则的值为．( )
A. B. C. D.
若不等式对于一切恒成立，则的最小值是( )
A. B. C. D.
函数的部分图象大致是( )
A. B.
C. D.
若函数，在上的最大值为，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是减函数，令，，，则，，的大小关系为( )
A. B.
C. D.
已知是定义域为的函数，满足，，当时，，则下列说法错误的是( )
A. 函数是偶函数
B. 函数的最小正周期为
C. 当时，函数的最小值为
D. 方程有个根
已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
已知二项式的展开式中，所有项的系数之和为，则该展开式中的常数项是______ ．
年北京冬奥会即将开幕，某校名学生报名担任志愿者．将这名志愿者分配到个比赛场馆，每个比赛场馆至少分配一名志愿者，则所有分配方案共有______种．用数字作答
已知命题：关于的方程有实根；命题：关于的函数在上是增函数，若是真命题，则实数的取值范围是______ ．
命题“，使得”为假命题，则的取值范围为______．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
计算：
；
某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积单位：和材积量单位：，得到如下数据：
样本号 总和
根部横截面积
材积量
并计算得，，．
估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数精确到；
现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数，．
已知二次函数满足且，
求二次函数的解析式．
求函数的单调增区间和值域．
手机用户可以通过微信查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的比较或点赞．现从小华的朋友圈内随机选取了人，记录了他们某一天的行走步数，并将数据整理如表：
以上
男
女
若某人一天的行走步数超过则被评定为“积极型”，否则被评定为“懈怠型”．
根据题意完成下面的列联表，并据此判断能否有的把握认为“评定类型”与“性别”有关；
积极型 懈怠型 总计
男
女
总计
附：
，其中；
在被评定为“积极型的对象中采用分层抽样的方法从样本中抽取人，再从中随机抽取人，求抽到女性“积极型”人数的概率分布列和数学期望．
设函数．
讨论函数的单调性；
当时，
求函数在上的最大值和最小值；
若存在，，，，使得成立，求的最大值．
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线的极坐标方程为，直角坐标系中曲线的参数方程为为参数，．
求曲线的直角坐标方程；
设曲线与直角坐标系的轴和轴分别交于点和点、都异于原点，点为曲线上的动点．求面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是基础题．
根据二次根式的性质求出的定义域，从而求出的定义域即可．
【解答】
解：由题意得：
，解得：，
故的定义域是，
由，解得：且，
故函数的定义域是，
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了函数的图象和性质，求出函数恒过点是关键，属于基础题．
先判断函数的单调性，再判断函数恒经过点，问题得以解决．
【解答】
解：当时，函数为减函数，
当时，函数为增函数，
且当时，，即函数恒过点，
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
由指数函数、对数函数、幂函数的性质逐一判断即可．
本题主要考查基本初等函数的定义域、值域、单调性和奇偶性，属于基础题．
【解答】
解：若且时，的定义域为，故A错误；
对任意的，函数，值域不是，故B错误；
对任意的，且时，，都是非奇非偶函数，故C错误；
当时，函数，，在其定义域上都是增函数，故D正确．
故选：．

4.【答案】
【解析】解：对于，时，则成立，但是当时，或．
所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误；
对于，若为真命题，则，至少一个为真命题，故B错误；
对于，“若，则”的否命题为“若，则”，故C错误；
对于，命题：，都有，则：，使，故D正确．
故选：．
对于，解不等式，可知不正确；
对于，命题与命题一个为真命题、一个为假命题时，可得命题“”是真命题，所以不正确；
对于，只否定了结论，没有否定条件，故C不正确；
对于，根据命题的否定的概念，可知D正确．
本题考查了命题真假的判断，充分、必要条件，特称命题的否定，原命题的否命题，复合命题与简单命题的关系等知识，是基础题．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查分段函数的单调性，由分段函数的单调性确定参数取值范围的方法等知识，属于中等题．
由题意得到关于的不等式，求解不等式即可确定实数的取值范围．
【解答】
解：由题意可得：
，解得：；
，解得：，
当时，，解得：，
综上可得，实数的取值范围是．
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性和周期性的定义和运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
分别由函数的奇偶性和周期性的定义，结合对数的运算性质可得所求和．
【解答】
解：由函数是上的偶函数，可得，
若对任意，都有，可得的最小正周期为，
则，
由时，，可得，，
则．
故本题选C．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查不等式的恒成立问题，考查函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题．
由题意可得对于一切恒成立，求得最小值，令不大于最小值即可．
【解答】
解：不等式对于一切恒成立，
即有对于一切恒成立．
由于，当时，函数递减．
则当时，取得最小值且为，
则有，解得．
则的最小值为．
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了函数的图象，考查了三角恒等变换，导数与函数的极值，属于中档题．
根据函数的奇偶性可以排除，排除，再根据间的极大值是否大于排除．
【解答】
解：，
为奇函数，故排除；
当时，，故排除；
当时，，
令，
设当时，，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，为上的最大值．
因为，解得或舍，
又，
所以，
，
而选项在的最大值大于，排除；
故选：．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查分段函数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，是基本知识的考查．
利用分段函数的单调性，结合已知条件求解即可．
【解答】
解：函数，
时，函数是增函数；
函数是增函数，
因为，，所以的取值范围为：．
故选：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查函数的奇偶性与周期性的应用，注意分析函数的周期，属于基础题．
根据题意，分析可得，即函数的图象关于直线对称，进而可得在区间上为增函数，分析、、的值，据此分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，定义在上的奇函数满足，则有，
即函数的图象关于直线对称，
又由在区间上是减函数，则在区间上为增函数，
，
则，
又由，则，则
，则，
，则，
则有；
故选：．

11.【答案】
【解析】解：因为是定义域为的函数，
由，则，
又，
所以，即，
所以，所以函数是偶函数，故A正确；
由，根据周期的定义可知函数的最小正周期为，故B正确；
当时，，
函数的最小值为，
由，所以为对称轴，
所以当时，函数的最小值为，故C不正确；
作出时与的图像，由图像可知时，函数有个交点，

又与均为偶函数，
由对称性可知方程有个根，故D正确．
故选：．
利用偶函数的定义判断；
利用函数周期的定义判断；
根据对称性以及二次函数的性质可判断；
利用数形结合的判断．
本题考查了函数的奇偶性、对称性、周期性及数形合思想，作出图象是解答本题的关键，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：设，则，
化为，作出的图象，
由图知，若关于的方程有个不相等的实数根，
则关于的方程有两个不等实根．
设，
，
则由图知，，解得：，
故选：．
若关于的方程有个不相等的实数根，转化成关于的方程有两个不等实根，结合图形即可求解．
本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了转化的思想和数形结合的思想，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：二项式的展开式中，所有项的系数之和为，．
它的通项公式为，
令，可得，
故二项式的展开式的常数项为，
故答案为：．
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项．
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题．
14.【答案】
【解析】
【分析】根据题意，分步进行分析，先将人分为、、的三组，再将分好的组对应个场馆，计算可得答案．
本题考查排列的运用，关键是根据每个场馆至少分配一名志愿者的要求，将人分为、、的三组．
【解答】
解：根据题意，将人分到个不同的北京冬奥场馆，要求每个场馆至少分配人，
则必须且只能有个场馆分得人，其余的个场馆各人，
可先将人分为、、的三组，有种分组方法，
再将分好的组对应个场馆，有种方法，
则共有种分配方案，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了复合命题真假的判定方法、函数的性质、一元二次的实数根与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
根据条件求出命题，为真命题的等价条件，结合复合命题真假关系进行求解即可．
【解答】
解：命题：关于的方程有实根，则，
解得或．
命题：关于的函数在上是增函数，
，解得．
若是真命题，
则，同时为真命题，
则
即或，
故答案为．

16.【答案】
【解析】解：由题意可知，命题“，使得”为真命题
所以对于恒成立
令，则在上恒成立，所以单调递增．
所以，即
所以的取值范围为．
故答案为：．
先根据存在性命题是假命题，改写成全称命题为真命题，再参变分离，构造函数，并利用导数求出该函数的最大值即可．
本题考查了存在性命题与全称命题的否定，利用导数求函数在闭区间上的最大值等知识点，还有参变分离的方法，解题的关键是转换思维，将存在性的假命题，改写成全称命题，难度不大．
17.【答案】解：原式．
原．
【解析】利用指数运算法则即可得出．
利用对数运算法则即可得出．
本题考查了指数与对数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
18.【答案】解：样本中棵这种树木的根部横截面积的平均值，
样本中棵这种树木的材积量的平均值，
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，
平均一棵的材积量为；
，
，
所以，
所以样本相关系数；
设该林区这种树木的总材积量的估计值为，
由题意可知，该种树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，所以，
所以，
即该林区这种树木的总材积量的估计值为．
【解析】计算出样本的一棵根部横截面积的平均值及一棵材积量平均值，即可估计该林区这种木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量：
代入题给相关系数公式去计算即可求得样本的相关系数值；
依据树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，列方程即可求得该林区这种树木的总材积量的估计值．
本题主要考查了线性回归方程相关系数的计算，属于中档题．
19.【答案】解：由，设，
，
，
，
由知，
令，则；
在递减，在递增；
在上是减函数，
的单调递增区间是，单调递减区间是．
，由，
所以，即的值域为．
【解析】依题意设，，代入已知等式，建立，方程关系，求解即可；
令根据求出单调区间，再由在上单调递减，结合复合函数的单调性，得出的单调区间，即可求出的值域．
本题考查待定系数法求解析式、指数型函数的单调性和值域，掌握基本初等函数的性质是解题的关键，属于中档题．
20.【答案】解：列联表如下：
积极型 懈怠型 总计
男
女
总计
，
有的把握认为“评定类型”与“性别”有关．
人中男生“积极型”有人，女生“积极型”有人，
抽取比例为：，抽取男生人，女生人，的所有可能取值为，，，，
，，
，，
故的分布列如下：
．
【解析】由表格中的数据，即可求出列联表，再结合独立性检验公式，即可求解．
的所有可能取值为，，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
21.【答案】解：函数，则，
当时，，所以函数在上单调递增；
当时，令，得，
当时，，所以函数在上单调递增，
当时，，所以函数在上单调递减，
综上所述：
当时，函数在上单调递增；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减．
当时，
由知函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
又，，
所以，
综上所述：函数在上的最大值为，最小值为．
因为当时，，，
所以，且，
又，
所以，
所以，
令，
则，
故的最大值为．
【解析】本题考查利用导数研究恒成立与存在性问题、利用导数求函数的最值不含参、利用导数求函数的单调区间含参，属于较难题．
根据函数的解析式求出，分和两类情况，利用导数求函数的单调区间．
利用导数判断函数在上的单调性，从而求函数的最小值，结合在端点处的函数值求出其最大值．由题意结合函数在上的最值可得，由此即可求出的最大值．
22.【答案】解：线的极坐标方程为，根据，整理得，转换为标准式为．
直角坐标系中曲线的参数方程为为参数，，转换为直角坐标方程为；
圆与轴的交点坐标为和故直线的方程为；
设曲线上的点，
利用点到直线的距离公式，
当时，，
所以的最大值为．
【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换和余弦型函数性质的应用及三角形的面积公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数的关系式的变换，余弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
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