数学人教A版（2019）必修第一册4.2 指数函数 课件（共24张ppt）

(共24张PPT)
4.2 指数函数
4.2.1 指数函数的概念
问题1 随着中国经济的高速增长，旅游人数不断增加，A、B两个景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了门票价格，B地则取消了门票.下表给了A、B两个景区2001~2015年的游客人次及逐年增加量.
思考 比较一下两地景区旅游人次的变化情况，你发现了怎样的规律？
为了便于观察，我们把表格中的数据画成图像：
A地区经营地比较平衡，B地区发展比较快.
通过观察图像和表格，可以发现：A景区的游客人次近似于直线上升(线性增长)，年增加量大致相等(约为10万人次)；B景区的游客人次是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难看出变化规律.
探究 我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的. 那么能否通过对B景区每年的游客人次做其他运算来发现规律呢？
若从2002年起，将B景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到
注意：
增加量=变后量-变前量
增长率=
增加量
变前量
结论：结果表明，B景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1=0.11，是一个常数.
做减法可以得到游客人次的年增长量，做除法可以得到游客人次的年增长率. 增长量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量.
总结：像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长. 因此，B景区的游客人数近似于指数增长. 即从2011年起，每一年的游客人次都是上一年的1.1倍左右，增长量越来越多. 其变化规律可以近似描述为：
这就是指数函数，其中指数x是自变量.
1年后，游客人次是2001年的1.111倍；
2年后，游客人次是2001年的1.112倍；
3年后，游客人次是2001年的1.113倍；
x年后，游客人次是2001年的1.11x倍.
如果设经过x年后游客人次为2001年的y倍，那么
y=1.11x (x∈[0,+∞).
指数增长
问题2 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减(称为衰减率)，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”. 按照上述变化规律，生物内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？
分析：设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物内碳14含量看成1个单位，那么
死亡1年后，生物体内碳14含量为
1-1×p=(1-p)1；
死亡2年后，生物体内碳14含量为
(1-p)- (1-p)p=(1-p)2；
死亡3年后，生物体内碳14含量为(1-p)3；
死亡5730年后，生物体内碳14含量为(1-p)5730.
设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳14含量为y，那么
这也是指数函数，其中指数x是自变量.
指数衰减
指数函数的定义：
如果用字母a代替上述两个问题中的底数1.11和 ，那么函数y=1.11x
和 就可以表示为y=ax的形式. 其中指数x是自变量，底数a是一个大于0且不等于1的常数.
一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数. 其中指数x是自变量，定义域为R.
思考1 指数函数y=ax中为什么规定a>0且a≠1？
解：两个都是指数函数，因为
思考2 指数函数y=ax(a>0, 且a≠1)的解析式有什么特征？
①底数a＞0，且a≠1；
指数函数的定义只是一个形式定义. 判断一个函数是否为指数函数关键是看这个函数的解析式变形整理之后是不是具备以上三个特征.
②ax的系数为1；
③自变量x的系数为1.
思考3 下列两个函数是指数函数吗？
(1) 函数 (a>0, 且a≠1)；(2) y=4×2x-2.
C
64
例1 已知指数函数f(x)=ax(a>0,且a≠1)，且f(3)=π，求f(0),f(1),f(-3)的值.
教材115页练习
C
解：由f(3)=π ，可得a3=π，∴ ，于是
1. 下列图象中，有可能表示指数函数的是( ).
4.2.2 指数函数的图象与性质
指数函数的图像和性质：
在同一坐标系中作出底数不同的指数函数图象，如图示.
一般地，指数函数的图像和性质如下表所示：
a的范围 01
图象
性质 定义域
值域
过定点
单调性
奇偶性
R
(0,＋∞)
(0,1)
在R上是减函数
在R上是增函数
非奇非偶函数
1. 指数函数在y轴右侧的第一象限内图象中底数越大图象越高.
简称：底大图高.
2. ①当a>1且x>0时，y>1；
3. 指数函数图像下端与x轴无限接近，但永不相交.
思考 指数函数的图象有何特点？
②当a>1且x<0时，0③当00时，0④当01.
教材118页练习
1.在同一直角坐标系中画出函数 的图象，并说明它们的关系.
x
O
y
1

解：
教材118页练习
教材118页练习
3. 体内癌细胞初期增加得很缓慢，但到了晚期就急剧增加，画一幅能反映体内癌细胞数量随时间变化的示意图.
解：可用指数函数S=S0at来刻画体内癌细胞数量S随时间t变化的规律，其中初始量S0 >0，增长比例a>1, t≥0. 如图示.
x
O
y
S0

A
AC
课堂检测：
C