4.2.3 二项分布与超几何分布 教学设计

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4.2.3 二项分布与超几何分布 教学设计
学习目标
1.理解n次独立重复试验的模型,掌握二项分布,并能利用它们解决一些简单的实际问题.
2.理解超几何分布的意义,能够利用超几何分布的概率公式解决实际问题.
3.通过本节的学习,体会模型化思想在解决问题中的作用,感受概率在生活中的作用,提高数学应用能力.
重点难点
重点：理解n次独立重复试验的模型,掌握二项分布和超几何分布
难点：体会模型化思想在解决问题中的作用
知识梳理
离散性随机变量的分布列：反应随机变量所有可能的取值，及每一个值对应的概率的大小
1.独立重复试验
独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有两种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．
[注意] 独立重复试验满足什么条件
(1)每次试验是在相同的条件下进行的（概率相同）;
(2)各次试验的结果互不影响,即每次试验是相互独立的;
(3)每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生.
比如抛10次硬币，可以看作是做了10次独立重复试验，相同条件、每一次试验结果互不影响（第一次抛到正面还是反面不影响第二次结果）、只有两种结果
2.二项分布
在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数。设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k (k＝0,1,2，…，n)，此时称随机变量X服从二项分布，记为X～B(n，p)，并称P为成功概率．
0 1 k n
[注意]
1.二项分布,当X服从二项分布时,应弄清X~B(n,p)中的试验次数n与成功概率p.
2.解决二项分布问题的关键
对于公式P(X=k)= pk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用,否则不能应用该公式.
3、超几何分布
1.定义:一般地,若有总数为N件的甲、乙两类物品,其中甲类有M件(MX 0 1 … m
P …
其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
如果一个随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．
2.特征
（1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数
（2）考察对象分两类
（3）已知各类对象的个数
（4）从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的概率分布.,超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型
二项分布 超几何分布
定义（N为有限个） 设有N件产品，其中有M件次品。从中有放回任取n (n≤N)件产品，则其中恰有的次品件数X是服从二项分布的。（N为有限个） 设有N件产品，其中有M件次品。从中无放回任取n (n≤N)件产品，则其中恰有的次品件数X是服从超几何分布的。
公式 P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，m)
每次试验互相独立（放回，无影响） 每次试验互相影响
题目关键词 频率~无限个（样本估计总体） 超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型
【教材例题】1. 已知某种药物对某种疾病的治愈率为，现有甲、乙、丙、丁4个患有该病的患者服用了这种药物，观察其中有多少患者会被这种药物治愈.
（1）这能否看成独立重复实验？
（2）求出甲、乙、丙都被治愈而丁没被治愈的概率；
（3）求出恰有3个患者被治愈的概率；
（4）设有X人被治愈，求X的分布列.
（1）不难看出，4个患者是否会被治愈是相互独立的，因此尝试与发现中的情形可以看成4次独立重复试验如果用分别表示甲被治愈、乙被治愈、丙被治愈、丁被治愈，则不难看出．
（2）此时，甲乙丙都被治愈而丁没被治愈可以表示为，
因此由独立性可知
（3）注意到恰有3个患者被治愈的情况共有种（4个人中，选出3个是被治愈的，剩下的那个是没被治愈的），即，，，，
这四种情况两两都是互斥的，而且每一种情况的概率均为 ，
因此所求概率为
．
（4）因为共有4名患者服用了药物，所以X的取值范围应该是，
，
用类似的方法可知
，，
，，
0 1 2 3 4
因此X的分布列为
【教材例题】2. 假设某种人寿保险规定，投保人没活过65岁时，保险公司要赔偿100万元；活过65岁时，保险公司不赔偿．已知购买此种人寿保险的每个投保人能活过65岁的概率都为0.8．随机抽取3个投保人，设其中活过65岁的人数为X，保险公司要赔偿给这三人的总金额为Y万元．
（1）指出X服从的分布；（2）写出Y与X的关系；（3）求．
解：（1）不难看出， X服从参数为3，0.8的二项分布，即．
（2）因为3个投保人中，活过65岁的人数为X，则没活过65岁的人为3-X，因此Y=100（3-X）．
（3）因为，
所以
跟踪训练：某公司招聘员工,先由两位专家面试,若两位专家都同意通过,则视作通过初审予以录用;若这两位专家都未同意通过,则视作未通过初审不予录用;当这两位专家意见不一致时,再由第三位专家进行复审,若能通过复审则予以录用,否则不予录用.设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为 ,复审能通过的概率为, 各专家评审的结果相互独立.
(1)求某应聘人员被录用的概率;
(2)若4人应聘,设X为被录用的人数,试求随机变量X的分布列.
解:设“两位专家都同意通过”为事件A,“只有一位专家同意通过”为事件B,“通过复审”为事件C.
(1)设“某应聘人员被录用”为事件D,则D=A∪BC,
因为P(A)=,P(B)=2××（1-）=,;P(C)=,
所以P(D)=P(A∪BC)=P(A)+P(B)P(C)=.
(2)根据题意,X可能的取值为0,1,2,3,4,且X~B4,,
Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i=0,1,2,3,4),
因为P(A0)=×4=, P(A1)=×3=,
P(A2)=×2×2=, P(A3)=×3×,
P(A4)=×4×0=.
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
【教材例题】3. 某校组织一次认识大自然的夏令营活动，有10名同学参加，其中有6名男生，4名女生，现要从这10名同学中随机抽取3名去采集自然标本.
（1）抽取的人中恰有1名女生的概率是多少？
（2）设抽取的人中女生有X名，写出X的分布列.
解析：(1)有古典
(2)如果
则 P(X=1)=；P(X=0)=；
P(X=2)=； P(X=3)=
X 0 1 2 3
P
【教材例题】4. 学校要从5名男教师和2名女教师中随机选出3人去支教，设抽取的人中女教师的人数为X，求P（X）.
求超几何分布列的步骤
(1)验证随机变量是否服从超几何分布,并确定参数N,M,n;
(2)确定X的所有可能取值;
(3)利用超几何分布公式计算P(X=k);
(4)写出分布列(用表格或式子表示).
解：由题意知，X服从参数为7，3，2的超几何分布，即X~H(7,3,2).
因此P（X）=P（X）+P（X）=
跟踪训练：老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵,规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇,试求:
(1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列;
(2)该同学能及格的概率.
解:(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X,
则P(X=r)=(r=0,1,2,3).
所以P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=.
所以X的概率分布列为
X 0 1 2 3
P
(2)他能及格的概率P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=.
【教材例题】5. 袋中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续抽取,3次，每次取1个球.
(1)若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为X，求X的分布列；
(2)若每次出去后都不放回，设取到黑球的个数为Y，求Y的分布列.
解：（1）若每次出去后都放回，则每次抽到黑球的概率均为=
而3次取球可以看成3次独立重复试验，因此X~B(3, ).
所以P（X）=
P（X）=
P（X）=
P（X）=
因此X的分布列为
X 0 1 2 3
P
（2）若每次抽取后都不放回，则随机抽取3次可看成随机抽取1次，但1次抽取3个，因此黑球Y服从参数为10,3,2的超几何分布，即X~H(10,3,2)，
因此
P（X）=P（X）=P（X）=
因此，Y的分布列为
X 0 1 2
P
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1.有8件产品,其中3件是次品,从中任取3件,若X表示取得次品的件数,则P(X≤1)=(　　)
A. B. C. D.
解析:根据题意,P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=.故选B.
答案:B
2.已知X~B5,,则P≤X≤=　　　　　.
解析:P(≤X≤)=P(X=2)+P(X=3)=)2()3+)3()2=.
答案:
3.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数.
(1)求ξ的分布列;
(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.
ξ 0 1 2
P
解:(1)ξ可能取的值为0,1,2,服从超几何分布,
P(ξ=k)=,k=0,1,2.
所以ξ的分布列为
(2)由(1)知,“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为P(ξ≤1)=P(ξ=0)+P(ξ=1)=.
4.气温的变化已引起人们的关注,据某地气象部门统计,该地区每年最低气温在-2 ℃以下的概率是.设X为该地区从2020年到2025年最低气温在-2 ℃以下的年数,求X的分布列.
解:由题意知X~B,
故P(X=k)=(k=0,1,2,…,6).
即P(X=0)=,P(X=1)=,
P(X=2)=,P(X=3)=,
P(X=4)=,
P(X=5)=,P(X=6)=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3 4 5 6
P
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